平成 ¾ 年 ´¾¼½¿ 年µ 月 ¾ 日 ´月µ ¿ 時限施行 担当者名 大野由香子・新保一成・早見 均・藪 友良 統計学 Á 科目名 注意 問 ½ から問 のすべてに答えなさい。 内に指定のない場合は マークすること。数字で答える場合には先頭や最後の欄が È¡ 号で， 問 ¾ ¡ ¸ È 早見 ¡ は確率， 点，問 大野 ¿ ¿¼ ¸ ¡ ¼分 試験時間 ¼ マイナス ´ µ かあるいは数字 を，選択肢がある場合は選択肢の数字 ´太字µ を ¼ の場合もありうるのですべての欄を埋めること。必要に応じて裏面の統計分布表を利用すること。記 Î Ö´¡µ¸ Î ´¡µ は分散を意味する。割合の推定値は Ô とも Ô は期待値， 点，問 藪 ¿¼ 電卓のみ可 持込 ¼ とも記す。´出題と配点：問 ½ 新保・早見 ¿ 点， 点µ 問 ½ ´¡µ 式 欄には問のすぐ下の式選択肢， ´¡µ 語句 欄には語句選択肢の番号 ´重複もありうるµ を記入，また ´¡µ の欄には ´マイナスµ および ¼¸½¸¾¸ ¸ の数字を記入して文章を完成させなさい。 ½ となる確率が Ô ½ ¾， ¼ となる確率が ½ Ô ½ ¾ のベルヌイ事象の確率変数 を考える。 の 期待値は ¼ ´½µ で，分散は Î Ö´ µ ¼ ´¾µ ´¿µ である。このベルヌイ事象を Ò ½¼ 回独立に試行し たとき，その和 È Ò ÒÔ ½ È の期待値は Ò ´ µ ，分散は Î Ö´ ½ È Ò µ ½ ´ µ ´ µ である。この 和の分布は二項分布に等しい。 平均 ，分散 ¾ の標本 ´Ü½ の無限母集団から無作為抽出してサンプル・サイズ Ò ´ µ 式 によって標本平均を計算すると が得られた。計算式 Ü ´ µ となる。 Ü ´Ü ½ È Ò ¾ Ò ½ ½ ´ ´ µ¾ È の分散 Î Ö´ µ は で同一の分布にしたがうので，標本平均 µ¾ ¼µ ¾ であるか Ü È È ´ µ¾ ´½ µ 式 ´½ µ 式 となる。した µ ´½ µ が成立する。標本平均 を基準化 ´標準化µ すると Ô´½ µ ´½´ µ となる。サンプル・サイズ を大きくしていくと， の分布は平均 ´期待値µ のとき がって，Ò ´ ½ ´½¼µ ´½½µ º ´½¾µ となる。一般に Ò ½ ´ Ò ´ µ¾ µ¾ · Ò´ µ¾ が成立する。この両辺の期待値を計算すると，左辺は ½ ´½¿µ 式 ¢ ´½ µ 式 ´順不同µ となる。無作為抽出した場合，それぞれの観察値 は ´½ µ 語句 ら，標本分散 ´不偏分散µË ¾ は計算式 ´ µ 式 を用いると値は ×¾ ȵ µ ´½ µ 式 ¾ ½ ¢ ¾ Ò ´¾¼µ ，分散 ´¾½µ の ´¾¾µ 語句 分布に近づく。この性質は ´¾¿µ 語句 定理として知られている。 仮説を À¼ ，対立仮説を À½ とする仮説検定をおこなうとき，第 ¾ 種の過誤確率とは，仮説 À¼ が成立 ´¾ µ 語句 のに，À¼ を ´¾ µ 語句 してしまう確率である。 式 語句 ½º º ½º ½ Ò ½ È Ò ½ 独立 º 対数正規 ¾º ½ Ò È Ò ¿º ½ º ¾º 標準偏差 º 標準正規 ½ º ½ ½ ´ µ¾ º º ¾ ¿º 中心極限 º È Ò Ò º º 採択 º している 二項 È Ò ½ Ò ½ ½ Ò º ¼º ½ Ò È Ò ½ ´ µ¾ Ô 棄却 ¼º していない 問 ¾ 平均 ¼ ，分散 ¾ ½ の正規母集団を考えたときつぎの確率を求めよ。 ´½µ この正規分布にしたがう確率変数 について È ¾ ¼º ´¾ µ ´¾ µ ´¾ µ ´¾ µ 。 ´¾µ この母集団からサンプル・サイズ Ò で無作為抽出した標本の標本平均を とすると È ¿½ ¼º ´¿¼µ ´¿½µ ´¿¾µ ´¿¿µ 。注意µ ½ 桁目「¼」と小数点「º」つまり ¼º は省略している。 問 ¿ 政府は，中小企業金融円滑化法の適用期限が切れたため，別の支援策の効果を評価するためにつぎの社会実 験を考えているものとする。支援対象となる似たような属性をもつ企業について，対策なしのコントロール群 と新対策ありの処置群 をそれぞれランダムに ¾¼¼ 社ずつ抽出し，½ 年間で ½ 回でも決算処理を期限までに行うこ とができなかった ´フェイルµ 企業数の割合を比較した ´Ò 合 Ô¼ ¾¼¼，Ò ¾¼¼µ。