（復習）物理におけるベクトルの利用 （１）Ｐ→Ｑの仕事Ｗ1 を求めよ． ●仕事の表現： （２）Ｑ→Ｒ，Ｒ→Ｓの仕事，Ｗ２，Ｗ３を同様に求めよ． ～ 内積の応用 力 F が物体に作用して変位 s を生じさせたとき， （３）仕事 W を求めよ． 力 F のした仕事 W は， W ＝|F |cosθ×|s|＝ F・s F （例解） F θ s （１） F１＝ (2cos30°，2sin30°，0) [N] ＝（√3，1, 0） [N] s s１＝ (4，0，0) [m] 問題 下図の点Ｐから点Ｓまで質点を運ぶとき力Ｆのす る仕事 W を以下の手順で求めよ．係数は無理数のままで よい． |F1|＝2N S2=3m 45 ° ° x O （３）Ｗ＝4√3 - 9√3/2 + 8/√2 [J] S3=2m R ｚ （２）Ｗ２，Ｗ３も同様（略；Ｗ２は負であることに注意） Q S1=4m y [J] |F2|=3N 30° P ∴ F１・s１＝4√3 S |F3|=4N 一 一般の 場合： 積 積分の 話；（つづ づき） 点 点Pから ら点Qま まで，力 力F (r))で物体 体を運ん んだ時 時の仕事 事：W （５）ベ ベクトル場の の線積分 分 Q(r2) ベ ベクトル ル場：A(r) 経 経路：Ｐ Ｐ→Ｑ 微 微小変位 位ベクトル：dr Δrr F(r) 分上の） （線分 A A(r) t(r’ ) Δr F(r) t(r) P(r1) A(r) W＝ Q A ・ A(r) ・d r P t(r):単 単位接線 線ベクトル Q A(rr)・t(rr)ds ＝ 単位接 接線ベク クトル)) (t(r):単 P ΔＷ＝F(r)・Δr Q P Q F(r)・dr ＝ P Q ＝ F(r)・t(r)ds P Q ＝ P Ft(r)ds At(r)dds ＝ W W＝Σ F・Δrr (drr = t(r)ds ) （At(r)：A(r)の接線 線成分） ） １－６ ΔＷ ＝F・Δr’ 静電ポテンシャル（≡電位） ＝ＦcosΔr ’ 静電ポテンシャル(電位) ～ ＝ＦΔs 電気的位置エネルギーの大きさを与えるもの ∴ΔＷ(A → B)＝ΔＷ(A → C) （エネルギー＝仕事） ＝ΔＷ(A’ → C’) 点電荷 q ’の作る電場の中で点電荷 q を運ぶ仕事 → 経路によらないことを示そう P ｑ’ ∴ C’ A’ B F 経路に寄らない Δr’ C A 点電荷の作る電場の中で，無限遠から ｑE’ 位置Ｐ(r )まで電荷 q を運ぶ仕事は， B Δr’ F = -ｑE’ 経路によらずＰの位置のみで決まる． Δs C 力 F で仕事をするとき，経路に寄らなければ → 「保存力」 A Δs ｑE’ ΔＷ ＝F・Δr’ 静電ポテンシャル(電位) Ｗ ＝Σ ΔＷ 「一般に，電場の中を基準点から点Ｐ(r)まで単位電 荷を運ぶのに必要な仕事の大きさを与える関数」 ｑ 1 ｑｑ 1 ＝ ―――― ― ― Σ― ――― ―Δr’ 4 0 4π s2 Δ ’→ Δr → ０の の極限をとる る 積 積分変数 数をｑ1 からの距離 離ｓに変 変換 点電荷ｑの作る電場中の場合： 原点Ｏにある点電荷 q の作る電場の中で，点電荷 q1 を無 限遠から位置Ｐ(r)まで運ぶ仕事を具体的に求めてみよう 変数： ：Δr’＝ -ddｓ， ｑｑ ｑ 1 経路に依らない → 直線経路で考えよう Ｗ＝ ―― ――― 4π0 直線経路のとき： ｑ O r P(r) s F q1 E’ Δr ’ 基準 Δr ’ ΔＷ＝F ・Δr’ ＝ＦΔr’ (F とΔr’ は同じ向き) ＝ｑ1Ｅ’Δr’ （Ｆ＝|Ｆ｜＝ｑ1Ｅ’ ） 1 ｑｑ1 ＝――― ――――Δr’ s2 4π0 ∞ 範囲： （∞，r ） ｒ 1 ― ―― (--dｓ) ∞ ｓ2 ∞ 1 ｑｑ ｑ 1 ＝ ―― ――― ― ― ―― dｓ d 4π 4 0 ｒ ｓ2 ｑｑ ｑ 1 １ ∞ ＝ ―― ――― ― [ - ―― ] ｒ 4π 4 0 ｓ ｑｑ ｑ 1 1 ＝ ―― ――― ― ―― ― 4π π0 r 単位電荷を無限遠から位置 r まで運ぶのに必要な仕事の 大きさを与える関数は，ｑ1＝１C