ダウンロード - 新しい重力理論

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時空理論／重力場
渡辺満（静岡県）
§０はじめに
本書は、時空理論の、特に重力場に関する部分の説明である。
時空理論の本体（第 1 章～第 8 章）は、どちらかというと、純粋数学のようなものであるから、
物理学色の強いものは、本体から切り離して、このような別冊とすることにした。
§１広義の等価原理
ニュートン力学では、重力と慣性力は、別の種類の力として、扱われていた。
しかし、時空理論では、重力と慣性力は、本質的に同じものである、と考える。
重力は元々、物体の重さの原因、すなわち、この地球上で、物体を下方に引っ張る力として、
導入された。
一方、慣性力は、例を上げれば「加速する車に乗った人の背を、後方に引く力」であり、
「物に紐を付けて、グルグル回したときに、発生する遠心力」である。
一般的に言えば、慣性力は、「物体が自由落下から外れた時に、顕現する力」である。
時空理論では、この「加速する車に乗った人の背を、後方に引く力」、すなわち、慣性力は、時
空間に潜在している宇宙の星々の重力が、目前に具体的に顕現したものである、と考える。
すなわち、慣性力は重力であり、重力は慣性力である。
我々が地球上で、物体を持ち上げた時に、重いと感じるのは、自由落下から外された物体が、
顕現した慣性力によって、引っ張られるからである。
地球の重力もまた、宇宙の慣性力の、一因となるだろう。
§２物体の質量は一定不変か？
「加速する車に乗った人の背を、後方に引く力は、宇宙の星々の重力が、顕現したものであ
る」
この考えに従うならば、物体に生ずる慣性力の原因は、宇宙に存在する物質ということになる。
これから、次のように言える。
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「宇宙の物質が、濃密ならば、物体の慣性力は大きく、希薄ならば、物体の慣性力は小さい」
慣性力を慣性質量に、置き換えると、
「宇宙の物質が、濃密ならば、物体の慣性質量は大きく、希薄ならば、物体の慣性質量は小
さい」
物体は、遠くの天体よりも、近くの天体の重力の影響を、強く受けるだろう。
従って、こう言うことができる。
「物体の慣性質量は、その物体が置かれた周辺の、物質の存在密度に依存し、周辺物質の
存在密度が、大きい程大きい」。
これらは、定性的推論であるが、時空理論からも、同じ結果が示される。（次節§３）
おもしろいことに、この考えを用いると、宇宙の加速膨張が、簡単に説明できてしまう。
宇宙の加速膨張とは、
「我々から遠い天体ほど、大きな速度で、遠くへ遠去かっている」、という天文学における観測
結果のことである。
この原因については、現在、「暗黒エネルギー」などが提唱されているが、
そんなものを持ち出さなくても、次のような考えで、容易に解決することができる。
僕は、天文学の専門家ではないが、察するに、
宇宙のかなたへ行けば行く程、天体の数は減少し、すなわち、質量密度は小さくなるだろう。
すると、上に述べたように、宇宙のかなたでは、天体の慣性質量は小さくなる。
もし、ここでも、運動量が保存されているならば、逆に、天体の速度は、大きくならなければな
らない。
なぜなら、ｍｖ＝一定なので、ｍが減少すると、ｖが大きくなる。
§３自由落下の方程式
時空理論／第４章によれば、単相時空 ( x i , Gij = λBij , Ai ) における自由落下路 x i (τ ) の方程
式は、
Bli
d
dx i
(αv i ) + ( Al − ∂ lη ) = 0 , v i =
dτ
dτ
η = log λ , α = exp( 2ς + 2η ) , ς = − ∫ Ak dx k , dτ 2 = αB jk dx j dx k
となる。ここで、 τ は固有時と解釈できる。（添え字はすべて 4 元）
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これに基本質量 m0 を乗じて、
Bli
d
(m0αv i ) + m0 ( Al − ∂ lη ) = 0
dτ
とする。
これは古典力学のそれに、うまく対応していて、 m0αv i が運動量、 ( Al − ∂ lη ) が重力場と言え
るだろう。・・・・・（注意）左辺第 1 項は、 Bli によって負になっている。
これにゲージ変換を行うと、 ( Al − ∂ lη ) は変化しないが、 Al と ∂ lη の各々は、変化してしまう。
そこで、ゲージをどこに合わせればよいか？が問題になるが、これは、次節で明らかになる
だろう。
さて、 m0αv i を見ると、ここに古典力学のそれにはなかったところの、
α = exp( 2ς + 2η )
が入っている。これが前節で述べた、慣性質量の変化と考えることができる。
(ς + η ) は、広い意味の重力ポテンシャルである。
ここで、基本質量という言葉を用いたが、基本質量とは、例えば、「10 円玉の基本質量は、宇
宙のどこへ行っても、同じである」、そういう意味の質量である。
§４場の方程式
ここでは、単相時空 ( x i , λBij , Ai ) を対象にして、場としての、 Ai と λ の満たすべき方程式を
考察する。
衆知の通り、電磁ポテンシャル Ai については、電磁気学によってすでに、その方程式や、そ
の解法が確立されている。また、重力場については、ニュートン力学のそれがある。
従って、ここでは、それらの結果を尊重し、それらを引用しながら、考えてみよう。
４元化された Maxwell の方程式は、
∂ j f ij = J i ....(1)
4
と書かれる。ここで、
f ij = ∂ i A j − ∂ j Ai
,
f ij = B ik B jl f kl
J i は、電流密度である。
・・・時空理論では、 B ij を次のように定義している。
B 11 = B 22 = B 33 = −1 , B 44 = 1 , 他は 0
