10 6月23日

10
10.1
6 月 23 日
授業のまとめ
定義 10.1 可換な整域 R が一意分解整域 (UFD:Unique Factorization Domain) であるとは, 零でも可逆元でもな
い元 x ∈ R に対し,
x = p1 · · · pn
なる既約元 p1 · · · pn が存在して，これらの既約元は, 並べ替えと可逆元倍を除いて一意的であることをいう.
補題 10.2
1. R が整域のとき, 素元は既約元である．
2. R が UFD のとき, 既約元は素元である．
既にみたように, Z, 体 K 上の多項式環 K[X], Q[X], Z[X] は UFD である.
10.2
宿題
定理 9.1 の内容は, 本質的には以下を述べている.
R が UFD なら R[X] も UFD である.
この定理を証明しよう．証明の方針は, 以下の 2 点である.
1. R の商体 Q(R) 上の多項式環 Q(R)[X] は UFD である．
（体上の多項式環 UFD だから）
2. R は UFD である. (仮定より）
宿題 10.3 R は UFD, Q(R) を R の商体とする. 8.1- 9.1 の主張および証明において, Z を R, Q を Q(R) に置き換え, 対
応する主張を書け．置き換えた証明が正しいこともチェックすること．
1. (補題 8.1 ) p ∈ Z は素数とする. f, g ∈ Z[X] について f g ∈ (p) なら f ∈ (p) または g ∈ (p) である.
2. (既約多項式）f が Z 上既約多項式であるとは，すなわち f = gh ⇒ g または f が Z[X] の可逆元が成立つことを
いう．
3. (原始多項式) Z[X] の元 f = an X n + · · · + a1 X + a0 が原始多項式とは, gcd(a0 , a1 , · · · , an ) = 1 であることをいう.
Z[X] の既約元は, 必ず原始多項式であることに注意. （逆はもちろん成り立たない. )
4. （補題 8.4）f, g ∈ Z[X], g は原始多項式とする. f = gh なる h ∈ Q[X] が存在すれば, h ∈ Z[X] である.
5. （宿題 8.5）f ∈ Z[X] が Z 上既約なら, f は Q 上既約である.
6. （定理 9.1）
（Z[X] における素因数分解) f ∈ Z[X] に対し, Z[X] の既約元（＝素数，既約な原始多項式) p1 , · · · , pn ∈
Z[X] (Z 上既約多項式) が存在して,
f = p1 · · · pn
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となる. 既約元 q1 , · · · , qm ∈ Z[X] が
p1 · · · pn = q1 · · · qm
をみたせば, n = m かつ, 適切に並べ替えれば, 各 i = 1, · · · , n に対して ci pi = qi なる Z[X] の可逆元 ci が存在
する.
√
√
√
√
宿題 10.4 環 Z[ −5] = {a + b −5 | a, b ∈ Z} から環 Z への写像 ν : Z[ −5] → Z を ν(a + b −5) = a2 + 5b2 と定義
する.
√
1. x, y ∈ Z[ −5] に対して, ν(xy) = ν(x)ν(y) が成り立つことを示せ.
2. 写像 ν は全射ではないことを示せ.
√
3. x ∈ Z[ −5] が可逆元 ⇔ ν(x) =?.
4. ν(2), ν(1 +
√
−5) を計算せよ.
√
5. 2 は Z[ −5] の既約元であることを示せ.
6. (1 +
√
√
√
√
−5)(1 − −5) ∈ ⟨2⟩ かつ 1 + −5, 1 + −5 ̸∈ ⟨2⟩ であることを示せ.
√
7. 前問の結果から環 Z[ −5] について何がわかるか.
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