テーマ Q18： L 字形図形の重心と断面 2 次モーメント

埼玉工業大学
テーマ Q18：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
L 字形図形の重心と断面 2 次モーメント－1/5
L 字形図形の重心と断面 2 次モーメント
問題. 図の L 字形図形に関して次の問いに答えよ．
（１）重心 G の座標を h1，h2，b1，b2 を用いて表せ．
（２）L 字形図形を長方形 A と B に分けたとき，A と B のそれぞれの重心 GA，GB を通る
軸回りの断面 2 次モーメントを h1，h2，b1，b2 を用いて表せ．
（３）長方形 A と B の重心 GA，GB を通る軸回りの断面 2 次モーメント I Gx A ,
I  ,
Gy A
IGx B , IGy B を h1，h2，b1，b2 を用いて表せ．
（４）図形全体の重心 G を通る軸回りの断面 2 次モーメント IGx，IGy を h1，h2，b1，b2 を用
いて表せ．
（５） b1  3m, h1  20m, b2  12m, h2  3m のとき，各数値を求めよ．ただし，最終の答
えの桁数は 3 桁とする．
y
b1
A
h1
GA
G
b2
GB
yG
h2
B
O
xG
O’
x
解答
（１）図形のモーメントが 2 つの長方形 A と B のモーメントの合計に等しいとおくと，
b1h1  b2 h2 xG  b1h1  b1  b2 h2   b1  b2 
2
 xG 
b1h1 

2
b1
b 

 b2 h2   b1  2 
2
2
2  b1 h1  b2 h2 2b1  b2 


b1h1  b2 h2
2b1h1  b2 h2 
b1h1  b2 h2  yG  b1h1  h1  b2 h2  h2
2
2
h
h
2
2
b1h1  1  b2 h2  2
b1h1  b2 h2
2
2
 yG 

b1h1  b2 h2
2b1h1  b2 h2 
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機械工学学習支援セミナー（小西克享）
L 字形図形の重心と断面 2 次モーメント－2/5
（２）重心を通る軸回りの断面 2 次モーメントの式は図にしめすとおりである．
y
b
h
S
O
x
長方形 A の重心 GA 回りの断面 2 次モーメントは
2
2
3
S h
bhh
bh
I GA x  A 1  1 1 1  1 1
12
12
12
2
2
3
S b
bhb
b h
I GA y  A 1  1 1 1  1 1
12
12
12
長方形 B の重心 GB 回りの断面 2 次モーメントは
2
2
3
S B h2
bhh
bh
 2 2 2  2 2
12
12
12
2
2
3
S B b2
b2 h2b2
b2 h2
I GB y 


12
12
12
となります．
I GB x 
（３）断面 2 次モーメントの平行軸の定理
I  I G  S Ad 2
を適用すると，式中の I が重心 G 回りの断面 2 次モーメント，IG が長方形の重心回りの断
面 2 次モーメント，d が図形の重心 G と長方形の重心間の距離に相当するので，












3




I Gx A  I GA x  S A yG  yGA  b1h1  b1h1 yG  yGA 2
12
3
b1 h1
2
I Gy A  I GA y  S A xG  xGA   b1h1 xG  xGA 2
12
3
I Gx B  I GB x  S B yG  yGB 2  b2 h2  b2 h2 yG  yGB 2
12
3
I Gy B  I GB y  S B xG  xGB 2  b2 h2  b2h2 xG  xGB 2
12
2
ここで
b1 h1  b2 h2 2b1  b2 
,
2b1h1  b2 h2 
2
xG 
xGA 
なので
b1
,
2
yG A 
b1h1  b2 h2
2b1h1  b2 h2 
2
yG 
h1
b
, xGB  b1  2 ,
2
2
2
yG A 
h2
2
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3
 b1h12  b2 h2 2  h1 b1h1  b2 h2  
b1h1

 b1h1 

12
2b1h1  b2 h2 


I Gx A
L 字形図形の重心と断面 2 次モーメント－3/5
2
b1h1 b1h1b2 h2 h2  h1 

2
12
4b1h1  b2 h2 
3

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2
2
2
3
 b 2 h  b h 2b  b   b1 b1h1  b2 h2 
b h
 1 1  b1h1  1 1 2 2 1 2

12
2b1h1  b2 h2 


I 
Gy A
2
b h b h b h b  b 
 1 1  1 1 2 2 1 22
12
4b1h1  b2 h2 
3
2
2
3
 b h 2  b2 h2 2  h2 b1h1  b2 h2  
bh
 2 2  b2 h2  1 1

