7 月 15 日
補題 9.33 R が PID のとき, 次が成り立つ.
1. (0) 以外の素イデアルは極大イデアルである.
2. p ∈ R が既約元.⇔ (p) が極大イデアル．
3. p ∈ R が既約元.⇔ p ∈ R が素元.
定義 9.34 R でイデアルの昇鎖律 (ACC: acending chain condition) が成立つとは，
イデアルの昇鎖
Io ⊂ I1 ⊂ · · ·
が必ず停滞する, すなわち Ii = II+1
(i ≥ r) なる r が存在することをいう．
補題 9.35 R が PID ならイデアルの昇鎖律が成立する．
定理 9.36 PID は, UFD である.
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1. 環 Z[ −1] = {a + b −1 | a, b ∈ Z} から環 Z への写像 ν : Z[ −1] → Z を ν(a + b −5) = a2 + b2 と定義する.
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(1) 3 は Z[ −1] の既約元であることを示せ.
(2) 5 を既約元の積に分解せよ.
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(3) x, y ∈ Z[ −1], y ̸= 0 に対し, xy = α + β −1 なる α, β ∈ Q が存在する. a, b ∈ Z を | a − α |≤ 21 , | b − β |≤ 12
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となるように取る. q = a + b −1, r = x − yq とおくと, ν(r) < ν(y) を示せ. （ヒント：| r |=| y || (q − xy ) |.)
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(4) Z[ −1] は PID であることを示せ.
2. I, J を可換環 R のイデアルとするとき, 以下を示せ.
(1) I ∩ J は R のイデアルである.
(2) I ∪ J は R のイデアルとは限らない．このことを I = (X), J = (Y ) ⊂ Q[X, Y ] で確かめよ．
(3) I + J = {x + y | x ∈ I, y ∈ J} は R のイデアルであり, I ∩ I ⊂ I + J である．
(4) I : J = {x ∈ R | xJ ⊂ I} は R のイデアルであり, I ⊂ I : J である．
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(5) I = {x ∈ R | ∃n > 0, xn ∈ I} は R のイデアルである.
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(6) イデアル I は性質「xy ∈ I, x ̸∈ I ⇐ y ∈ I 」をみたすとする. このとき, I は素イデアルである.
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(7) R = Z, I = 24Z, J = 27Z に対して, I : J,J : I, I, J は何か.
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