として， 力 F が「保存 が 存力」のとき， 任 任意の の閉じた た経路 路 C について て 点電荷ｑの静電ポテンシャル(電位)： ｑ 1 (r )＝――― ―― 4π0 |r | Ft (r )ds＝ ＝０ (6.7) 証明：Ｏ → Ｐまで 証 で電荷ｑ ｑを運ぶ ぶ仕事は は任意経 経路 経路に について て 任意経 O ただし，ｑは原点 P Ft (r )ds Ｗ(Ｏ→ →Ｐ)＝ ＝ O (1) 経 1)，(2 経路(1 2)について， (2) P P Ft (r )ds s ＝ (1 1) Ｃ Ft (r )d ds O O Ｐ (2 2) し しかるに に P O Ft (r ))ds＝－ O (2) (2) Ft (r )ds ＋ (1) 電荷ｑ’ (r 0)とｑ(r )が静止しているとき，2 点の距離は |r －r 0 |であるから，その状態には 1 ｑｑ0 Ｕ(r)＝―――― ―――― 4π0 |r －r 0 | し したがっ って，電場 E につい いて， 意の閉じ じた経路 路Ｃについて て 任意 ～ E (r )･t (r )ds 渦 渦なしの の法則 → 静 静電場 場のだい だいじな な性質， 質，基本 本法則 則 (2)) 静電ポテンシャル(電位)の意味 Ft (r )ds＝ ＝０ Et (r )ds s ＝ Ft (r )ds ＝０ P O よ よって， 任意 意の閉じ じた経路 路Ｃについて て Ft (r )ds O P ∴ P (6.10 0) だけのエネルギー(仕事)が蓄えられている． → 「静電エネルギー」 → 重力場中の位置エネルギーに対応 一般に，電荷ｑが静電ポテンシャル(電位)(r )の位 置Ｐ(r )にいるときの「静電エネルギー」；Ｕ(r) 静 静電場 の基本 本法則 則： Ｕ(r)＝ｑ(r ) ・ガウ ウスの の法則 ・渦な なしの の法則 (r ) ：位置Ｐ(r )の電位 電場と電位の 電 の勾配 配 電 電位差 （≡電 電圧） 電位 → 基準点 点に依存 存する → 定数不 不定性 ２点 点間の の電位の の差のみ みに意 意味があ ある 電 差 V の意 電位差 意味； 点電荷 荷で一 一次元の の場合， d(r ) ｑ d 1 (―) － ― ――― ― ＝ － ―― ―― ―― ― dr 4π0 dr r ｑ 1 ＝ ― ――― ― ―― ― 4π0 r 2 電荷ｑを位 位置 P(r 1)から ら Q(r 2)まで運 運ぶ仕 仕事：Ｗ12 Q(r 2) Ｗ2 ＝Ｗ1 ＋ Ｗ12 基準点か 基 からそれぞ ぞれ P(rr 1)，Q(rr 2) ま まで運ぶ仕 ぶ仕事は，Ｗ1＝ｑ ｑＶ(r 1)， Ｗ2 ＝ｑＶ Ｖ(r 2)だ だから ⇔ Ｗ2 ｑ(r 2))＝ｑ (r 1) ＋ Ｗ12 Ｗ12 ∴Ｗ12＝ｑ（(r 2)－ (r 1) ） ＝ｑΔＶ P(r 1) Ｗ1 O ～ 電位 位差と電 電荷ｑ ｑの積 積 一 一方， 電 電荷ｑ を位置 置 P(r 1)から Q Q(r 2)まで運 ま 運ぶ仕事 事Ｗ12 は Q E・dr Ｗ12 －ｑ 1 ＝－ (6.1)’ P し したがっ って，電位差 差と電場 場の関係 関係とし して Q(r2) (r 2)－ －(r 1)＝－ E・dr (6.8)’ P(r1) 電 電位差は は，単位 位電荷を運ぶ ぶのに必 必要な仕 仕事の の大きさ さを示す す 電位と電場の単位 電位差 → 単位電荷を運ぶのに要する仕事と対応 等 等電位 面 (r)＝ ＝0 を満た たす点 点の集合 合 [仕事] [電位差]＝―――― [電荷] Ｊ 電位差の単位： [――] ≡ [Ｖ] Ｃ 電位の単位： [Ｖ] [Ｖ] 電場の単位： ――― [ｍ] 点 点電荷 の等電 電位面 面： ．