式と証明
映像：（導入）式と証明
☆相加・相乗平均
a > 0, b > 0 のとき a + b ≥
√
ab （等号成立：a = b）
a, b は正の数かつ逆数の関係があるとき和の最小値を押さえることが出来る
☆コーシー・シュワルツの不等式
ベクトルの内積の定義から
−
→ −
→
−
→ −
→
A・B = | A || B |cosθ
両辺 2 乗すると
→
−−
→
→
− −
→
( A B )2 ≤ | A |2 | B |2
−
→
−
→
)
(
が得られる。等号成立は A k B のとき
[証明]
(
n
∑
)(
a2i
k=1
n
∑
≥
b2i
n
∑
)2
ai bi
k=1
k=1
を示す。
n
∑
2
(ai t − bi ) ≥ 0
k=1
n
∑
(a2i t2 − 2ai bi t + b2i ) ≥ 0
k=1
(
n
∑
)
a2i
(
t −2
k=1
2
n
∑
)2
ai bi
(
t+
k=1
n
∑
k=1
判別式 ≤ 0 とすれば示される。
☆解と係数の関係
・２次方程式
ax2 + bx + c = 0 の２解をα, β
1
)
b2i
≥0
b
c
α + β = − αβ =
a
a
・3 次方程式
ax3 + bx2 + cx + d = 0 の 3 解をα, β, γ
b
c
d
α + β + γ = − αβ + βγ + γα = αβγ = −
a
a
a
☆複素数
2 乗すると-1 になる数（虚数）を定義する
i2 = −1
(例)
√
√
−3 = 3i
複素数 z を
z = a + bi 実 (数) 部：a 虚（数）部：bi
これで虚数まで含めた数全体を表すことができる
・複素数の相等
a, b, c, d が実数として
a + bi = c + di としたとき a = c かつ b = d が成立
・共役な複素数
z = a + bi に対し，共役な複素数 z = a − bi を定義すると
zz = a2 + b2 , a =
z+z
z−z
， b =
2
2i
整関数の解において z が解なら必ず z も解になる
☆１の 3 乗根 ω
x3 = 1 の解は (x − 1)(x2 + x + 1) = 0 より
√
−1 ± 3i
x = 1,
≡ 1, ω, ω 2
2
とすると
ω 3 = 1 かつ ω 2 + ω + 1 = 0
この 2 式より次数下げをして解いていく
2
★問題
１
x3 + x2 − 3x + 6 を整式 A でわると商が x + 3，余りが 2x + 3 となった A を求めよ
２
分数式
x2 − x − 12
1
1
2
を約分しなさい。また
−
+ 2
を計算しなさい
2
x + x − 20
2x + 1 2x − 1 4x + 1
３
2x2 − x + 3 = 2(x + 1)2 + a(x + 1) + b が x についての恒等式であるとき a, b の値を求
めよ。
４
x3 + ax2 + bx − 2 が x2 + x − 1 で割り切れるとき a, b の値を求めよ
５
a
a+b
a
c
2a + 3b 5c + 5d
= 2 のとき
の値を求めよ。また = であるとき
−
b
a−b
b
d
3a + 2b 3c + 2d
6
a > 0 のとき a +
9
の最小値を求めよ。またそのときの a の値を求めよ
a
７
実数 a, b, x, y について (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) − (ax + by)2 の最小値を求めよ
８
(3 + i)(3 − i) を計算しなさい。また
(3 + i)2
を計算しなさい
1−i
９
(2i − 3)x + (2 + 3i)y = 5 + i を満たす x, y を求めよ。またこのとき (x − yi)2 を求めよ
１０
2 次方程式 x2 − 2mx + 2m + 3 = 0 が実数解を持たないとき定数 m の範囲を求めよ。ま
たこの 2 次方程式が正の重解を持つとき，その重解を求めよ。
１１
x2 − 2x + 4 = 0 の２つの解を α, β とするとき α2 + β 2 , α1 +
3
1
β
の値を求めよ
１２
実数係数の２次方程式のうちの１つの解が 2 −
√
3i である。もう一つの解と，このような
2 次方程式のうち x2 の係数が１のものを求めよ。
１３
P (x) = x3 + ax + 2 を x + 1 で割ると余りが −2 であった。このときの a の値と P (x) を
x − 1 で割ったときの余りを求めよ
１４
