分布定数回路における反射と自由振動

「電気回路第三」講義資料２０１４年度版
熊本大学工学部情報電気電子工学科
勝木　淳
１５. 分布定数回路(７)
１５.１　反射と自由振動
１５.２　分布RC線路
１５.１　反射と自由振動
（１）開放端における反射
開放端では、Zl = ∞
vr Zl − Z0
ρ= =
=1
vi Zl + Z0
電圧は同符号のまま反射、
電流は符号を反転して反射。
ir
Z0
反射係数
vr = vi
vr
vi
ir = −
=−
= −ii
Z0
Z0
開放端
ii
vi
vr
vl = 2vi
電圧の反射
vr
vi
v=0
電流の反射
i=0
il = 0
ii
ir
（２）短絡端における反射
短絡端では、Zl = 0
反射係数
ir
Z0
vr Zl − Z0
ρ= =
= −1
vi Zl + Z0
vr = − vi
vr
vi
ir = −
=
= ii
Z0 Z0
短絡端
ii
電圧の反射
vi
vr
il = 2ii
電流の反射
ir
i=0
vr
vl = 0
v=0
電圧は符号を反転して反射、
電流は同符号のまま反射。
vi
ii
（３）無損失線路にステップ電圧を加える場合
S
t=0
E
Z0
開放端
Q
P
注）電流につい
ては省略
ステップ電圧を加えた場合の振動
（４）有限長無損失線路自由振動
S1
t=t1 < 0
E
S2
t=0
Z0
開放端
Q
P
PQ 間の伝送線路を電圧 E に充電し、t = t1 < 0 で S1 を開き、
t = 0 で S2 を閉じ、電圧分布の時間変化をみる。
E/2
L
v1
E/2
0
v2
P
Q
0
P
L
(a) 電位　(b) 電流
自由振動の初期状態（t < 0）
見かけ上、電圧分布に変化はない。
i1
Q
i2
スイッチ S2 短絡後（t ≧ 0）の自由振動（電圧）
スイッチ S2 短絡後（t ≧ 0）の自由振動（電流）
【問15.1】
下の無損失線路において、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じて
から t = 2 l/c まで、 l/2c 毎の線路上の電圧・電流分布を図
示せよ。ただし、c は電磁波が伝搬する速さとする。
Zl − Z 0
ρ=
= 0.5
Zl + Z0
S
t=0
E
Z0
A
ZL
B
l
１５.２　固有値、固有振動と自由振動
伝送線路上の過渡現象を、振動という観点から、一般的な初期条件下
の現象をみる。
固有振動　イミタンス関数のゼロ点または極
無損失線路の伝搬方程式を変数分離法を用いて解く。
電圧を　とおくと、伝搬方程式は次のようになる。
v = v1 (x)v2 (t )
d 2 v1 ( x ) 1
d 2 v 2 (t )
v 2 (t )
= 2 v1 ( x )
2
dx
c
dt 2
c 2 d 2 v1 ( x )
1 d 2 v 2 (t )
∴
=
2
v1 ( x ) dx
v2 (t ) dt 2
x のみの関数
t のみの関数
独立した変数の関数が恒等的に等しい、すなわち両辺とも定数である。
定数を -ω2 として、
d 2 v1 ( x ) ω 2
d 2 v 2 (t )
2
+
v
(
x
)
=
0
,
+
ω
v 2 (t ) = 0
1
2
2
2
dx
c
dt
これらは、いずれも単振動の式であるから
v1 ( x ) = Ae j(ω /c )x + Be − j(ω /c )x
v2 (t ) = Pe jωt + Qe − jωt
または、
⎛ ω ⎞
⎛ ω ⎞
ʹ′
ʹ′
v1 ( x ) = A cos⎜ ⎟x + B sin⎜ ⎟x
⎝ c ⎠
⎝ c ⎠
v2 (t ) = Pʹ′ cos ωt + Qʹ′ sin ωt
よって、電流 i は、
∂i
