2014 年 代数学２演義 第七回演習問題 【問題 7-1】∼【問題 7-3】はレポートとして提出すること. 提出先：数学事務室, 〆切：１２月２日（火）１２：００ 【問題 7-1】次の多項式が Z[x] の既約元であることを示せ. (1) x3 + 15x2 − 45x + 42 (2) x4 + 1 【問題 7-2】(Z/2Z)[x] の次数 3 以下の既約元を全て求めよ. 【問題 7-3】p を素数とし, f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x], f¯(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ (Z/pZ)[x], 但し ai = ai + pZ, とする. f¯(x) が (Z/pZ)[x] の既約元であるなら, f (x) は Z[x] の既約元であることを示せ. Hint: f¯ は f の自然な写像 Z[x] → (Z/pZ)[x] による像である. 補足: 問題 7-3 は既約性の判定に使えるので覚えておくと便利. 【問題 7-4】Z[x] の多項式であって, 係数が全て 0 または 1 であるような次数 4 の既 約多項式を全て求めよ. 【問題 7-5*】R を UFD とし Q = Q(R) を R の商体とする. R ⊂ Q と見て R[x] の元 を Q[x] の元と思うとき, f (x) ∈ R[x] が R[x] の既約元であるなら, f (x) は Q[x] の既 約元であることを示せ. 【問題 7-6*】R が UFD なら R[x] も UFD であることを示せ.
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