Instructions for use Title 第5回COE研究員連続講演会『逆 - HUSCAP

Title
Author(s)
Citation
Issue Date
第５回ＣＯＥ研究員連続講演会『逆散乱法』入門
Watanabe, Michiyuki
Technical Report Series of Department of Mathematics,
Hokkaido University
2005-01-01
DOI
Doc URL
http://eprints.math.sci.hokudai.ac.jp/archive/00001053/;
http://hdl.handle.net/2115/682
Right
Type
bulletin
Additional
Information
File
Information
tech97.pdf
Instructions for use
Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP
HOKKAIDOUNIVERSITY
TECHNICALREPORTSERIESINMATHEMATICS
#70
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1年度談話会・特別講演アブストラクト集う 44pag
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2年度談話会・特別講演アブストラクト集う 3
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3年度談話会・特別講演アブストラクト集， 5
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.Namiki，M.Hatakeyama，S
換プロトコル OAI-PMHに準拠した e
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.MiyaoぅG.Okuyama
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.NakanoandK
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iう第 1回数学総合若手研
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3回関数空間セミナー報告集， 1
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.
#92
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.Umeda，第 4@
JCOE研究員連続講演会反応一拡散方程式の大域解と爆発解についてう 8pag
四. 2
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0
5
.
#93
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.Arima，第 2回 COE研究員連続講演会極小モデ、ルプログラムの入門およびその正標数への拡張， 2
5
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5
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Y.Nakano，学位:百命文 D
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4年度談話会・特別講演アブストラクト集う 1
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1世紀 COEプログラム:
特異性から見た非線形構造の数学
第 5回 COE研究員連続講演会
『逆散乱法』入門
COE研究員
渡辺道之
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.
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.
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3
(月
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(火
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.
1
5
(水)
北海道大学理学部 4号館
5
0
8室
『逆散乱法』入門
渡辺道之
3
目次
KdV方程式の厳密解法
GGKM-法
2.
4
等スペクトルポテンシャルと Laxp
a
i
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第 3章
解の F
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u
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r変換表示
4
.
5
G
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-L
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-Marchenko方程式 .
参考文献
内
4.
4
nuJnυ1I1i
4
.
3
2
5
2 3 3 3 3 34 4 4
4
.
2
補解解ス
4
.
1
性
意
一動
と挙ル
在近ト
存漸ク
噛喝ののペ
第 4章
非線形 S
c
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r方程式
内，占
2
.
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r方程式に対する逆散乱問題
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直線上の S
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h
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o
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r方程式に対する散乱問題
ム
2
.
1
41E
第 2章
5
噌5
可積分方程式
ーi 1 A q
第 l章
3
7
5
第 1章
可積分方程式
.可積分:厳密に解ける方程式のことであり，ソリトン方程式の場合のように「逆散
乱法j によって定式化できて，解析的な厳密解を得ることが出来るものを言う.古
典的には「求積法」によって解ける方程式のことを言う.一般的な定義はないよう
である.
・逆散乱法:非線形(発展)方程式を解析的に厳密に解く方法である.
.孤立波:ただひとつの山をもっ波形が壊れずに進む波.
・ソリトン *1 次の性質をもっ非線形波動である.
1.孤立波の性質:空間的に局在した波が，その性質(速さや形など)を変えずに
伝播する.
2
.粒子的性質:孤立波は互いの衝突に対して安定であり，おのおのの個別性を保
持する.
以下，逆散乱法により解くことのできる偏微分方程式(可積分方程式)の例をいくつか
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C
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n[
2，pp.
49
6
9，Chapter5
]，川原琢治 [
3
4，p
p.
45
4
7
]参照).
紹介する C
(
1
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]
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)その他，三階の微分項を含む方程式:
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現代物理学では，光子 (
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)，音子 (phoooo)，励起子 (
e
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i七00) のように，粒子的性質を示す接
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lは，粒子的性質をもった孤立波という意味で，ソリトン
尾語として四 0 0を用いる. Zabuskyと K
(
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o
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i
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) と名づけた.
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) TheSine-Gordone
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)その他の連立方程式
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ηt=-j(Ep*+PP)
ここで，g
(α
)は p
r
o
b
a
b
i
l
i
t
yd
e
n
s
i
t
yである(もし，g
(α
)= 8
(
α
一α
0
)，なら
ば SIT方程式は S
i
n
e
G
o
r
d
o
n方程式に帰着される -AblowitzandS
e
g
u
r[
6，
p
.
