一貫クラス数学Ⅱ 3学期学年考査後④ ( )組( )番名前( )

一貫クラス　数学Ⅱ　3学期学年考査後④
(　)組(　)番　名前(　)　１
復習
次のデータは，5 人の生徒に実施した 100 点満点の英語のテストの得点をまとめたもので
ある。
58，65，72，84，76
このデータの平均値は
２
ア
点，分散は
イ
である。
右のデータは，50 点満点のゲームに 2 回参加した 5 人
の得点である。
(1)　1 回目の得点の平均値，分散，標準偏差を求めよ。
ただし，標準偏差については小数第 2 位を四捨五入
番号
1
2
3
4
5
1 回目
43
41
43
38
40
2 回目
49
42
44
36
39
せよ。
(2)　1 回目と 2 回目の得点の相関係数を求めよ。ただし，小数第 3 位を四捨五入せよ。
３
右の表は，2 つの変量 x，y についてのデータである。
x の平均値はアイであり，y の平均値はウエであ
る。
また，x と y の相関係数は
x と y の間に
キ
オ
. カ
と考えられる。
番号
1
2
3
4
5
x
13
14
16
12
15
y
12
14
20
16
18
であり，
キ
に当てはまるものを，次の ～ のうちか
ら一つ選べ。
　正の相関がある　　負の相関がある　　相関がない
４
10 個の値からなるデータがあり，そのうちの 4 個の値の平均値は 30，分散は 16 であり，
残りの 6 個の値の平均値は 40，分散は 25 であった。このデータの平均値と分散を求め
よ。
-1-
５
ある 4 個の実数について，その平均値は 3，分散は 1 である。また，別の 6 個の実数につ
いて，その平均値は 8，分散は 6 である。このとき，これら 10 個の実数全部の平均値と
分散を求めよ。
終わった方用
６
10 個の数がある。そのうちの 6 個の平均値は 3，分散は 9 であり，残り 4 個の平均値は
8，分散は 14 であるという。
(1)　全体の平均値を求めよ。
(2)　全体の分散を求めよ。
７
A 組 4 人の選手と B 組 3 人の選手の 100 m 走のタイムを測定した。A 組 4 人の選手の
タイムは，それぞれ 12.5，12.0，14.0，13.5 (単位は秒) であった。また，B 組 3 人の選
手のタイムの平均値はちょうど 14.0 秒，分散はちょうど 1.50 であった。
以下，計算結果の小数表示では，指定された桁 (けた) 数の一つ下の桁を四捨五入し，解
答せよ。途中で割り切れた場合は，指定された桁まで  にマークすること。
(1)　A 組と B 組を合わせた 7 人の選手のタイムを変量 x とする。変量 y を y = x -14.0
としたとき，変量 y の平均値はアイ . ウエ秒であり，もとの変量 x の平均値は
オカ . キク秒である。また，変量 y の分散は
の分散は
シ
ケ
. コサであり，もとの変量 x
. スセである。
(2)　B 組 3 人の選手の中の 1 人の選手のタイムは，ちょうど 14.0 秒であることがわかっ
たとする。このとき，他の 2 人の選手のタイムは，速く走った方から順に，
ソタ . チ
秒とツテ . ト
秒である。
さらに，B 組 3 人の選手の体重が，速く走った選手から順に，57.0，54.0，60.0 (単位
は kg) であるとき，選手の体重と 100 m 走のタイムの相関係数は
なる。
-2-
ナ
. ニヌと
１
２
３
４
５
６
７
s　(ア)　71　(イ)　80
s　(1)　平均値 41点，分散 3.6，標準偏差 1.9 点　(2)　0.93
s　(アイ)　14　(ウエ)　16　(オ).(カ)　0.7　(キ)　
s　平均値は 36，分散は 45.4
s　平均値 6，分散 10
s　(1)　5　(2)　17
s　(アイ).(ウエ)　-0.57　(オカ).(キク)　13.43　(ケ).(コサ)　1.24
(シ).(スセ)　1.24　(ソタ).(チ)　12.5　(ツテ).(ト)　15.5　(ナ).(ニヌ)　0.50
-3-
１
平均値は　分散は　２
1
1
58+65+72+84 +76 1 = % 355 = ア 71 (点)
50
5
1