式(1)の左辺を変形すると、
∂ j f ij = ∂ j {B ik B jl (∂ k Al − ∂ l Ak )} = B ik B jl (∂ j ∂ k Al − ∂ j ∂ l Ak )
= B ik B jl ∂ j ∂ k Al − B ik B jl ∂ j ∂ l Ak = B ik ∂ k ( B jl ∂ j Al ) − B ik B jl ∂ j ∂ l Ak
となる。
もし、ここに、ローレンツ・ゲージと呼ばれる条件、
B ij ∂ i A j = 0
を付加するならば、
∂ j f ij = − B ik B jl ∂ j ∂ l Ak = − B jl ∂ j ∂ l ( B ik Ak )
となるから、方程式(1)は、
− B jl ∂ j ∂ l ( B ik Ak ) = J i
....(2)
のようになる。
方程式(2)は、各 A i = B ik Ak についての波動方程式であり、その解は、簡単で理解しやすい
形に記述できることが、知られている。
これについては、例えば、砂川重信著：電磁気学（岩波書店）第７章、が詳しい。
ところで、電磁ポテンシャル Ai は、当初は、純粋に数学的概念として導入されたが、
近年になって、AB 効果（Aharonov-Bohm）が発見されて、物理的実在として確認されるに至
った。
すると、ここで、自然界が、どういうゲージになっているのか、問題になるが、
AB 効果の実験を見ると、どうも自然界は、ローレンツ・ゲージに設定されているように思え
る。
方程式(2)も、ローレンツ・ゲージによって得られた。
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ローレンツ・ゲージであると、色々都合がよいのである。
この理由から、単相時空 ( x i , λBij , Ai ) を考えるときは、まず、これをローレンツ・ゲージに変
換してから始めればよい、ということになる。
前節で、時空理論において、単相時空では、 ( Al − ∂ lη ) が、古典的な重力場に対応する、と
述べた。ここで、
η = log λ
である。このη は、古典力学の重力ポテンシャルに対応する。
古典力学では、重力場の方程式は、
∂ 2η ∂ 2η ∂ 2η
+
+
= ρm
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
（右辺は質量密度）
と書ける。
しかし、これには時間変化の項がない、またローレンツ変換に対して共変でない。
その点を修正するならば、
− B ij ∂ i ∂ jη = ρ m
が妥当なものになるだろう。詳しく書くと、
∂ 1∂ 1η + ∂ 2 ∂ 2η + ∂ 3 ∂ 3η − ∂ 4 ∂ 4η = ρ m
さて、重力場 ( Al − ∂ lη ) について、
B ij ∂ i ( A j − ∂ jη ) = ρ m
となっている。
すなわち、ローレンツ・ゲージによって、重力場は、電磁気による重力場 Ai と、質量による重
力場 − ∂ lη の２つに、うまく分離されるのである。
ここにも、ローレンツ・ゲージの優位さが現れている。
§５第 3 の重力
ここまで、2 種類の重力を示したが、さらに、もうひとつの重力が考えられる。
最初に、３つを列挙すると、
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１）従来どおりの、質量によって生じる重力
２）電磁気による重力（電磁ポテンシャル Ai ）
３）電磁気によって物体内に生じる、新たな重力
第 1 と第 2 は、時空間に場として生じる重力であるが、これから述べる第 3 のものは、特に物
体内に、電磁気の作用によって、生じる重力である。
これは、時間積分される性質があるので、時として、第 1 と第 2 のそれとは比較にならない程
大きくなるだろう。
● 電磁ポテンシャル Ai の場に置かれた物体には、その内部に、 Ai による時空ポテンシャル
ς が、生じるだろう。
時空ポテンシャル ς は、広い意味の重力ポテンシャルであるから、古典力学に照らして考え
れば、その勾配 ∂ i ς が、重力であってもおかしくない。
たぶん、それが重力になるだろう、と予想できる。
しかし、すでに電磁ポテンシャル Ai が、上記２）の重力として存在し、それが物体内でも、生き
ているだろう。
その辺りは、どうなるのか？それを数学的に解析してみよう。
● 最初に、この対象物体の各点の世界線が、 x 4 軸に一致するような座標 ( x i ) を取って、
その上で考えることにしよう。（物体に張り付いた座標）
点 P 、点 P は、この物体内の隣接する点。点 R 、点 Q は、点 P の過去の点とする。
さて、この対象物体上に実関数 ς ( P ) を、遠い過去を線積分の始点にして、
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P
ς ( P) = − ∫ A4 dx 4
−∞
と定義する。線積分は x 4 軸方向で行う。これが、時空ポテンシャルである。
da i = P i − P i
とおき、点 R 、点 Q を、
R i = R i + da i , Q i = Q i + da i
と定義する。すると、
P
ς ( P ) = ς (Q ) − ∫ A4 ( R )dx 4
Q
P
ς ( P ) = ς (Q) − ∫ A4 ( R)dx 4
Q
と書ける。これから、
P
P
Q
Q
ς ( P ) − ς ( P) = ς (Q ) − ς (Q) − ∫ A4 ( R )dx 4 + ∫ A4 ( R)dx 4
となるが、ここで、
ς ( P ) − ς ( P) =
∂ς
∂x i
∂ς
ς (Q ) − ς (Q) = i
∂x
da i
P
da i
Q
また、
A4 ( R ) = A4 ( R ) +
∂A4
da i
∂x i R
から、
∫
P
Q
P