3
2
2
]を見よ)•
8
(
7
)"
B
o
u
s
s
i
n
e
s
q
"s
y
s
t
e
m
:
Z
a
k
h
a
r
o
v[
7
1
]
;A
b
l
o
w
i
t
zandHaberman[
3
]
)
(
i
)TheB
o
u
s
s
i
n
e
s
q(
1
8
7
1
)方程式 (
=O
.
U
t
t- Uxx+(u2)
x
x土 Uxxxx
(
i
i
)M
o
d
i
f
i
e
dB
o
u
s
s
i
n
e
s
q方程式 (
Q
u
i
s
p
e
l，
N
i
j
h
o
f
fandCapel[
5
7
]
)
3
U
t
t- 6u
山 x- 6u;u
.
xx+Uxxxx= O
(
i
i
i
) (Kaup[
3
6
]
;Kuperschmidt[
4
0，
4
1
]
;AntonowiczandFordy[
7，
8
]
)
Ut十
(
ω )x+Vxxx=0，
+Ux+VVx= O
.
Vt
(
8
)五階の方程式:
(
i
) (SawadaandK
o
t
e
r
a[
6
0
]
;Ca
凶r
e
y
，
DoddandGibbon[
1
3
]
)
Ut+Uxxxxx+1
OU
.
xxx+20u2ux= O
xUxx十 10uu
(
i
i
) (Kaup[
3
7
]
)
Ut+Uxxxxx+10uxuxx+25uu
xxx+20u2ux=
o
.
(
9
)N
o
n
l
i
n
e
a
rS
c
h
r
o
d
i
n
g
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r
l
i
k
ee
q
u
a
t
i
o
n
s
:
(
i
ω
i
)(
Z
a
+Uxx士 21uI2u=o
.
i
U
t
(
i
i
)"
C
y
l
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n
d
r
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c
a
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i
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g
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re
q
u
a
t
i
o
n(
L
e
c
l
e
r
t，Karney
，Bersand
Kaup[
4
5
]
)
.
T
L
z
z士 2
t
u
t+ L+
1
u
I2u= o
2
t
q
u
a
t
i
o
n(KaupandN
e
w
e
l
l[
re
3
8
]
)
e
r
i
v
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t
i
v
en
o
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l
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n
e
a
rS
c
h
r
o
d
i
(
i
i
i
)D
時 e
i
U
t十 Uxx土 2
i
(
l
u
I2u)x=
o
.
山
泊
凶 i
出
油
吐
f
旬ze
i
5
2
色
8
1
h
i
i
t
q
u
a
t
i
o
n(
S
k
l
y
a
n
6
2
o
v伊
5
85
9
(
i
V
n
dau
n[
討
川
判
]
;Mik1凶 l
[
勾
]
;Rodin伊
[
伊
司
]
)
吋
)La凶
う
8
8t=8八 8xx+8八 J
ここで， J = d
2，
i
a
g
(
J
h)，ただし
，
1J
83)，1812
(
8
，
18
2，
h < h < J3 であり，また，8 =
8
i+8~ +8
5 1である..特に， J = 0の場合は
q
u
a
t
i
o
n
H
e
i
s
e
n
b
e
r
gF
e
r
r
o
m
a
g
n
e
te
8t= 8八 8xx
出 a
となる (
a
l
j
a
n[
Lakshmanan[
4
2
]
;T
6
5
]
)
.
9
(
v
) CoupledS
c
l
凶 d
i
n
g
e
re
q
u
a
t
i
o
n(Manakov[
4
8
]
;ZakharovandS
c
l
叫 man[
7
4
]
)
i
U
t+Ux
(
l
u
1
2土 I
v
I
2
)
U= 0
x+2
i
V
t土 V
(
l
v
1
2士 l
u
l
2
)
V= 0
x
x+2
(
v
i
)V
e
c
t
o
rn
o
n
l
i
n
e
a
rS
c
l
凶 d
i
時e
re
q
u
a
t
i
o
n(
Z
a
k
h
a
r
o
vandManakov[
7
3
]
;Z
a
k
h
a
r
o
vandSchulman[
7
4
];FordyandK
u
l
i
s
h[
2
5
]
)
i
U
t+Ux
1
u
I2
u= 0，
x土 2
U
= (U1，
'
"，
Un)
(
v
i
i
)Vec
七o
rd
e
r
i
v
a
t
i
v
en
o
n
l
i
e
a
rS
c
h
r
o
d
i
時e
re
q
u
a
t
i
o
n(
F
o
r
d
y[
2
3
]
)
i
U
t+Ux
i
(
l
u
I2
u)x= 0，
x土 2
ここで，U = (
Ul，'"
，
un).