，ｎ） (r)＝ ＝0×ｊ（ｊ ｊ＝１，２，．． を満たす す等電 電位面 → ｎ個の の球面 面 等電位面と電 等 電場： 近接 接した２ ２点Ｐ(r1)，Ｑ(r2) → r2 － r1＝Δr Ｐか からＱま まで電 電荷ｑを を運ぶ ぶ仕事， ，ΔＷ Ｗ Δ ＝－ ΔＷ －ｑE・Δr ＝ ｑ[(r2)－ (r1)] Q 参 参考： (r2)－(r1)＝－ － P E・dr r1，r2 が等 等電位面 面内 → (r2)=(r1) ∴ E・Δr ＝０ ⇔ E⊥Δ Δr （練習問題）つぎ ぎの４つ つの点 点電荷を を含む む面内での， 電気 気力線と と等電 電位面((の断面 面)を描 描きな なさい． （電 電荷量は は同じ じ．●が が＋，○が－ －とす する． ） 1) (1 ベクトルΔr は等 等電位 位面内 ベクトル E は，常 常に等電位面 面と垂 垂直」 ∴「電場ベ 2) (2 ● ● ● ○ ● ● ○ ● 「電気 気力線 線は，常 常に等 等電位面 面と垂 垂直」 Δ Δr Ｅ 導体のまわりの静電場 例題４ 帯電 電した半 半径ａの の導体球の静 静電ポテ テンシャル 電荷Ｑは導 導体球表 表面に分 分布，電場は は球対称 称 静止状態では， １．導体内部に電場は存在しない（あれば電子が移動） → 導体内部に(正味の)電荷は存在しない． 半径ｒの球 球面にガ ガウスの の法則を適用 用 は， 電場は r > a の時 時；4r 2Ｅout(r)=Ｑ/0 → （∵ガウスの法則） r < a の時 時；4r 2Ｅin(r)＝０ ０ → ３．導体内部の電位は一定（∵Ｅ＝０で仕事は０） すなわち，表面の電位一定 ～ 等電位面 静電ポ ポテン ンシャル ルは，((6.17)から ３．電場は，導体表面に垂直 k1, k2 は積分 分定数 r → ∞でφ φ → 0， 0 r = a でφが連 連続，の の条件か から k1 = 0，k2 = Ｑ/40a がって， したが １－８ コンデンサー 電気容量（静電容量） 半径ａの導体球の電荷Ｑと静電ポテンシャル（例題４） Ｑ＝４π0ａ Ｑを２Ｑ → (6.20)” は２ （重ね合わせの原理） この比例関係は導体の形によらない． Ｑ＝Ｃ （8.1） Ｃ： 電気容量 or 静電容量 [Ｃ] ＝ [Ｑ]/[] ＝Ｃ／Ｖ １Ｃ／Ｖ≡１Ｆ（ファラッド） 例：半径ａの導体球： Ｃ＝４π0ａ 地球の電気容量＝０．０００７１ Ｆ 10-6 Ｆ ＝ １ μＦ（ﾏｲｸﾛﾌｧﾗｯﾄﾞ） 10-9 Ｆ ＝ １ ｎＦ（ﾅﾉﾌｧﾗｯﾄﾞ） 10-12 Ｆ ＝ １ ｐＦ（ﾋﾟｺﾌｧﾗｯﾄﾞ） 練習問題 人間の電気容量が半径 0.5ｍの導体球と同じ と仮定して，その電気容量を求めよ． コンデンサー 平行板コ 平 コンデ デンサー ー： 孤立導体の容量は小さい 面積：Ｓ → 電位が高くなるから 極板間 間：ｄ ２個の導体にそれぞれ±Ｑの電荷 極板の の電荷 荷量：Ｑ Ｑ ２個一体で考えれば電荷０（遠くから見れば） → 面電荷 荷密度：σ＝ ＝Ｑ／Ｓ Ｓ ポテンシャルが低い 電場 場は極板間に にできる る． 余分な仕事を必要とせず，電荷を蓄えられる → Ａ コンデンサー（キャパシター，蓄電器） 極板 板間の電場は は， Ｂ σ Ｅ 電位差(A―B)はＱに比例 → 比例係数を１／Ｃ ＋Ｑ ―Ｑ ＶA Ｖ＝A－B＝Ｑ／Ｃ ΔＶ Ｃ：電気容量(コンデンサーの) ＶB ∴ 3) (8.3 コ コンデン ンサー ーに蓄え えられる るエネルギー ー：Ｕ 電 電場のエ エネル ルギー コンデン ンサーの の電気容 容量：Ｃ 平 平行板コ コンデ デンサー ーを例に にして； 一方 方の電 電極から らもう一 一方へ電荷を を運んで で±Ｑにする る． Ａ Ｂ 面 面積：Ｓ Ｓ ±ｑまで で運んだ だ 極 極板間：ｄ → 導体間の の電位差 差：Ｖ＝ ＝ｑ／Ｃ Ｃ 極 極板の電 電荷量：Ｑ さら らにΔｑを運 運ぶには は， ＋ｑ ＶA 電 電気容量 量：Ｃ＝ ＝0Ｓ／ ／ｄ ― ―ｑ Ｖ はどこ コンデン ンサーに に蓄えられた たエネル ルギーは こへ？ ＶB ｑを を０から らＱにす するまでに必 必要な仕 仕事 → (9.6)) ンサー コ コンデ ーに蓄え えられた仕事 事 を を用いて て， (9.8)) (9.3 3) す すなわち ち，単 単位体積 積あたり り 4)&(9.5 5) (9.4 (9.9))’
© Copyright 2024 ExpyDoc
