最適化工学問題 20141119 出題，2014126 締切 3 人でじゃんけんをして 1 人の勝者を決める．じゃんけんで勝ち残っていく人数の推移をマルコフモデルで定式化して次の問題を考える．（１）3 人がじゃんけんをして，2 人が勝ち残る場合について考える．このときの 3 人のグー，チョキ，パーの場合をすべて列挙せよ．（２）状態を 3 人，2 人，1 人の 3 つとして，この問題の推移図を示せ．また，推移確率行列 P を示せ．（３）P3 を計算せよ．（４）3 人でじゃんけんをして 2 回以内で勝者が決まる確率を求めよ．また，4 回以内で勝者が決まる確率はどうか．（５） 1 人の勝者が決まるまでに平均何回じゃんけんを行うか．（１）g：グー，c：チョキ，p：パーとする．ggc, gcg, cgg, ccp, cpc, pcc, ppg, pgp, gpp の 9 つの場合がある．（２）3 人の時について考える．各人の出す手は 3 つなので，組合せの数は 3^3=27．1 回じゃんけんして 1 人が勝つ確率を p31，2 人が勝つ確率を p32，あいことなる確率を p33 とすると，p31=1/3，p32=1/3，p33=1/3． 2 人の時について考える．組合せの数は 3^2=9．同様に考えて，p21=2/3，p22=1/3，p23=0，p11=1，p12=0， p13=0．推移図は以下の通り． 1/3 1/3 3 1/3 2 2/3 1 1/3 推移確率行列は以下の通り． 0 0   1   P  2 3 1 3 0   1 3 1 3 1 3 ．   1 （３） 0 0   1   3 P   26 / 27 1 27 0   23 27 1 9 1 27    （４）P^2 における要素 p(2)31 を求める．p(2)31 ＝ 6/9=2/3=0.667．4 回以内で勝者が決まる確率は，P^4 の要素 p(4)31＝76/81＝0.938．（５） 0 0   1   P  2 3 1 3 0   1 3 1 3 1 3   推移確率行列 P は，1 行目が吸収状態，2，3 行目が  2 / 3  R   一時的状態を示す．そこで， I=(1) ， 1 / 3   ， 1 / 3 0  O  I  Q    ∞  MR O  を計算する． 1 / 3 1 / 3 ，として， P ＝     1 2 ただし， M  I  Q  Q    I  Q  である． 3 / 2 0   M   3 / 4 3 / 2 なので，２行目の行和より 3/4+3/2＝9/4＝2.25 回．