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根軌跡法�
•  閉ループ伝達関数Go(s)の極の配置から
閉ループ特性の概略がわかる
•  望ましい閉ループ特性を満たす制御系を
設計するには、極の配置に着目すればよい�
1+G(s)H(s)=0の根�
81
根軌跡�
•  G(s)に含まれるパラメータ（主にゲイン）の
一つが0から∞まで変化するとき、
1+G(s)H(s)=0の根がs平面上に描く軌跡
•  代数方程式を解かず、G(s)の零点と極の
位置から作図する
•  根軌跡から閉ループ系の周波数特性、時
間特性が把握できる
82
根軌跡の例�
次の2次のサーボ系の根軌跡
R(s)�
+�
−�
K
s(s + 1)
C(s)�
1+G(s)=0�⇒�s2+s+K=0�の根を求め、
Kが0から変化したときの根s1, s2の
軌跡を描く
83
根軌跡の例�
s1 , s2 =
1 1
±
1
2 2
4K
Kが0から変化したときの根s1, s2
K=0
0<K<
K = 14
K > 14
1
4
s1 = 0, s2 = 1
s1 , s2 は s 平面の実軸上
s1 , s2 = 12
s1 , s2 = 12 ± j 12 4K 1
84
根軌跡�
K=0�
1
K=
4
K=0
K=0
85
根軌跡の特徴�
1.  根軌跡がs平面の左半平面にあるので、
Kの値に関わらず常に安定
2.  Kが0≤K≤1/4の範囲ではサーボ系のステッ
プ応答は単調増加
3.  1/4<Kのとき、ステップ応答は振動的と
なる。Kの値が大きくなるとき
•  減衰率ζが小 ⇒�減衰性は小
•  固有振動数ωnは大�⇒�速応性向上
•  特性根の実部は常に−1/2�
⇒�整定時間はあまり変化しない
86
根軌跡法�
•  特性方程式が2次方程式なら解を求め
て根軌跡を描くことができる
•  3次以上では解けない
⇒�法則を使って根軌跡を描く�
m
(s
G(s)H(s) =
zi )
i
n
と書けるとする�
(s
pi )
i
87
根軌跡法�
1.  根軌跡は開ループ伝達関数G(s)H(s)の極
から出発して、G(s)H(s)の零点で終わる
2.  根軌跡の分岐の数はG(s)H(s)の極の数に
等しい
3.  根軌跡は実軸に対して上下対称
88
根軌跡の例�
R(s)�
+�
−�
K
s(s + 1)
C(s)�
開ループ伝達関数
K
G(s)H(s) =
s(s + 1)
1.  極は2個で0と−1 ��
零点は0個で∞
2.  分岐の数は2個
3.  実軸に対し上下に対称
89
根軌跡法�
4.  無限遠点に伸びる根軌跡分岐の漸近線の
傾斜角φ0と、漸近線と実軸との交点σ0は
以下のように求められる
0
0
(2k + 1)
=
n m
b1 a1
=
n m
ただし、b1はG(s)H(s)の極の総和、a1はG(s)H(s)の
零点の総和
n
b1 =
m
pi , a1 =
i=1
zi
i=1
90
根軌跡の例�
R(s)�
+�
−�
K
s(s + 1)
C(s)�
0
開ループ伝達関数
K
G(s)H(s) =
s(s + 1)
4.  �n=2, m=0, b1=−1+0, a1= 0
�なので
3
,
0 =
2 2
1
0 =
2
0
=
=
2
1
2
0
=
3
2
91
根軌跡法�
5.  実軸上のある点から右側をみて、
G(s)H(s)の極と零点の数の総和が奇数
ならばその点は根軌跡上にある
92
根軌跡の例�
R(s)�
+�
−�
K
s(s + 1)
C(s)�
開ループ伝達関数
K
G(s)H(s) =
s(s + 1)
5.  �−1≤x≤0の範囲では右
側に極0が1個（奇数）で
零点はない。したがって
この実軸の点は根軌跡
の上にある
93
例題8.7�
次の閉ループ系について、その根軌跡を描け
K
R(s)�
C(s)�
+�
s(s + 1)(s + 2)
−�
開ループ伝達関数
K
G(s) =
s(s + 1)(s + 2)
極は ��3個、s=0, −1, −2
零点は��なし。すなわち無限遠
94
例題8.8�
1.  始点は0, −1, −2