58 - 71 1 2 + 0 65 - 71 1 2 + 0 72 - 71 1 2 +0 84 - 71 1 2 + 0 76 - 71 1 27 = イ 80
5 60
(1)　1 回目の平均値を x ，分散を s x 2 とすると
x =
1
43+41+43+38 +40 1 =41 (点)
50
s x 2 =
1
43 - 41 1 2 + 0 41 - 41 1 2 + 0 43 - 41 1 2 +0 38 - 41 1 2 + 0 40 - 41 1 27 =3.6
5 60
よって，標準偏差は　s x = U 3.6 =1.89……71.9 (点)
(2)　2 回目の平均値を y とする。
y =
1
49+42+44+36 +39 1 =42 (点)
50
よって，次の表が得られる。
番号
x- x
y- y
0x - x 1
1
2
7
4
49
14
2
0
0
0
0
0
3
2
2
4
4
4
4
-3
-6
9
36
18
5
-1
-3
1
9
3
18
98
39
計
2
0y - y 1
2
0x - x 10y - y 1
ゆえに，求める相関係数は
３
39
39
39
=
=
=0.928……70.93
2
2
2
3%7
%
18
98
%
2
3
2
7
U
U ･ % ･
x の平均値は　13 + 14 + 16 + 12 + 15
=14
5
y の平均値は　12 + 14 + 20 + 16 + 18
=16
5
右の表より，x と y の相関係数は
14
=0.7
10
U % 40
相関係数が 0.7 であるから，x と y の間
に正の相関があると考えられる。()
0x - x 10y - y 1 0x - x 1 2 0y - y 1 2
番号 1
4
1
16
番号 2
0
0
4
番号 3
8
4
16
番号 4
0
4
0
番号 5
2
1
4
計
14
10
40
-4-
４
このデータの平均値は　30 % 4 + 40 % 6
360
=
=36
10
10
また，4 個の値の 2 乗の平均値を a とすると　a = 30 2 +16 =916
残りの 6 個の値の 2 乗の平均値を b とすると　b = 40 2 +25 =1625
したがって，このデータの分散は　５
916 % 4 + 1625 % 6
- 36 2 =45.4
10
平均値が 3 である 4 個の実数を x 1，……，x 4 とし，平均値が 8 である 6 個の実数を x 5，
……，x 10 とする。
平均値の条件から　1
1
x + …… + x 41 =3 ， 0 x 5 + …… + x 101 =8
40 1
6
すなわち　x 1 + …… + x 4 =12 ，x 5 + …… + x 10 =48
よって，10 個全部の平均値は
1
1
x + …… + x 4 + x 5 + …… + x 101 =
12 +48 1 =6
10 0 1
10 0
また，分散の条件から　1
1
x 2 + …… + x 4 21 - 3 2 =1 ， 0x 5 2 + …… + x 10 21 - 8 2 =6
40 1
6
すなわち　x 1 2 + …… + x 4 2 =40 ，x 5 2 + …… + x 10 2 =420
よって，10 個全部の分散は
６
1
1
x 2 + …… + x 4 2 + x 5 2 + …… + x 10 21 - 6 2 =
40 +420 1 -36 =10
10 0 1
10 0
(1)　平均値が 3 である 6 個の数を x 1，……，x 6 とし，平均値が 8 である 4 個の数を x 7，
……，x 10 とする。
平均値の条件から　1
1
x + …… + x 61 =3 ，　0 x 7 + …… + x 101 =8
60 1
4
よって　x 1 + …… + x 6 =18 ，　x 7 + …… + x 10 =32
ゆえに，全体の平均値は
1
1
x + …… + x 6 + x 7 + …… + x 101 =
18 +32 1 =5
10 0 1
10 0
(2)　分散の条件から　1
1
x 2 + …… + x 6 21 - 3 2 =9 ，　0x 7 2 + …… + x 10 21 - 8 2 =14