(
v
i
i
i
)L
o
n
g
s
h
o
r
twavei
n
t
e
r
a
c
t
i
o
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y
s
t
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m(
L
a
n
g
m
u
i
rw
a
v
e
s
)(
Y
a
j
i
m
aandOikawa
個
[
7
0
]
)
i
U
t+Ux
x-Uり =0
V
t+V
l
u
I
2
)
x= O
.
x+(
(
i
x
)(
N
e
w
e
l
l[
5
4
]
)
i
U
t+Ux
κl
u
I2
u+i
u
vx+ω2=0
x-2
V
tー 2
κ(
l
u
I
2
)
x=o
.
(
1
0
)Thes
oc
a
l
l
e
dH町
a
r
口r
y
[
6
8
]
)
u
t=2(u-l/2)zm・
(
1
1
)Twoh
i
g
h
l
yn
o
n
l
i
n
e
a
re
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u
a
t
i
o
n(
W
a
d
a
t
i，
KonnoandI
c
h
i
k
a
w
a[
6
8
]
)
U
t+[
u
x
(
l+u2
)
3
/2122=0
[
(
1 I~
+(
1+l
u
I
2
)
1
/
2J
x
x
10
(
1
2
) Thet
h
r
e
ewavei
n
t
e
r
a
c
t
i
o
ne
q
u
a
t
i
o
n(3波共鳴相互作用方程式) (
Z
a
k
h
a
r
o
vand
事
1[
3
]
;Kaup[
3
6
]
)
事
qtu
一一一一一一
内
4
3
12
u
uu
*231
u
u
u
3
'1o2'
o'o
ti
ααα
au
一
δa
一
1qa--1qa--l
匂
+++
14-
MU
一印刷 u一
nd-nO
一
Z 均
一z
一 Z 均
一θ θ
一θ θ
一
o町一δ
Manakov[
7
3
]
;A
b
l
o
w
i
t
zandH
a
b
e
r
r
r
削
ここで， αゎ b
ゎ i= 1
，
2
，
3は定数である.
(
1
3
)Benjamini-Ono(ベンジャミンー小野)方程式 (Benjamin[
9，
1
0
]
;D
a
v
i
s
A
c
r
i
v
o
s[
1
5
]
;
Ono[
5
5
]
)
+叫 +~P.V.
Ut
{∞
Uyy
d
y= 0
πJ∞ x-y
第 3項はヒルベルト変換である.
(
1
4
)Kadomtsev-Petviashvili (カドムツェフーペトビアシビリ)方程式
(
i
) KPI(Manakov[
4
9
]
;Segur[
6
1
]
;F
o
k
a
sandA
b
l
o
w
i
t
z[
2
1，
2
2
]
)
+6uux+uxxx)x= 3uyy.
(Ut
(
i
i
) KPII(
A
b
l
o
w
i
t
z，
BarYaacovandF
o
k
a
s[
1
]
)
+6uux+uxxx)x= -3uyy.
(Ut
(
1
5
)DaveyS
t
e
w
a
r
t
s
o
n方程式
幽
(
a
) DSI
加
;(qzz+伽)=ー σI
q
l
2
q
+ゆι
σ=土1
ゆx
x一向y =+
2
σ(
l
q
I
2
)
X
X
(
b
) DSII
加
;(qzz-bu)=+σ I
q
l
2
q+伺
う
σ=土1
ゆx
x+ゆyy=-2σ (
l
q
I
2
)
x
x
1次元で可積分な方程式も空間次元を増やすと可積分でなくなることが多い (KdV
や非線形 S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
rなど). KP方程式や DS方程式は可積分な高次元方程式の
数少ない伊j
である.
11
第 2章
KdV方程式の厳密解法
(Kor
吋
"
t
e
w
e
g
d
圃
.
圃
長波長水面波を記述する K
o
r
t
e
w
e
g
d
eV
r
i
e
s (KdV) 方程式
6
u
ux +Uxxx = 0， xER， tどO
u
(
x，
O
)=u
o
(
x
)
均一
に対して，
(
2
.
1
)
(
2
.