P (x) = 2x2 − 5x + a,Q(x) = x3 − bx2 + 2x − 1 がともに x − 1 で割り切れるとき a, b の
値を求めよ。またこのとき Q(x) を因数分解せよ
１５
３次方程式 x3 + 8 = 0 を解け。また４次方程式 x4 + 3x2 + 4x = 0 の解を求めよ
4
★．５問題
１
1
√ のとき x2 − 4x + 1 の値と x3 − 2x2 − 3x + 5 の値を求めよ
2− 3
２
整式 x3 + ax2 + 2 を x2 + b で割ったら余りが −3x + 5 になった。a, b の値を求めよ
３
√
√
5+ 3
√ のとき
x= √
5− 3
x+
1 2
1 √
1
,x + 2, x + √
x
x
x
の値を求めよ
４
x=1−
√
√
2, y = 1 + 2 のとき
x2 + y 2 と 1
1
+
x2 + 1 y 2 + 1
の値を求めよ
５
x が x2 −
√
5x − 1 = 0 を満たすとき
x−
1
1
，x2 + 2
x
x
の値を求めよ
６ x : y : z = 3 : 4 : 5 のとき
(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2
x2 + y 2 + z 2
の値を求めよ
5
７
等式
9x − 4
a
b
=
+
2x2 − x − 6
x − 2 2x + 3
が x についての恒等式であるとき a, b の値を求めよ
８
a, b を定数とするすべての実数 x について等式
x3 + x2 + 1 = x(x − 1)(x − 2) + ax(x − 1) + bx + 1
が成り立つとき a, b の値を求めよ
９
実数 x, y が x2 − 4xy + 5y 2 − 4y + 4 = 0 を満たすとき x, y の値を求めよ
１０
a > 0, b > 0 のとき
a+
9
a
の最小値を求めよ。また
9
1
(a + )(b + )
b
a
の最小値を求めよ
１１
x が実数のとき f (x) = x2 + 2x + 2 の最小値を求めよ。また
g(x) =
x2
1
+ x2 + 2x + 5
+ 2x + 2
の最小値の値を求めよ
１２
6
P =
3−i
2+i
+
x+i
2−i
とするとき P が実数となるような実数 x の値と，そのときの P の値を求
めよ
１３
a を実数の定数とする。2 次方程式 x2 − 3x + a − 2 = 0 が実数解を持つときの a の値の
範囲と，２実数解が異符号になるときの a の値の範囲を求めよ
１４
2 次方程式
x2 + ax + 2b = 0 x2 + bx + 2a = 0
がただ 1 つの共通解を持つとき，共通解を求めよ，また共通でない２つの解の和を求めよ
１５
f (x) を x − a で割ったときの余りが b,x − b で割ったときの余りが a であるとき，
f (x) を x2 − ax − bx + ab (a 6= b) で割ったときの余りを求めよ
１６
３次方程式 x3 − 3x2 + ax + b = 0 の 1 つの解が 2 + i のとき，実数 a, b の値を求めよ。
また残りの解のうちの実数解を求めよ
7
★★問題
１
整式 A を (x + 1)2 でわると商が 2x − 3 で余りが 4x + 4 になる。
(1)A を x の多項式で表せ
(2)A を x2 − x + 1 でわったときの商と余りをもとめよ
(3)A2 を x2 − x + 1 でわったときの余りをもとめよ
２
３つの整式 f (x) = x3 + 6x2 + 15x + 10, g(x) = x2 + ax + b, h(x) = x2 + x + 1 について
(1)f (x) を h(x) で割ったときの商と余りを求めよ
(2)f (x) が g(x) で割り切れ，その商が x + 1 のときの a, b の値を求めよ
(3)(2) のとき xg(x) を h(x) で割った商と余りを求めよ
３
x+y
y+z
z+x
=
=
6= 0
5
7
6
(1)x : y : z を求めよ
(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2
(2) 等式 = 6 が成り立つことを証明せよ。
(x + y − z)2
4
次の不等式を示せ
(1)a > 0 のとき a + 1 >
√
2a + 1
(2)a, b が実数のとき |a − b| ≥ |a| − |b|
5
1
1
,B =
とするとき
1−x
1+x
1
(1)1 −
