C09. アルキメデスの原理と浮力

埼玉工業大学
テーマ C09：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
アルキメデスの原理と浮力－1/6
アルキメデスの原理と浮力
１．アルキメデスの原理
浮力は，物体が流体（気体と液体）中にあるとき，物体と流体との密度差によって物体
には上向きの力が作用し，この力を浮力といいます．浮力の大きさ F [N]は，物体が排除し
ている流体の重量に等しく，式で表すと(1)式のようになります．これをアルキメデスの原
理といいます．
F  Vg [N] (1)
ここで，
：流体の密度 [kg/m3]
V：物体の体積 [m3]
g：重力加速度 [m/s2]
式の導出
図 1 に示すように，体積 V [m3]，底面積 A [m2] の直方体が流体中にあるものとします．
直方体の上面には圧力 p1 [Pa]，下面には圧力 p 2 [Pa] が加わるため，物体を下面から押す力
の方が上面より押す力の方が大きいことになります．この力の差が浮力になります．一方，
側面には深さに比例した圧力が加わりますが，反対側の面には対称な圧力が加わるため，
側面の作用する力は互いに打ち消し合うことになります．
h
p1
H
p2
図1
流体の密度を [kg/m3] とすると，物体上面に作用する力は，
F1  Ap1  Ahg [N]
物体下面に作用する力は，
F2  Ap 2  A h  H g [N]
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アルキメデスの原理と浮力－2/6
となるため，力の差は
F  F2  F1  A h  H g  Ahg  AHg  Vg [N]
となり，上述の(1)式が導出されます
例題 1. 密度 0.900 [kg/m3]の物体を密度 1.20 [kg/m3]の流体に浮かべた場合，水中に沈む部
分の体積は全体の何%となるか？
解答
物体の体積を V1 [m3] とすると，物体の重量は
W  0.900V1 g [N]
物体の流体中に沈む部分の体積を V2 [m3] とすると，浮力 F [N] は
F  1.10V2 g [N]
物体が流体中に浮かぶためには，浮力 F [N] が物体の重量に等しくなければならないから，
1.20V2 g  0.900V1 g
V
0.900
 2 
 0.750
V1
1.20
よって，水中に沈む部分の体積は全体の 75.0%となる．
例題 2. ヘリウムを充填した飛行船を製作したい．飛行船の質量が 100kg とすると，必要
なヘリウムの体積は何 m3 か？ただし，充填されたヘリウムは標準大気圧で 0℃の状態（密
度 0.1786kg/m3）にあるものとする．また，飛行船は標準大気圧 0℃の空気中（密度 1.293kg/m3）
を飛行するものとする．飛行船を構成する材料の体積は無視するものとする．
解答
ヘリウムの体積を V [m3] とすると，飛行船とヘリウムの合計の重量は
W  100 g  0.1786Vg  100  0.1786V g [N]
飛行船に作用する浮力 F [N] は
F  1.293Vg [N]
飛行船が流体中に浮かぶためには，浮力 F [N] が飛行船の重量に等しくなければならない
から，
1.293Vg  100  0.1786V g
V
100
 89.734 ≒ 89.7m 3
1.293  0.1786
よって，必要なヘリウムの体積は 89.7m3 となる．
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アルキメデスの原理と浮力－3/6
例題 3. 図 2(a)のように重量計の上に水を入れたビーカーが置いたところ，重量計の指示
値は W1 [N] を示した．以下の問に答えよ．ただし，水の密度を [kg/m3] とする．
(1) 体積 V [m3]，質量 m [kg] の物体を図 2(b)のように，水中に完全に沈んだ状態でひも
につるすものとする．このとき，この物体に作用する浮力の大きさは何 N か？
(2) 物体をつるした状態で，ばねばかりの指示値 F2 は何 N になったか？
(3) 物体をつるした状態で，重量計の指示値 W2 は何 N になったか？
(4) 図 2(c)のように，ひもを切って物体をビーカーの底に沈めた場合，重量計の指示値
W3 は何 N になったか？
ばねばかり
重量計
(a)
(b)
(c)
図2
解答
(1) 浮力の大きさは
F  Vg [N]
となる．
(2) ばねばかりに作用する力は浮力の分だけ軽くなるから，
F2  mg  Vg  m  V g [N]
となる．
(3) 作用反作用の法則より，浮力に等しく方向が逆の力が水に作用するため，重量計の指示
値は物体をつるす前より Vg [N] 増加する．よって
W2  W1  Vg [N]
となる．
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アルキメデスの原理と浮力－4/6
(4) ひもを切ったことで，物体の重量はすべて重量計に加わる（浮力と水に作用する力がつ
りあう）から
W3  W1  mg [N]
となる．
ばねばかりが引く力
[N]
F=Vg
F=Vg
F=Vg
mg
つりあう
mg
F=Vg
(a)
(b)
(c)
図3
２．応用－浮き子式比重計
アルキメデスの原理は，浮き子式比重計として液体の比重を測定する機器に応用されて
いる．浮き子式比重計は図 4 に示す構造をしています．液面に一致する目盛りを読むこと
で，液体の比重を直読することができます．液体の比重が小さいほど，浮き子が沈むため
液面は目盛りの上部を指し示します．
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アルキメデスの原理と浮力－5/6
目盛り
液面
おもり
図4
浮き子式比重計
例題
浮き子式比重計を水とアルコールに浮かべたところ，それぞれ図 5 に示す状態となった．
アルコールの比重を 0.789 とする．目盛りのついたステムの直径を d  0.500 cm，比重計の
質量を 2.00g とすると，アルコールに浮かべた場合，ステム上部の位置は水の場合より何
cm 沈むか．
目盛り
水面
h
アルコール液面
おもり
目盛り
おもり
図 5 浮き子式比重計
解答
比重計を水に浮かべたとき，水面下の体積を V1 [cm3]とすると，比重計の質量は浮力に等
しいから
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アルキメデスの原理と浮力－6/6
2.00 g  1.00  Vg
よって
V1  2.00 [cm3]
次に比重計をアルコールに浮かべたとき，アルコール液面下の体積を V2 [cm3]とすると，
比重計の質量は浮力に等しいから
2.00 g  0.789  V2 g
よって
2.00
 2.5349 [cm3]
0.789
V2 と V1 の差は，ステムの円柱部が h だけ沈む場合の体積に等しいから
V2 
V2  V1 

4
d 2h
より
h
4 V2  V1 4 2.5349  2.00

 2.7242 ≒ 2.72 cm
 d2

0.500 2
となる．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/Tech_inform/Pdf/ArchimedesPrinciple.pdf
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