60 1
4
よって　x 1 2 + …… + x 6 2 =108 ，　x 7 2 + …… + x 10 2 =312
ゆえに，全体の分散は
７
1
1
x 2 + …… + x 6 2 + x 7 2 + …… + x 10 21 - 5 2 =
108 +312 1 -25 =17
10 0 1
10 0
(1)　B 組 3 人のタイムを b 1，b 2，b 3 とする。
x
12.5
12.0
y
-1.5 -2.0
14.0
0
13.5
b1
b2
b3
-0.5 b 1 - 14.0 b 2 - 14.0 b 3 - 14.0
B 組 3 人の平均値は 14.0，分散は 1.50 であるから
1
1
b + b 2 + b 31 =14.0，　60 b 1 - 14.01 2 + 0 b 2 - 14.01 2 + 0 b 3 - 14.01 27 =1.50
30 1
3
よって　b 1 + b 2 + b 3 =42.0，　0 b 1 - 14.01 2 + 0 b 2 - 14.01 2 + 0 b 3 - 14.01 2 =4.50
-5-
変量 y の平均値 y は
y =
1
-1.51 + 0 -2.01 +0+ 0 -0.51 + 0 b 1 -14.01 + 0 b 2 -14.01 + 0 b 3 -14.01 7
7 60
=
1
1
4
b + b 2 + b 3 -46.01 = 0 42.0 -46.01 =- =-0.571…7アイ -0.ウエ 57 (秒)
70 1
7
7
変量 x の平均値 x は， y = x -14.0 が成り立つから
x = y +14.0=-0.571… +14.0=13.428…7オカ 13.キク 43 (秒)
変量 y 2 の平均値 y 2 は
y 2 =
1
-1.51 2 + 0 -2.01 2 + 0 2 + 0 -0.51 2 + 0 b 1 - 14.01 2 + 0 b 2 - 14.01 2 + 0 b 3 - 14.01 27
7 60
=
1
11
2.25+4+0+0.25 +4.501 =
70
7
変量 y の分散は　y 2 - 0 y 1 2 =
11
4
- 7
7
8 9
2
=
61
=1.244…7ケ 1.コサ 24 (秒)
49
変量 x の分散は変量 y の分散と等しいから　シ 1.スセ 24 秒
(2)　b 2 =14.0，b 1 < b 3 として考える。b 1 + b 2 + b 3 =42.0 に代入すると　b 1 + b 3 =28.0
よって　b 3 =28.0- b 1
B 組 3 人のタイムの分散がちょうど 1.50 秒であるから
1
b - 14.01 2 + 0 14.0 - 14.01 2 + 0 28.0 - b 1 - 14.01 27 =1.50
3 60 1
2
b - 14.01 2 =1.50
30 1
b 1 =12.5，15.5　b 1 < b 3 より　b 1 = ソタ 12.チ 5 ，b 3 = ツテ 15.ト 5
2
0b 1 - 14.01 =2.25
したがって，B 組 3 人の選手のタイム t と体重 w は
右の表のようになる。
b 1 -14.0= $1.5
番号 k
t 0 秒1
w 0 kg1
条件より　t =14.0 (秒)
1
2
3
12.5 14.0 15.5
57.0 54.0 60.0
57.0 + 54.0 + 60.0
171
また　w =
=
=57.0 (kg)
3
3
3
3
k=1
k=1
よって　P 0t k - t 1 2 = 0 -1.5 1 2 + 0 2 + 1.5 2 =4.5 ， P 0w k - w 1 2 = 0 2 + 0 -3 1 2 + 3 2 =18,
3
P 0t k - t 10w k - w 1 = 0 -1.5 1 ･ 0+0 ･ 0 -3 1 +1.5 ･ 3=4.5
k=1
求める相関係数は　4.5
U 4.5 % 18
=
4.5
U 4.5 2 % 4
-6-
=
1 ナニヌ
= 0. 50
2

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