を x の既約分数式で表せ
1−A
A+B
(2)
の値を求めよ
AB
(3)AB = mA + nB が x についての恒等式であるとき，定数 m, n の値を求めよ
A=
６
x + y + z = 3, x − y − 3z = 1 が成り立っている
(1)x, y を z の式で表せ
(2)x2 + y 2 + z 2 = 11 のとき x, y, z の値を求めよ
(3)ax2 + by 2 + cz 2 = 5 が x, y, z についての恒等式となるように定数 a, b, c の値を定めよ
8
７
x > 0 のとき
(1)x +
2
1
x
(2)x +
≥ 2 が成り立つことを示せ。また等号が成り立つときの x の値を求めよ
1
x2
の最小値を求めよ
(3)(x − 6x + 1) + ( x12 −
2
6
x
+ 1) の最小値を求めよ
８
f (x) = x4 + ax3 + bx2 + c について f (−1) = 3 であるとする
(1)c を a, b で表せ
(2)f (x) を x2 + 1 で割った余りが 2x + 1 のとき a, b, c の値を求めよ
(3)(2) のときの商を g(x) とする。p > 0, q > 0.p + q = 1 のとき
g(px + qy) ≤ pg(x) + qg(y)
が成り立つことを示せ
９
x2 + (k + 1)x + 2k − 3 = 0 の 2 つの解を α, β とする。ただし k は実数とする。
(1)k の値に関わらず方程式は異なる２つの実数解を持つことを示せ
(2)αβ + 2(α + β) の値を求めよ
(3)α, β が整数で α < β とするとき α, β, k の値を求めよ
１０
x2 + 2(a − b)x + a + b + 8 = 0 a, b は実数とする
(1)b = 2 のとき，この方程式が虚数解をもつように a の範囲を求めよ
(2) 方程式が虚数解 a + bi をもつとき a, b の値を求めよ
１１
x2 + (m − 6)x − 12 = 0 m は実数とする。
(1) この方程式は異なる２つの実数解を持つことを示せ。また，それらの符合を調べよ
(2) この方程式の実数解の絶対値の比が１：３であるとき m の値を求めよ
(3) この方程式の２解を α, β とするとき
1 1
α, β
係数が 12 であるものを m を使って表せ。
12
9
を２つの解に持つ２次方程式のうち，x2 の
P (x) = x4 + 11x3 − 8x2 + ax + b について次の問に答えなさい
(1)P (x) を x − 1 で割った余りを求めよ
(2)P (x) を x2 + x − 2 で割った余りが −3x − 5 であるとき a, b の値を求めよ
(3)(2) のとき P (x) を x + 2 で割った余りを求めよ
１３
整式 A = x3 + x2 + (a − 2)x + b は x − 1 で割り切れる
(1)b を a の式で表せ
(2)A を因数分解せよ
(3)A が平方式 (x + p)2 を因数に持つとき p と a の値をそれぞれ求めよ
１４
実数係数の３次方程式 x3 + mx2 + nx − 18 = 0
の解の１つが i −
(1)i −
2
i
2
i
であるとする
を a + bi(a, b は実数) の形で表せ
(2)m, n の値を求め，他の２解を求めよ
(3)z 2 = i −
2
i
を満たす複素数 z を求めよ
１５
実数係数の３次方程式 f (x) = x3 + ax2 + bx − 5 について
(1)f (x) = 0 の解が x = 1, −5 のとき a, b の値を求めよ
(2)f (x) = 0 の解の 1 つが x = 1 + 2i のとき a, b の値を求めよ
(3)(2) で求めた a, b の値に対して f (x) = 0 の解を x = α, β, γ とするとき α3 + β 3 + γ 3
の値を求めよ
１６
映像：（典型）式と証明
方程式 x3 = 1 の虚数解の１つを ω とする
(1)x3 = 1 のもう一つの解は ω 2 であることを示せ
(2)x3 = −27 の虚数解を ω を用いて表せ
(3)(1 + 2ω + 3ω 2 )(1 + 2ω 2 + 3ω) の値を求めよ
10
★★★問題
１
0 < x < 1 で x2 +
1
x2
= 4 のとき次の式の値を求めよ
(1)x + x1 ,x − x1
(2)x3 + x13 , x3 − x13
(3)x5 − x15
2
2x + y
y+z
z + 2x
=
=
6= 0
