B40. 線積分の意味

埼玉工業大学
テーマ B40：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
線積分の意味－1/10
線積分の意味
１．通常の積分
通常の積分は xy 座標系において関数 f(x)の描く面積を求めることであり，図に示すよう
に積分範囲を定めると具体的にハッチング部分の面積 S を求めることができます．このと
き，関数 f(x)は x 軸に対して積分することになります．
関数
y
B
A
x１
x2
x
２．曲線 C に沿う線積分
xy 平面上の曲線 C の一点 M から引いた xy 平面に垂直な直線と曲面 z  f x, y  との交点を
N とします．線積分は，MN が曲線 C に沿ってから A から B まで動くとき，MN が描く面
積 S のことです．C は直線でも円でも何でも構いません．曲線 C に沿う A と B の座標値を
s1 と s2 とするとき，線積分は
S   zds   f x, y ds
s2
C
s1
と定義されます．ここで，ds は曲線 C の線素といいます．
参考：通常の積分は，曲線 C を x 軸に置き換え，y を 0 とおいた xz 平面における関数
z  f x,0 の線積分に相当します．
z
曲線 C に沿う切り口
曲面
N
y
B(s2)
M
A(s1)
x
曲線 C:
x
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線積分の意味－2/10
では，比較的簡単に計算できるサンプルを通じて計算方法を学習しましょう．
例題 1．関数ｚ=1（平面）を，直線 y  x に沿って線積分せよ．ただし，積分範囲は，0  x  1
とする．
解答
図から，線積分は高さ 1，底辺の長さ 2 の長方形の面積に相当し，答えは 2 になるこ
とがわかります．これは C の長さに相当する値です．定義にしたがって実際に C に沿う積
分を行う場合
S   zds   ds  s0  2
2
C
2
0
と計算されます．次のように変換を行うことで，線積分を C に対してではなく，x 軸に対
して行うことができます．
ds  dx 2  dy 2  dx 2  dx 2  2dx 2  2dx
さらに，積分範囲は，ds: 0→ 2 に対して dx: 0→1 となるので
2
1
S   1ds   ds  
C
0
0
2dx  2 x 0  2
1
関数
z
A(1,1,1)
y
1
1
直線 C:
0
等価な積分
z
A
1
0
1
dy=dx
x
1
s
dx
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線積分の意味－3/10
参考：一般に，関数ｚ=a（a は定数）を曲線 C に沿って線積分すると，曲線 C の長さに
a を乗じた面積が得られます．
例題 2．関数 z  y  1 を，直線 y  x に沿って線積分せよ．ただし，積分範囲は， 0  x  1
とする．
解答
図から，線積分は短辺 1，長辺 2，高さ 2 の台形の面積に相当し，答えは
3
2 になるこ
2
とがわかります．
z
関数
2
y
1
1
直線 C:
0
1
等価な積分
z
2
1
0
1
dy=dx
x
s
dx
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線積分の意味－4/10
C に沿う積分を行う場合，切り口の関数は s に関して
1
z
s 1
2
と表されるので，0 から 2 まで積分すると
2
S   zds  
C
2
0
1
3
 1

 1 2 
s  1ds  
s  s 
 2
2

2
2
 2

2 2
0
となります．置換積分を行う場合，C が y  x と表されるので z  y  1 に代入すると z  x  1 が
得られます．積分範囲は例題 1 と同じ dx: 0→1 です．そこで
1
1
1
1

1  3
S   zds   x  1 2dx  2  x  1dx  2  x 2  x   2   1 
2
C
0
0
2
0
2  2
と計算でき，同じ結果が得られます．このように x で置換積分を行う場合，関数 z  g x, y 
の y を，曲線 C を表す関数に置き換え，x のみの関数である z  hx  に変換する必要があり
ます．
2
例題 3．関数 z  y  1 を，直線 y  x に沿って線積分せよ．ただし，積分範囲は，0  x  1
とする．
解答
z
関数
2
y
1
dy=dx
1
直線 C:
0
1
dx
x
この問題では，線素 ds に沿って積分するより，置換積分を用いる方が適しています．
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線積分の意味－5/10
ds  2dx
2
また，曲線 C の式を z  y  1 に代入すると z  x 2  1 が得られます．
積分範囲は dx: 0→1 なので線積分は
1


1
S   zds   x  1 2dx  2 
C
0
2
0

1

1

1  4
x  1 dx  2  x 3  x 2   2   1 
2
3
0
3  3
2
となります．
例題 4．平面 z  x を，直線 y  x に沿って線積分せよ．ただし，積分範囲は， 0  x  1 と
する．
2
解答
曲線 C の式は
y  x2
なので，微分すると
dy  2 xdx
となります．これを代入すると
ds  dx 2  dy 2  dx 2  4 x 2 dx 2 
1  4x dx
2
2
 1  4 x 2 dx
線積分は
1
S   zds   x 1  4 x 2 dx
C
0
z
2
関数
y
1
1
曲線 C:
0
ここで
1
x
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線積分の意味－6/10
1  4x2  t
とおくと
1  4x2  t 2
8 xdx  2tdt
1
xdx  tdt
4
積分範囲は dx: 0→1 に対して dt: 1→ 5 なので
1
5
5
1
1
S   x 1  4 x 2 dx   tdt  t 2 1  5  1  1
0
1
4
4
 