∂v
−
=C
= Cv1 ( x )(− Pʹ′ sin ωt + Qʹ′ cos ωt )
∂x
∂t
C ⎛
ω
ω ⎞
ʹ′
ʹ′
∴ i=
⎜ A sin x − B cos x ⎟( Pʹ′ sin ωt − Qʹ′ cos ωt )
L ⎝
c
c ⎠
両端を接地した長さ l の有限無損失線路
に落雷が発生し、電圧分布が生じたことを
想定する。
境界条件（x = 0 および x = l において v = 0）
を考慮すると、
A’= 0、B’sin(ω/c) l = 0
nπ
∴ ωn =
c (n = 1,2 ,3,⋅⋅)
l
ωnを固有値（共振周波数）、
sin
ωn
c
x (n = 1,2 ,3,⋅⋅)
を固有関数とよび、n=1, 2, 3,・・に相当する上式
を姿態（MODE）という。
MODE
１５.３　分布ＲＣ線路の過渡現象
（１）分布ＲＣ線路（トムソンケーブル）
L = G = 0 として近似される伝送線路。
線路が十分に長く、周波数が低い
場合に適用される。
無損失線路に比べて実際に近い
現象を模擬できる。
この場合、基礎方程式は、
∂v
∂i
∂v
−
= Ri , −
=C
∂x
∂x
∂t
伝搬方程式は、
∂2v
∂v
∂ 2i
∂i
= RC ,
= RC
2
2
∂x
∂t
∂x
∂t
ＲＣ線路
Ａ. 半無限長ＲＣ線路にステップ電圧を加えた場合
ＲＣ線路の伝搬方程式をラプラス変換して、
∂ 2V
∂2I
− RCsV = 0 ,
− RCsI = 0
2
2
∂x
∂x
ここで、 t ⇒ τ , (τ ≅ t − x /c ), RC ⇒ K , (K ≅
のようにおくと、電圧は次のように表される。
V = K1e
RCs x
+ K2 e−
RCs x
基礎方程式から電流は次のようになる。
∂I
−
= Cs(K 1 e RCsx + K 2 e − RCsx )
∂x
Cs
∴I =
( −K 1 e RCsx + K 2 e − RCsx )
R
Δk /c )
境界条件：　送電端にステップ電圧 Eu(t) を加える。
x=∞ ⇒ V =0
x = 0 ⇒ V = L [Eu(t )] = E / s
境界条件から、K1 = 0、K2 =E/s となり、 E − x RCs
e
s
Cs E − x
I ( x , s) =
⋅ e
R s
V (x , s) =
V = K1e
RCs
C −x
=E
e
Rs
RCs x
+ K2 e−
RCs x
RCs
これをラプラス逆変換して次式を得る。
C −( RC /4 t )x 2
i( x , t ) = L [I ] = E
e
πRt
−1
⎛
RC x −( RC /4t )x 2
RC x −( RC /4 t )x 2 ⎞
⎜
v( x , t ) = − ∫ Ridt = − E
e
dx + K = E⎜ 1 −
e
dx ⎟⎟
∫
∫
πt 0
πt 0
⎝
⎠
立上がりが鈍る。
i
v
E
0
t
(a) 電圧波形
0
t
(b) 電流波形
分布RC線路のステップ応答
有限長線路の場合は送端と受端における反射の繰り返しを
考慮しなければならない。解を解析的に求めることは困難。
本講義では省略する。
分布ＲＣ線路における遅延時間
無ひずみ（無損失）線路における遅延時間
→　距離 x に比例する。
分布 RC 線路における遅延時間
→　距離の２乗 x2 に比例する。
t d = aRCx 2
ただし、td は63%に達するまで
の時間。
速度w = 1/√(LC)で伝搬
コンデンサの充電時間によって伝搬時間が決まる。
v
最終値
63%
0
td
t
分布RC線路における遅延時間

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