グループ の企業のフェイル割 は ¼º ´Ü ½¾¼ 社µ，グループ のフェイル割合 Ô¼ は ¼º ´Ü ¼ 社µ であった。以下の問いに答えなさい。 ¼ ¼ ´½µ 一般に，問 ½ の ´¾¿µ 定理を適用すると，割合の差 Ô Ô の分布は平均 ´期待値µ ´¿ µ ½º ¼，¾º ½ ，¿ºÔ Ô ， 分散 ´¿ µ ½º ½，¾ºÔ ´½ Ô µ · Ô ´½ Ô µ，¿º ´½ Ô µ ¾¼¼ · Ô ´½ Ô µ ¾¼¼ の正規分布で近似できる。 ´¾µ 帰無仮説 ´À¼ µ を Ô Ô ，対立仮説 ´À½ µ を Ô Ô とし，両側検定を行うものとする。À¼ が成立する と ´Ô Ô Ô µ，確率 Ô を と のグループをプールしたときのフェイルの割合 Ô¼ ´¿ µ º ´¿ µ で推定 Ô し，これを分散の推定に利用できる。仮説 À¼ のもとでは，Ô¼ 推定値は ´ ¼µ º ´ ½µ ´ ¾µ ´ ¿µ ´ ¼ の平均 ´期待値µ は ´¿ µ º ´¿ µ で，分散の Ô µ となる。この仮説検定の有意水準 « を ½±としたときの棄却域は絶対値で ´ µ º ´ µ ´ µ ´ µ ´ µ ½º 以上，¾º 以下 となる ´有意水準は棄却域の大きさ，検定のサイズと同義と を標準正規確率変数とすると È ¾ ¼ を利用する。 するµ。À ÒØ 以上より，仮説 À¼ は棄却 ´ ¼µ ½º され¸ ¾º されず ，支援策効果は ´ ½µ ½º あった¸ ¾º なかった と結論づけら れる。 ´¿µ 少なくとも ¼º の確率で Ô¼ と Ô の差を ¼ ¼¾ 未満にする必要が生じたものとする。Ô¼ の分布は平均 Ô ，分散 ´ ¾µ ½º½，¾ºÔ ´½ Ô µ，¿ºÔ ´½ Ô µ Ò の正規分布で近似できる。Ô¼ を標準化すると È Ô¼ Ô ¼ ¼¾ È ¬¬ ¬¬ Ô ¼ Ô Ô ´ ¾µ ¬¬ ¬¬ ½ È ¼ ¼¾ Ô ´ ¾µ と書ける。ただし，Ô の値は事前にはわからないので，Ô¼ の ¼ ¼ を利用して計算すると，Ò は ´ ¿µ ´ µ ´ 分散が最大になる確率 Ô µ ´ µ 以上であればよいことがわ かる。 問 自社で開発した新型電気自動車の走行距離を測るため， ½ 回にわたり走行テストを行った。その結果，走 行距離の平均値 ´標本平均の値 ܵ は ¼ Ñ が得られた，母標準偏差 は ½¼ Ñ であることが知られている。 ´½µ このとき，走行距離の平均 ´標本平均 µ の分布は，期待値 ´平均µ ，標準偏差 ´ µ ´ µ ´ µ の正 規分布で近似できる。よって，走行距離の母平均 に関する ±の信頼区間は ´ ´ ¼µ ´ ½µ ´ ¾µ ´ ¿µ ´ µ ´ µ ´ µ ´ µ µ となる。 ´¾µ ライバル社の走行距離は，母平均が º Ñ である。自社の自動車がライバル社より走行距離が長いかどう かを確かめたい。帰無仮説 À¼ ： ，対立仮説 À½ ： と置いて，有意水準 ´棄却域の大きさ，サ イズµ« ±の片側検定を行いなさい。このとき臨界値は ´ µ ´ µ ´ ¼µ ´ ½µ となる。したがって，仮説 À¼ を棄却 ´ ¾µ ½º できる¸ ¾º できない 。 À ÒØ を標準正規確率変数とすると，È Ê ´Þ ¼ µ Þ ¼ ½ ½ Ô Þ ¼ ½ ¾ ¼ ¾½ Þ となる。 ´Þ ¼ µ ¾ Þ Ç Þ¼ Þ Þ の分布の値 ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼º¼¾ ¼º¼¿ ¼º¼ ¼º ¼¼¼ ¼º ¼ ¼ ¼º ¼ ¼ ¼º ½¾¼ ¼º ½ ¼ ¼º ½ ¼º ¾¿ ¼º ¾ ¼º ¿½ ¼º ¿ ¼º½ ¼º ¿ ¼º ¿ ¼º ¼º ½ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º¾ ¼º ¼º ¿¾ ¼º ¼º ½¼ ¼º ¼º ¼º ¼¾ ¼º ¼ ¼º ½¼¿ ¼º ½ ½ ¼º¿ ¼º ½ ¼º ¾½ ¼º ¾ ¼º ¾ ¿ ¼º ¿¿½ ¼º ¿ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ½ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ¼º ¾ ¼º ¼º ¼º ¼º ¿ ½ ½ ¾ ¼º¼ ¼ ´Þ µ ¼º¼ ¼¼ ¼º¼ ¼º ¿ ¼º¼ ¿ ¼ ¼º ¼º ¾ ¼º ¿ ¼ ¼º¼ ¼º¼ ½ ¼ ¼º ¿ ½ ¼º ¼º ¼º ¼½ ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º ½¾¿ ¼º ½ ¼º ½ ¼ ¼º ¾¾ ¼º ¾ ½ ¼º ¿¾ ¼º ¿ ¼º ¿ ¼º ¾¾ ¼º ¼º ¼º ½ ¼º ¼ ¼º ½½ ¼º ¼º ¼º ¼º ¿ ¼º ¼º ¼º ¾¿ ¼º ½ ¼º ½¼ ¼º ¼º ¼¾¿ ¼º ¼ ½ ¼º ¼ ¼º ½¼ ¼º ½¿¿ ¼º ¿½ ¼º ¿ ¼ ¼º ¿ ¼º ¿ ¼º ¼º ¼º ¾ ¿ ¿ ¼º ¼º ¼ ¾ ¼º ¼º ½ ¼º ½ ¼º ¾½¾ ¼º ¾¿ ¼º ¾ ¼º ¾ ½º¼ ¼º ½¿ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ½º½ ¼º ¿ ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ¾ ¼º ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º ½º¾ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ¾ ¼º ¼º ¾ ¼º ¼ ¼º ¼º ¼½ ½º¿ ¼º ¼¿¾ ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º ¼ ¾ ¼º ¼ ¼º ½½ ¼º ½¿½ ¼º ½ ¼º ½ ¾ ¼º ½ ½º ¼º ½ ¾ ¼º ¾¼ ¼º ¾¾¾ ¼º ¾¿ ¼º ¾ ½ ¼º ¾ ¼º ¾ ¼º ¾ ¾ ¼º ¿¼ ¼º ¿½ ½º ¼º ¿¿¾ ¼º ¿ ¼º ¿ ¼º ¿ ¼ ¼º ¿ ¾ ¼º ¿ ¼º ¼ ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ½º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ¿ ¼º ½º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ¿¿ ½º ¼º ½ ¼º ¼º ¼º ¼ ½º ¼º ½¿ ¼º ¾º¼ ¼º ¾ ¼º ¾º½ ¼º ¾½ ¼º ¾º¾ ¼º ½ ¼º ¼º ¼º ½ ¼º ¾º¿ ¼º ¿ ¼º ¼º ¼º ¼½ ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º ½½ ¼º ½¿ ¼º ½ ¾ ¼º ¾ ¼º ¾ ¼º ¿½ ¼º ¿¾ ¼º ¿ ¼º ¿ ¾ ¿ ¿ ½ ¼º ¾ ½ ¿ ¼º ¾ ¼º ¼º ¿ ¼º ¼º ¿¼ ¼º ¾º ¼º ½ ¼º ¾¼ ¼º ¾¾ ¼º ¾º ¼º ¿ ¼º ¼ ¼º ½ ¼º ¾º ¼º ¾º ¾º ¾º ¼º ¿º¼ ¼º ¿ ¾ ¼º ¿¾ ½ ¼º ¼º ¼º ½ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ¼º ¼¿ ¼º ¼º ¼º ¿ ¼ ¼º ¿ ¼º ¿ ¿½ ¿ ¿ ¼º ¼º ¾ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ½ ¼º ¿ ¼ ¼ ¼º ½¼ ¼º ¾½ ¼º ¿¼ ¼º ½ ¼º ¼º ½¾ ¼º ¼º ¼º ½ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ¿ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ¿ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¾ ¼º ¼º ¾ ¼º ¼º ¿ ½ ¼º ¼º ½ ½ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼ ¾ ½ ¼º ¼ ¼º ¼
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