2
例題 5．関数 z  y を，放物線 y  x に沿って線積分せよ．ただし，積分範囲は，0  x  1
とする．
解答
曲線 C の式は
y  x2
なので，微分すると
dy  2 xdx
となります．線素は
ds  dx 2  dy 2  dx 2  4 x 2 dx 2 
1  4x dx
2
2
 1  4 x 2 dx
と変形できます．曲線 C の式を z  y に代入すると x  0 なので z  x が得られます．よっ
て線積分は
1
S   zds   x 1  4 x 2 dx
C
0
となります．ここで
1  4x2  t
とおくと
1  4x2  t 2
8 xdx  2tdt
1
xdx  tdt
4
さらに，積分範囲は，dx: 0→1 に対して dx: 1→ 5 となるので
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1
S 
4 1
5
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線積分の意味－7/10
5
1 1 
1
1
tdt   t 2   5  1 
4  2 1
8
2
となります．
z
2
関数
y
1
1
曲線 C:
0
x
1
2
2
例題 6．関数 z  x  y を，円 x  y  1に沿って線積分せよ．ただし，積分範囲は，0  x  1
かつ 0  y とする．
解答
角度は反時計方向を正に取ると，
x  cos dx   sin d
y  sin  d  cosd
となるので
z  x  y  cos  sin 
ds  dx 2  dy 2 
 sin d 2  cosd 2 
sin 2   cos 2  d  d

→0 となりますが，のマイナス方向  d
2
に積分することになるためそのままでは積分値が負になります．そこで，値を正にする目
的から積分にマイナスを掛けておきます．そこで，線積分は
となります．積分範囲は，x: 0→1 に対して :


S   zds   cos   sin  d   2 cos   sin  d  sin   cos  02  1  0  0  1  2
0
C
となります．
2
0
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線積分の意味－8/10
z
関数
2
y
1
1
曲線 C:
0
x
1
３．曲線 C に沿う x 方向および y 方向の線積分
線積分の特別な例として，x 方向および y 方向の線積分を考えます．
曲線 C に沿う切り口
z
曲線 C に沿う y 方向の線積分
関数
y
y2
B(x2, y2)
y1
A(x1, y1)
x1
曲線 C:
x2
もしくは
x
曲線 C に沿う x 方向の線積分
xy 平面上の曲線 C の 2 点を A(x1, y1)，B(x2, y2)とするとき，関数 z  g x, y  に対する積分
S   zdx   f x, g x dx
x2
C
x1
S   zdy   f h y , y dy
y2
C
y1
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線積分の意味－9/10
を，関数 z  g x, y  の曲線 C に沿う x 方向および y 方向の線積分といいます．
図に示すように，曲線 C に沿う x 方向の線積分は，曲線 C の式を y  g x  で表したとき，
関数 z  f x, y  の曲線 C に沿う切り口を xz 平面に投影した場合の関数 z  f x, g x  の x 軸
に対する積分です．また，曲線 C に沿う y 方向の線積分は，曲線 C の式を x  h y  で表し
たとき，関数 z  f x, y  の曲線 C に沿う切り口を yz 平面に投影した場合の関数 z  f hx , y 
の y 軸に対する積分となります．
例題 7．直線 C を y  x とするとき，関数ｚ=1（平面）を，直線 C に沿って x 方向に線積
分せよ．ただし，積分範囲は， 0  x  1 とする．
解答
図より xz 平面への投影された図形は辺の長さが 1 の正方形となり，その面積は 1 となる
ことがわかります．これを積分で求めると次のようになります．
S   zdx   dx  x 0  1
1
C
1
0
関数
z
A(1,1,1)
y
1
1
直線 C:
0
1
x
例題 8．直線 C を y  x とするとき，関数 z  y  1 （平面）を，直線 C に沿って x 方向に
線積分せよ．ただし，積分範囲は， 0  x  1 とする．
解答
図より xz 平面への投影された図形は短辺の長さが 1，長辺の長さが 2，高さが 1 の台形
となり，その面積は S 
のようになります．
1
1  21  3 となることがわかります．これを積分で求めると次
2
2
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線積分の意味－10/10
1
1
3
1

S   zdx    y  1dx   x  1dx   x 2  x   1 
C
0
0
2
2
0 2
1
1
z
関数
2
y
1
1
直線 C:
0
1
x
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/PathIntegral.pdf
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