��終点は無限遠点��
2.  根軌跡の分岐は
極の数である3本
3.  実軸に対して対称 �
95
例題8.8�
4.  根軌跡分岐の漸近
線の傾斜角φ0と、漸
近線と実軸との交点
σ0は
n=3, m=0,
b1=0−1−2=−3,
a1= 0
��なので �
0
0
5
= , ,
3
3
3
=
= 1
3
0
0
=
0
5
=
3
3
=
0
=
1
96
例題8.8�
5.  実軸上の根軌跡�
−1≤x≤0の範囲では
右側に極が0の1個。
x≤−2では右側に極が
0, −1, −2の3個。
従って−1≤x≤0， x≤−2
は根軌跡の上にある
97
根軌跡による補償�
•  根軌跡により、周波数特性と時間特性を
把握できる
•  開ループ伝達関数に対して、閉ループ
伝達関数に望ましい特性を持たせること
にも有用�
98
根軌跡による補償�
•  仕様として、減衰率と整定時間で与えら
れている場合
d
T s ts
•  減衰率
=
= cos
n
ζ�の選び方は条件による�
99
根軌跡による補償�
•  減衰率（行き過ぎ量）に
よる根軌跡の制限�
d
d
cos
1
d
=
d
100
根軌跡による補償�
•  整定時間による
根軌跡の制限�
3
Ts =
n
n
=
ts
3
ts
3
=
ts
101
根軌跡による補償�
•  2つの条件を合わせ
ると右図のような範
囲が許容範囲
•  設計の際には閉ル
ープ伝達関数の極
がこの許容範囲に
入るようにゲインを
定める�
d
3
=
ts
102
根軌跡における補償効果�
PD制御の効果を根軌
跡で確認
K
R(s)�
C(s)�
+� s(s + 1)(s + 2)
−�
=
K’�
減衰率をζ’に設定したと
き交点からゲイン定数が
K’が求まるが、これでは
速応性や定常特性が満た
せないとする
103
根軌跡における補償効果�
PD補償を入れる
K
R(s)�
s + 1.5
+−
s(s + 1)(s + 2)
同じ減衰率をζ’でもωn�, K
が大きくなり、速応性、定常
特性が改善する
C(s)�
=
K>K’�
K’�
104
根軌跡における補償効果�
位相進み補償の効果
K
R(s)� C(s)�
+�
s(s + 1)
−�
根軌跡は右図
=
K’�
105
根軌跡における補償効果�
位相進み補償を入れる
K
s+2
R(s)�
C(s)�
+
−
s(s + 1)
s+3
同じ減衰率ζ’でもωn、Kが
大きくなり、速応性、定常
特性が改善する
K>K’�
=
K’�
106
例題8.9�
次の閉ループ系について、
仕様に合致するように、設
計せよ
K
R(s)�
C(s)�
+� s2
−�
a)  整定時間 Ts ≤ 3[sec]
b)  行き過ぎ量Os ≤ 10%
107
例題8.9�
Kを調整しても安定限界
負の実軸上に零点を
付加して、根軌跡を左
に移す。
T = 3
3[sec]
s
n
より、ζωn=1とする
Os = 10%はζ=0.6に対応す
るので、ζ>0.6
108
例題8.9�
特性根をζ=0.6に対応した
s1 , s2 = 1 ± j1.33
とする
補償要素の零点を
s = −z = −1
と定める
109
例題8.9�
点s1が根軌跡上にあるた
めの位相条件
Gc (s1 )G(s1 ) = (2k + 1)180
すなわち
(s1 + z)
s1 2
(s1 + p)
=(2k + 1)180
(s1 + z) = (j1.33) = 90
s1 2 = 2 s1 = 2(127 )
より
(s1 + p) = 16
110
例題8.9�
実軸上の極pは
s = p = 5.63
K(s + 1)
Gc (s1 )Gp (s1 ) = 2
s (s + 5.63)
ゲインKを求めるために
|Gc (s1 )Gp (s1 )| = 1
|s1 | |s1 + 5.63|
K=
|s1 + 1|
(1.66)2 (4.82)
=
10
1.33
2
10(s + 1)
Gc (s1 )Gp (s1 ) = 2
s (s + 5.63)
111

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