5
3
4
のとき
(1)x : y : z を最も簡単な整数比で表せ
(2)
2x2 + y 2 + z 2
の値をもとめよ
xy + yz + zx
(3) x + y + z = 18 のとき x2 + y 2 + z 2 の値を求めよ
３
P = x2 − x − 1
Q = (x5 − 5x − 4)3 + x4 + x3 + x2 − 4x − 6
について
(1)x =
√
5+1
2
のとき P の値を求めよ
5
(2)x を P で割ったときの余りを求めよ
(3)x =
√
5+1
2
のとき Q の値を求めよ
４
a を実数定数として
ax2 − (a2 − 2a + 2)x − 2a2 − 4 = 0
(1)a のどのような値に対しても，方程式は同じ解を持つ。その解をもとめよ。
(2)a 6= 0 のとき (1) 以外の解の取り得る値の範囲を求めよ
11
５
実数 a, b, x, y, z 6= 0 について
z
x y
x z
y
+ = a, + = b, + = 0
x y
z
x
z
y
のとき
(1) xy +
z
y
+
x
z
を a, b の式で表せ。また
y z x
x, y, y
をそれぞれ a, b の式で表せ
(2)(a + b)(a − b) の値をもとめよ 2
(3) 等式 a4 + b4 + 8(a + b) = 2a2 b2 が成り立つことを証明せよ
６
映像：（典型）式と証明
x, y, z を実数とするとき
(1)3(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ (x + y + z)2 が成り立つことを証明せよ。また等号成立条件を求め
よ
(2)x + y + z = 1 のとき x2 + y 2 + z 2 の最小値を求めよ
(3)(2) のとき xy + yz + zx の最大値を求めよ
７
a, b, c, d を正の定数とするとき, 次の不等式を示せ
√
√
√
(1) 2(a + b) ≥ a + b
√
√
√
√
(2) 3(a + b + c) ≥ a + b + c
√
√
√
√
√
(3) 4(a + b + c + d) ≥ a + b + c + d
8
(1)x > 0 のとき
x+
√
1
1
− 2( x + √ ) + 5
x
x
の最小値を求めよ
(2)p, q, r が正の数で pqr = 1 のとき
√
1 1 1 √
√
+ + ≥ p+ q+ r
p q
r
12
が成り立つことを示せ
９
x2 + (2m − 11)x − m + 2 = 0
の２解を α, β とするとき
(1)α, β は実数であることを示せ
(2)2αβ − (α + β) の値を求めよ
(3)α, β がともに整数のとき m の値を求めよ
１０
映像：（典型）式と証明
x2 − (2a + k)x + 2ak − 1 = 0 (a > 0)
のとき
(1) この方程式は異なる２つの実数解を持つことを示せ
(2) この方程式が負でない２つの実数解を持つとき，α + β の最小値を求めよ。またこの
ときの a, k の値を求めよ
１１
x2 − 4x + k = 0………i
の 2 解を α, β とするとき
α + 2, β + 2 を解に持つ 2 次方程式を
x2 + mx + n = 0………ii
とする
(1)m の値を求め，n を k で表せ
(2) この２つの２次方程式が共通解を持つとき k の値を求めよ
(3)s を自然数として α + s, β + s を解とする２次方程式が (i) と同じ解を持つときの k の
最大値と，そのときの共通解を求めよ
１２
13
2 次方程式 x2 + x + 1 = 0 の解を α, β とするとき n を自然数として
Sn = α n + β n
とする
(1)S3 の値を求めよ
3n+1
(2) S3n−1S+S
の値を求めよ
3n
(3)Sn の値を求めよ
１３
x3 − 2ax2 − bx − 1 = 0
が x = 1 を解にもつとき
(1)b を a を用いて表せ
(2)1 以外の解が虚数となるような a の値の範囲を求めよ
(3) ３つの解を α, β, γ とするとき a = 0 のときの α2 + β 2 + γ 2 の値を求めよ
１４
x3 − 11x2 + mx − (m + 2) = 0
が異なる正の解 α, β, γ(α < β < γ) を持つとき
(1)α + β + γ の値を求めよ
(2)0 < α <
11
3 ,α
6= 1 であることを示せ
(3)α が整数であるとき m, α, β, γ の値を求めよ
