テーマ B51：逆関数元の関数の x と y を入れ替えた

埼玉工業大学
テーマ B51：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
逆関数－1/7
逆関数
元の関数の x と y を入れ替えた関数を逆関数といいます．ただし，逆関数は x とに対し
て y が一つだけ存在する範囲で定義しなければなりません．
逆関数を求めるには，次のようにします．
① 元の関数 y  f  x  を x に関して解いて， x  g  y  と表す．
② 関数 x  g  y  の x と y を入れ替えて y  g x  とする．この y  g x  が逆関数となる．
例１. y  x 2
y  x 2 を x に関して表すと
x y
となるので，x と y を入れ替えると，
y x
となります．このままでは同じ x に対して，y はプラスとマイナスの 2 つの値が存在する
ことになります．逆関数では x と y は 1 対 1 の関係になければならないため，場合分けが
必要になります．すなわち，
y  x2
x  0 の逆関数は y 
y  x2
x  0の逆関数は y  
x
x
となります．
y  x2
 x  0 と y 
x および y  x 2
 x  0 と y  
x の関数は図 1 に示すように直線
y  x に対して線対称となることがわかります．この例のように，逆関数と元の関数は直線
y  x に対して線対象となる特徴があります．
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
逆関数－2/7
y
1
O
1
x
図1
例２． y  x2  2 x  2
y  x2  2 x  2 を x に関して表すと
y  x 2  2 x  2  x  1  1
2
x   y 1 1
となるので，x と y を入れ替えると，
y   x 1 1
場合分けを行うと
y  x2  2x  2
x  1 の逆関数は y 
y  x2  2x  2
x  1 の逆関数は y  
となります． y  x2  2x  2
y  x2  2x  2
x  1 と
x 1 1
x 1 1
y  x 1 1 および y  x2  2x  2
x  1 の関係は図 2 のとおりです．
 x  0 と
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
y
1
O
-1
1
-1
図2
例３． y  log x
自然対数 y  log x は指数関数を用いると，x に関して
x  ey
と表せるので，x と y を入れ替えると， y  log x 逆関数は
y  ex
となります． y  log x と y  e x の関係は図 3 のとおりです．
x
逆関数－3/7
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
y
1
O
1
2
図3
例４． y 
y
1
x 1
1
を x に関して表すと
x 1
1
x  1
y
となるので，x と y を入れ替えると， y 
y
1
の逆関数は
x 1
1
1
x
となります． y 
1
1
と y   1 の関係は図 4 のとおりです．
x 1
x
e 3
x
逆関数－4/7
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
y
1
O
1
x
図4
例５． y  sin x
y  sin x は逆三角関数を用いると，x に関して


2
x

2
の範囲において
x  sin 1 y

 
と表せるので，x と y を入れ替えると， y  sin x    x   の逆関数は
2
 2
y  sin 1 x

 
となります． y  sin x    x   と y  sin 1 x の関係は図 5 のとおりです．
2
 2
逆関数－5/7
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
y
1
1
O
図5
例６． y  sinh x
y  sinh x 
e x  e x
を変形すると
2
2 y  e x  e x
e x  2 y  ex  0
e 2 x  2 ye x  1  0
この式は， e x に関して 2 次式となるため，解の公式より e x に関して
ex  y  y2 1
となります．さらに， e x  0 でなければならないので，適する解は
ex  y  y2 1
となります．x と y を入れ替えると，
e y  x  x2 1
となるので，両辺の対数を取ると，逆関数は

y  log x  x 2  1

x
逆関数－6/7
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
逆関数－7/7
となります．この関数は y  sinh 1 x と表記されます．
y  sinh x 


e x  e x
と y  sinh 1 x  log x  x 2  1 の関係は図 6 のとおりです．
2
y
1.175
1
1
O
x
図6
問題．逆関数のグラフが元の関数のグラフと重なるものは次のどれか．
1
1
1
， y   1， y  2 ， x 2  y 2  1
x
x
x
解答．逆関数が元の関数に一致するものを探せばよいから，答えは
y  x 3 ， y  x ， y  x  1， y 
y x，y
1
， x2  y 2  1
x
x  0, y  0
x  0, y  0
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/Tech_inform/Pdf/InverseFunction.pdf
Copyright ⓒ 2014 小西克享, All Rights Reserved.
個人的な学習の目的以外での使用，転載，配布等はできません．
お願い：本資料は，埼玉工業大学在学生の学習を支援することを目的として公開しています．本資
料の内容に関する本学在学生以外からのご質問・ご要望にはお応えできません．

Download Report