8 有理関数と部分分数分解

微積分学及演習 I のおと
応化 B［金 3 · 4 限（海老原）］
有理関数と部分分数分解
8
教科書 pp.121 − 125
■有理関数
多項式の分数の形
P(x) = (x − a)(x − b) 型：
8.2. 次の関数を部分分数に分解せよ．
問多項式
で書か
多項式
ゆうりかんすう
れる関数を有理関数(rational function) という．
■積分公式の利用
する．
∫
1
1
dx = −
+C
n
(n − 1)xn−1
∫ x
1
•
dx = log|x| + C
∫ x′
f (x)
•
dx = log| f (x)| + C
∫ f (x)
1
•
dx = tan−1 x + C
1 + x2
(1)
1
dx
(2x − 1)3
∫
(2)
x−1
x2 − 4
(3)
x2 + x + 1
(x + 1)3
(n , 1)
(1)
(1)
x+1
dx
x2 + 1
(1)
gebra) 代数学の基本定理により，すべての多
項式は実数係数の１次式と２次式の積で表わす
(
ことができる．
P(x)
■部分分数分解有理関数
において，
Q(x)
(
) (
)
分子 P(x) の次数 < 分母 Q(x) の次数の場合，
分母の因数分解の部分分数の和に分解できる．
部分分数分解
) (
)
１次式 m ２次式 n
=(
A1
B1 x + C1 B2 x + C2
Bn x + Cn
+(
)+(
)n
)2 + · · · + (
２次式
.
.
.
２次式
(2)
x+1
x3 − 1
3x2 + 8x − 1
(x − 3)(x + 2)2
(2)
1
(x2 − 1)2
1
x(1 + x2 )2
(2)
)
8x + 10
(x + 2)2 (x2 + 2x + 2)
(
)
分子 P(x) の次数 > 分母 Q(x) の次数の場合，
分子 P(x) を分母 Q(x) で割り算して
P(x) = Q(x) · q(x) + r(x)
としておく．このとき，
r(x)
P(x)
= q(x) +
Q(x)
Q(x)
r(x)
に対して部分分数分解を
Q(x)
すればよい．
Am
)
) +···+ (
１次式 m
１次式 2
)+(
１次式
A2
x−1
(x + 1)(x2 + 1)
となり，２項目の
高々 (m + n − 1) 次式
(
x
x2 − 3x + 2
P(x) = (x2 + cx + f )m 型：
8.5. 次の関数を部分分数に分解せよ．
問 ■代数学の基本定理 (fundamental theorem of al-
.
(2)
P(x) = (x − a)m 型：
8.4. 次の関数を部分分数に分解せよ．
問 8.1. 次の不定積分を求めよ．
問 ∫
(1)
P(x) = (x − a)(x2 + cx + f ) 型：
8.3. 次の関数を部分分数に分解せよ．
問以下において C は定数と
•
第８講義 (2015/6/5)
8.6. 次の関数を部分分数に分解せよ．
問２次式
(1)
x2
x2 − x − 6
(2)
x3
(x − 1)(x − 2)(x − 3)

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