１５
P (x) = x3 + ax2 + bx + 5
について，次の問に答えよ。a, b は実数とする
(1)P (x) を x − 1 で割ると５余り，x − 2 で割ると３余るとき a, b の値を求めよ
(2)P (x) = 0 が 2 + i を解に持つとき a, b の値と他の解を求めよ。ただし i は虚数単位と
する。
14
(3) 整式
Q(x) = x3 + (a + 1)x2 + (b − 2)x + 6
と整式 P (x) が共通因数 (x − b) を持つとき a, b の値を求めよ
１６
x3 − 3x2 + 4x + a = 0 a : 実数定数
(1)a = −4 のときこの方程式を解け
(2) 方程式が 1 + i を解に持つとき，a の値を求めよ
(3) 方程式の３つの解のうち，１つが実数で他の２つが純虚数のとき，a の値を求めよ。
またそのときの３つの解を求めよ
15
★★★★問題
1
a3 − b3 = 217 を満たす整数の組 (a, b) をすべて答よ
2
(1) どのような整数 n に対しても n2 + n + 1 は５で割り切れないことを示せ
(2) 今日は金曜日である
(i) その 106 日後は何曜日か
(ii) その 3100 は何曜日か
３
n を整数とし S = (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3
(1)
S が偶数であれば n は偶数であることを示せ
(2)
S が偶数であればＳは 36 で割れることをしめせ
４
(1)a, b, c, d が実数のとき (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 が成り立つことをしめせ
√
√
√
(2) 全ての正の数 x, y に対し，k x + y ≥ x + y が常に成り立つような k の最小値を
求めよ
5
c を実数として x3 + x2 − x + c = 0 が虚数解 cosθ+isinθ(0° < θ < 90°) を持つとき
(1)θ の値を求めよ
(2)c の値を求めよ。またこの３次方程式を解け
６
実数 a を超えない最大の整数を [a] と表記する
(1) 等式 [x + 1] = [x] + 1 が成り立つことを証明せよ
(2) 等式 [(x + 1)2 ] = 1 が成り立ち，かつ x > 0 である x の値の範囲を求めよ
(3) 等式 [x + 34 ]3 − [x + 13 ]3 − 3[x + 13 ]2 − 13 = 0 が成り立つような x の値の範囲を求めよ
７
16
整数 n に対して P (n) = n3 − n とする
(1)P (n) は６の倍数であることを示せ
(2)n が奇数ならば P (n) は２４の倍数であることを示せ
(3)P (n) が４８の倍数となる偶数 n をすべて求めよ
８
(1)ai , bi (i = 1, 2, 3) を実数とするとき，次の不等式を証明せよ
(a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2
(2) 実数 xi , yi , zi (i = 1, 2) が
x21 + y12 − z12 + 1 = 0 ，x22 + y22 − z22 + 1 = 0 ，z1 z2 > 0
を満たしてるとする。このとき不等式
x1 x2 + y1 y2 − z1 z2 + 1 ≤ 0
が成り立つことを証明せよ。また等号が成立するのは x1 = x2 , y1 = y2 , z1 = z2 のときに
限ることを示せ
９
正の数 x に関して x の整数部分を [x] と表す
(1) すべての正の数 x について等式
1
[x] + [x + ] = [2x]
2
が成り立つことを示せ
(2)N を自然数とするとき
∞ [
∑
N
k=1
1
+
k
2
2
]
を求めよ
１０
映像：（難問）式と証明２
17
実数 x に対して，x 以下の整数のうちで最大のものを [x] と書くことにする。
c > 1 として
an =
[nc]
(n = 1, 2, 3 ゥ)
c
とおく。以下を証明せよ
(1) すべての n に対して [an ] は n または n − 1 に等しい
(2)c が有理数のとき [an ] = n となる n が存在する
(3)c が無理数のときは，すべての n に対して [an ] = n − 1 となる
１1
p, q を整数とし，f (x) = x2 + px + q とする。f (1) も f (2) も 2 で割り切れないとき，方
