2014 年度 京都大学（物理学） 概要 （試験概要） 解答方式 大問数 難易度 記述式 3問 やや難 点数 時間 （設問別分析） 問題番号 領域 難易度 内容 １ 力学 やや難 運動する台上での単振動 ２ 電磁気学 標準 ３ 熱力学 標準 RC 回路 分子運動論（ポアッソンの関係式の導出），熱サイクル 物理問題 I (1) ア 2kl m イ − 2kl m ウ 台車と小球各々の運動方程式を立て，整理することで系の運動方程式を求める。その後，運 動量保存則および力学的エネルギー保存則を適用。台車中央における小球の速度を v0 ，台車 の速度を V0 とすると， √ 2kM v0 = l m(m + M ) 1 エ √ V0 = l 2km M (m + M ) (2) オ M a1 = N + 2kd カ ma2 = −2kd キ 上で求めた小球の運動方程式より，小球の単振動の角速度は ω = 条件を考慮すると， √ √ m m sin d = −v0 2k 2k √ 2k m である。ゆえに，初期 ク 上で求めた運動方程式より，台車が離れる瞬間は d = 0 の点。よって， √ m sin =0 2k √ m ∴ t=π 2k (3) 問 1 台車の中央の座標を xM ，小球の座標を xm とおくと，各々の運動方程式は次のように書ける。 M aM = 2(xm − xM ) mam = −2(xm − xM ) これら２式を整理すると， am − aM = −2k m+M (xm − xM ) mM よって，台車からみて小球の運動は，ばね定数 2k のばねに繋がれたときの単振動と見なせ る。また，このときの角振動数 ω は， √ 2k(m + M ) ω= mM 問2 略 2 ケ 問１で示した運動方程式より， mam + M aM = 0 ゆえに，系の重心は等速直線運動する。 コ 台車が壁から離れた際の小球の速度は v0 である。ゆえに，t1 秒後の重心の位置は， mv0 t1 m+M サ 問１の結果より，小球と台車の相対位置は， v0 sin (ωt1 ) ω ( ) mv0 1 = t1 − sin (ωt1 ) m+M ω xm − xM = ∴ xM シ サの結果より，台車の中心の速度は， vM ( ) mv0 1 + cos (ωt1 ) = m+M ゆえに，最大値は， 2mv0 m+M ス 最小値は，0 物理問題 II (1) イ オームの法則より， R= V0 I0 ロ 物質の抵抗率を ρ とすると， R=ρ h S ∴ ρ= V0 S I0 h ハ V0 sin (ω0 t) = I0 sin (ω0 t) R ニ π 2 3 ホ キルヒホッフの法則より，回路に流れる電流 I は， √ I = I02 + (ω0 CV0 )2 sin (ω0 t + φ) φ= π 4 となればよいので， π ω0 CV0 = 4 I0 I0 ∴ C= ω 0 V0 tan ヘ C = εr ε0 ∴ εr = S h hI0 ε0 Sω0 V0 ト √ 2I0 (2) チ Q C リ 0 ヌ V0 r ル V0 I0 rI0 + V0 物理問題 III (1) あ ∆e = 2mvp vx 4 い vx ∆t 2L n= う vp ∆t · mvx2 L ∆en = え ∆en = − ∆L mvx2 L お vx = vy = vz より， m 2 (v + vy2 + vz2 ) 2 x 3 = mvx2 2 e= か 理想気体の単原子分子の内部エネルギーは 32 kT なので， T = mvx2 k き 2∆L mvx2 3kL ∆T = く ∆T 2 ∆L =− T 3 L け ボイル・シャルルの法則より， PV = Const. T また，文中にも示してある通り，ポアッソンの関係式より， TV 2 3 = Const. 以上より， P ×V 5 3 = Const. (2) こ 気体が熱を吸収するのは，B→C のプロセスにおいてのみである。よって，1 サイクルに気体 が吸収する熱量 Qin は， 3 Qin = R(TC − TB ) 2 5 さ 気体が放熱するのは，D→A のプロセスにおいてのみである。よって 1 サイクルに気体が放 熱する熱量 Qout は， 3 Qout = − (TA − TD ) 2 3 = (TD − TA ) 2 し Qout Qin TD − TA =1− TC − TB η =1− す η = 1 − ε− 3 2 6
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