レポート問題1の解答例

H26 年度システム解析学及び演習レポート問題１解答例 1. U (s) =
s
s
より Y (s) = G(s)U (s) =
. 分母の多項式の根は −1, ±jω ですべて異なる
s2 + ω2
(s + 1)(s2 + ω2 )
ので Y (s) =
c1
c2
c3
と部分分数展開でき，
+
+
s + 1 s − jω s + jω
c1 = (s + 1)Y (s)
s=−1
c3 = (s + jω)Y (s)
となる．よって y(t) =
=
s=−jω
−1
,
1 + ω2
=
c2 = (s − jω)Y (s)
s=jω
=
jω
1
=
,
(1 + jω)2jω
2(1 + jω)
−jω
1
=
.
(1 − jω)(−2jω)
2(1 − jω)
−1 −t
1
1
e +
ejωt +
e−jωt . 定常項（※）において，その第二項
1 + ω2
2(1 + jω)
2(1 − jω)
※
は第一項の複素共役である．したがって
※
=
1
2
1
1
ejωt +
e−jωt
1 + jω
1 − jω
=
cos ωt + ω sin ωt
1 + ω2
= Re
1
1 − jω
(cos ωt + j sin ωt)
ejωt = Re
1 + jω
1 + ω2
・
・
・※※
1
ω
となる．cos θ = √
, sin θ = − √
となる θ を取ることができ（あるいは θ = − tan−1 ω とおく
2
1+ω
1 + ω2
と），※※ = √
y(t) = √
1
1
(cos ωt cos θ − sin ωt sin θ) = √
cos(ωt + θ) とまとめられる．以上より
2
1+ω
1 + ω2
1
1
cos(ωt + θ) −
e−t
1 + ω2
1 + ω2
= |G(jω)| cos(ωt + G(jω)) −
1
e−t
1 + ω2
となる．
K
Kωn2
において直流ゲインは G(0) = K, ピークゲインは
s2 + 2ζωn s + ωn2
2ζ 1 − ζ 2
√
である．ピークゲインが直流ゲインより 3dB 大きい，すなわちピークゲインは直流ゲインの約 2 倍である
√
√
1
2± 2
2
4
= 2. これより 8ζ − 8ζ + 1 = 0, ζ =
から
( > 0 ). ここで，二次遅れ系がピークを
4
2ζ 1 − ζ 2
√
√
2− 2
持つ条件 ζ < 0.5 が成り立たなければならないから ζ =
が求める減衰係数となる．
4
2. 二次遅れ系の標準形 G(s) =
3. (a) G(0) = 1, G(j) =
(b) |G(jω) − 2| =
1 + 3j
1 − 3j
= 2 + j, G(−j) =
= 2 − j, G(j∞) = 3.
1+j
1−j
(1 + 3jω) − 2(1 + jω)
| − 1 + jω|
= 1 よりナイキスト線図は複素平面上の中心
=
1 + jω
|1 + jω|
2 + j0, 半径 1 の円周上にある．これと (a) の結果を用いてナイキスト線図を描くと図 1（左図）のよう
になる．
4. (a) G(0) = 1, G j
1
T
=
1−j
= −j, G(j∞) = −1.
1+j
1
(b) |G(jω)| = 1.
G(jω) = (1 − jωT ) − (1 + jωT ) = −2 tan−1 ωT .
(c) (a), (b) の結果を参考にしてボード線図，ナイキスト線図を描くことができる．ナイキスト線図を図 1
（右図）に，ボード線図を図 2 に示す（折れ線近似は参考のため）．ただし後者は T = 1 の場合．一般
の T でも位相が横軸の方向に平行移動するだけである．(b) より，位相の式が一次遅れ系 1/(T s + 1) の
2 倍になることに注目すると，一次遅れ系の位相の折れ線近似を応用することができる．
図 1: ナイキスト線図（左：問 3 (b)，右：問 4 (c)）
Gain [dB]
20
0
−20
−2
10
−1
10
0
10
ω [rad/s]
1
10
2
10
Phase [deg]
0
−45
−90
−135
−180
−2
10
−1
10
0
10
ω [rad/s]
図 2: ボード線図（問 4 (c)）
2
1
10
2
10

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