∂A
A4 ( R )dx 4 = ∫  A4 ( R ) + 4i da i dx 4
Q
∂x R


となるから、
∂ς
∂x i
da i =
P
∂ς
∂x i
P ∂A

da i − ∫  4i da i dx 4
Q ∂x


Q
である。この右辺第 2 項を変形すると、
P ∂A
∂Ai ∂Ai  i 4
 ∂A4 i  4
4
=
da
dx


∫Q  ∂x i 
∫Q  ∂x i − ∂x 4 + ∂x 4 da dx
P ∂A
P ∂A
∂A 

= ∫  4i − 4i da i dx 4 + ∫  4i da i dx 4
Q
Q ∂x
∂x 
 ∂x


P
8
P
= ∫ ( f i 4 da i )dx 4 + Ai ( P )da i − Ai (Q )da i
Q
これによって、
∂ς
∂x i
da i =
P
∂ς
∂x i
P
Q
da i − ∫ ( f i 4 da i )dx 4 − Ai ( P )da i + Ai (Q )da i
Q
である。これらより、
∂ς
∂x i
 ∂ς
da i =  i
 ∂x
P
Q

P
− ∫ f i 4 dx 4 − Ai ( P ) + Ai (Q )da i
Q

これが、任意の方向の da i に対して成り立つから、その結果、
∂ς
∂x i
P
P
= − Ai ( P ) − ∫ f i 4 dx 4 +
Q
∂ς
∂x i
Q
∂ς
∂x i
Q
+ Ai (Q )
が得られる。変形すると、
∂ς
∂x i
P
P
+ Ai ( P ) = − ∫ f i 4 dx 4 +
Q
+ Ai (Q )
である。
最後の式によって、最初に提起した疑問は、解決するだろう。
ここに、今までにない新しい項が登場した。それは、
P
Fi = ∫ f i 4 dx 4
Q
である。これを第 3 の重力と呼ぶことにしよう。これが、物体内の各点に発生する。
さて、ここで、
∂ς
∂x i
+ Ai (P)
P
の式の意味は、元から
∂ς
∂x i
の中に入っている − Ai (P ) を、排除しているのだと考えられ
P
る。
──────────────────────
2013 年 3 月 Ver1.1 発行
著者：渡辺満 , 発行者：渡辺満
Copyright 渡辺満 2013 年

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