12
2b1h1  b2 h2 


I Gx B
2
b2 h2 b2 h2b1 h1 h1  h2 

2
12
4b1h1  b2 h2 
3

2
I 
Gy B
2
2
2
3
 b12 h1  b2 h2 2b1  b2   2b1  b2 b1h1  b2 h2 
b2 h2

 b2 h2 

12
2b1h1  b2 h2 


2
b h b h b h b  b 
 2 2  2 2 1 1 1 22
12
4b1h1  b2 h2 
3
2
2
2
（４）図形全体の重心 G 回りの断面 2 次モーメントは，長方形 A と B の断面 2 次モーメ
ントの合計となるから
I Gx  I Gx A  I Gx B
b1h1 b1h1b2 h2 h2  h1  b2 h2 b2 h2b1 h1 h1  h2 



2
2
12
12
4b1h1  b2 h2 
4b1h1  b2 h2 
3

2
2
2
3
2
2
2
b h  b2 h2 b2 h2b1h1 h1  h2 
 11

12
4b1h1  b2 h2 
3
3
2
I Gy  I Gy A  I Gy B
b h b h b h b  b  b h b h b h b  b 
 1 1  1 1 2 2 1 22  2 2  2 2 1 1 1 22
12
12
4b1h1  b2 h2 
4b1h1  b2 h2 
3
2
2
3
2
2
2
b1 h1  b2 h2 b2 h2b1h1 b1  b2 

12
4b1h1  b2 h2 
3

2
3
2
（５） b1  3m, h1  20m, b2  12m, h2  3m とすると，重心の位置は
b1 h1  b2 h2 2b1  b2  32  20  12  32  3  12

 4.3125m
2b1h1  b2 h2 
23  20  12  3
2
xG 
b1h1  b2 h2
3  202  12  32
yG 

 6.8125m
2b1h1  b2 h2  23  20  12  3
2
2
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L 字形図形の重心と断面 2 次モーメント－4/5
重心 GA，GB 回りの断面 2 次モーメントは
bh
3  203 203
I GA x  1 1 

 2000m 4
12
12
4
3
b1 h1 33  20
I GA y 

 32  5  45m 4
12
12
3
bh
12  33
I GB x  2 2 
 33  27m 4
12
12
3
b h 123  3
I GB y  2 2 
 122  3  432m 4
12
12
3
長方形 A と B の重心 G 回りの断面 2 次モーメントは
I Gx A  I G x  S A yG  yG
A
I 
Gy A
 I GA y  S A xG  xGA
I Gx B  I G x  S B
B
I 
Gy B

y
x
 I GB y  S B
  2000  3  206.8125  10  2609.6093m
  45  3  204.3125  1.5  519.60937m
  27  12  36.8125  1.5  1043.0156m
  432  12  34.3125  9  1223.0156m
2
A
G
 yGB
G
 xGB
2
2
2
4
2
2
4
2
2
もしくは
3
I Gx A  b1h1
12
b1h1b2 h2 h2  h1 
2
4b1h1  b2 h2 
2

2
2
3  203 3  20  122  32  3  20

 2609.60937m 4
2
12
43  20  12  3
2

b h b h b h b  b 
 1 1  1 1 2 2 1 22
A
12
4b1h1  b2 h2 
I 
Gy
3
2
2
2
33  20 3  20  122  32 3  12

 519.60937m 4
2
12
43  20  12  3
2

I Gx B
bh
b h b h h  h 
 2 2  2 2 1 1 1 22
12
4b1h1  b2 h2 
3
2
2
2
12  33 12  3  32  202  20  3

 1043.0156m 4
2
12
43  20  12  3
2

I 
Gy B
b h b h b h b  b 
 2 2  2 2 1 1 1 22
12
4b1h1  b2 h2 
3
2
2
2
123  3 12  3  32  202  3  12

 1223.0156m 4
2
12
43  20  12  3
2

としても計算できます．よって，重心 G 回りの断面 2 次モーメントは
4
4
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L 字形図形の重心と断面 2 次モーメント－5/5
b h  b2 h2 b2 h2b1h1 h1  h2  3  203  12  33 3  12  20  320  3
 11



12
4b1h1  b2 h2 
12
43  20  12  3
3
I Gx
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
3
2
2
203  4  33 3  5  3  172

 3652.625m 4
4
8
3
3
2
2
b1 h1  b2 h2 b2 h2b1h1 b1  b2  33  20  123  3 3  12  20  33  12
I Gy 



12
4b1h1  b2 h2 
12
43  20  12  3


32  20  123 3  5  3  152

 1742.625m 4
4
8
よって，
I Gx ≒ 3.65 103 m 4
I Gy ≒1.74 103 m 4
となります．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/Tech_inform/Pdf/LshapeCenterGravityMomentInertia.pdf
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