程式 f (x) = 0 は整数の解を持たないことを示せ
1２
5x + 8y = 3000 を満たす自然数 x, y に対して u = xy とおく
(1) 自然数 x, y の組 (x, y) は全部で何組あるか
(2) すべての組 (x, y) の中で u のとる値の最大値と最小値を求めよ
１3
ｍは７で割れば３余る整数、n は７で割れば４余る整数である。
(1)m + 2n を 7 で割ったときの余りを求めよ。
(2)mn を７で割ったときの余りを求めよ。
(3)n3 を７で割ったときの余りを求めよ。
(4)n2001 を７で割ったときの余りを求めよ。
14
a2 + b2 が 3 で割り切れるならば a, b はともに 3 で割り切れることを示せ。
15
n を自然数とするとき 3n+1 + 42n−1 は 13 で割り切れることをしめせ。
18
★★★★★問題
１
p, q を素数とし，２次関数 f (x) = x2 + px + q が２つの条件を満たすとする。このとき
f (x) を求めよ
(A) ある実数 a に対して f (a) < 0
(B) 任意の整数 n に対して f (n) ≥ 0
2
(1) ２つの自然数の組 (a, b) は条件
1 1
1
a < b かつ + <
a b
4
を満たす。このような組 (a, b) のうち，b のもっとも小さいものすべて求めよ
(2) ３つの自然数の組 (a, b, c) は条件
1 1 1
1
a < b < c かつ + + <
a b
c
3
を満たす。このような組 (a, b, c) のうち，c のもっとも小さいものをすべて求めよ
3
３以上 9999 以下の奇数 a で a2 − a が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ
4
映像：（難問）式と証明１
自然数 n の約数の個数を d とする。n の約数すべてを小さい順にならべて得られる数列
を ak (1 ≤ k ≤ d) とする。したがって a1 = 1, ad = n, ak < ak+1 である。このとき，n
に対する２つの条件（イ），（ロ）は互いに同値であることを示せ
(イ)n は６０の倍数である
(ロ)n は６個以上の約数を持ち
1
1
1
+
=
a3
a6
a2
となる
5
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x についての方程式 px2 + (p2 − q)x − (2p − q − 1) = 0 が解を持ち，すべての解の実部が負
となるような実数の組 (p, q) の範囲を pq 平面上に図示せよ。ただし，複素数 a + bi(a, b は
実数，i は虚数単位) に対し，a をこの複素数の実部という
6
(1) 実数 x, y が等式 x2 − 2xy + y 2 − x − y = 0 を満たし，x − y が整数ならば x も y も
整数であることを示せ
(2)（1）の等式をみたす格子点 (x, y) のうちで点（100,100）に最も近いものを求めよ。た
だし，格子点とは x, y 座標がともに整数であるような座標平面上の点のことである。
7
３次方程式 x3 − (p − 3)x2 − 3x + p − 1 = 0 の３つの解がすべて整数となるような実数 p
の値を求めよ
8
a, b を整数とする。３次方程式 x3 + ax2 + bx − 1 = 0 は３実数解 α, β, γ をもち，
0 < α < β < γ < 3 で α, β, γ のうちどれかは整数である。このとき a, b を求めよ
9
f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 は整数を係数とする x の４次式とする。４次方程式
f (x) = 0 の重解も含めた４つの解のうち，２つは整数で残りの２つは虚数であるという。
このとき a, b, c の値を求めよ
10
a, b は実数とする。x の方程式 |x2 + ax + b| = |x2 + bx + a| の異なる実数解の個数を n
とする。
(1)n = 1 となる (a, b) の範囲を図示せよ
(2)n = 2 であるとき，この方程式の実数解を求めよ
11
(1)
1
1
1
+ =
x y
2
を満たす自然数 x, y の組をすべて求めよ
(2)n を自然数，r を正の有理数とする。このとき
20
n
∑
1
=r
xk
k=1
を満たす自然数 xk の組 (x1 , x2 , ………, xn ) の個数は有限であることを示せ。
21