2
)
1
9
6
7年 Gardner，Greene，K
r
u
s
k
a
l，M
i
u
r
a[
2
6
]らは， KdV方程式の初期値問題の解
c
h
r
凸d
i
n
g
e
r方程式
を，定常 S
Vxx-
u
(
x，
t
)
v=入v， xε R
(
2
.
3
)
の固有値問題，逆散乱問題(散乱データからポテンシャルを求める問題)と関連付けて構成する方
法を発見した.この方法は他の方程式にも適用できることがわかり，今日では逆散乱法と呼ばれて
a
r
d
n
e
r，G
r
e
e
n
e，K
r
u
s
k
a
l，M
i
u
r
aらによって発見された方法 (GGKM-法と
いる.この章では， G
略す)を紹介する.
2
.
1 直線上の S
c
h
r
るd
i
n
g
e
r方程式に対する散乱問題
1次元における S
c
h
r
・
o
d
i
n
g
e
r方程式
x
)+u
(
x
)ゆ(
x
)=入
ゆ(
x
)，
ー
ゆ
1
/(
xε R
(
2.
4
)
に対する散乱問題の概要を述べる.ここでや (
x
)は波動関数，u
(
x
)は実数値ポテンシャル，入はス
x
)のエネルギーを表す.
ペクトルパラメーターであり，波動関数ゆ (
(
x
)が遠方で十分早く減衰しているものに対し， (2.4)の非自明解
物理的に興味があるのは，u
1
.
ゅ εL2(R);束縛状態 (bounds
t
a
t
e
s
)，
2
.ゆ(
x
)が遠方で周期的に振動しているもの;散乱状態 (
s
c
a
t
t
e
r
e
dw
a
v
e
)
がそれぞれどのような値の入について存在するかに興味がある.
u
(
x
)は条件
ん
ο
+
I
x
l削
k=0，
1
，
2
(
2
.
5
)
12
を満たすとする.このとき，次のことがわかっている.
1.有限個の(ゼロもありうる)離散，単純固有値 *1が存在する.それを
κ九
入=入 n
κnεR+コ [
0，∞]
ε L2(R)となる.
とおく.対応する固有関数をゆnとするとゆn
2
.規格化された固有関数。n
(
x
)，
ん <þ~(x) dx= 1，仇 (x)>0，
(
x→+∞)
は次の性質を持つ.
I
C
n
e
"
"
nX ， x→十∞
仇 (z) 〈Y L
恨，
Iv
n
e
"
xーt-00.
ここで，規格化定数を次のように定義する.
.1
.
定義 2
l
i
me
"
"
n
X仇 (
x
)
.
Cn
X-H
Xl
入 =+κ2
，O#κεRに対してもゆ (
x
)= 0
(
1
)となるような (
2.4)の解が存在する.それを
x
)とおく. Ixl →∞では e-~""X と e~""X の一次結合で表されることから (u(x) は遠方で十分早
ゆι(
ι
包
z
e
、
、
，
，
，
，
κ
M 山、同
+
↓
・' e v
z
e
師、ーゾ
EE
、
、
.
，
，
，
Z
AWT
H
，
，、
‘
一
eα/‘、T
fjlL
く減衰している)
Z →+∞，
Z
ー
+
一
。
。
(
2
.
6
)
と書ける. ここで，
(
α
(
侃
)
:問数
b
(κ
) :反射係数
(
τ'
ra
n
s
m
i
s
s
i
o
nc
o
e
田c
i
e
n
t
)
(
R
e
f
l
e
c
t
i
o
nc
o
e
f
f
i
c
i
e
n
t
)
といい，これらの聞には
!
α
(
κ
)
12+I
b
(
κ
)
12=1
の関係が成り立つ. (
2
.
6
)の物理的な意味は，右側から来た波が振幅を α
(ぉ)だけ変えて左側へ伝わ
(κ
)だけ変わっているということを表している.
り，反射されて戻ってきた波は振幅が b
c
h
r
凸d
i
n
g
e
r方程式 (
2.4)に対し，散乱データを次のように定義する.
さて， S
定義 2
.
2
. 与えられたポテンシャル u
(
x
)に対し，固有値，規格化定数，透過係数，反射係数からな
る集合
s={κn，Cn，α
(
κ
)，b
(“
)
}
を散乱データと呼ぶ.
本
1
固有値が『単純』であるとは，対応する固有要素がすべてそのうちの 1つの要素の数値倍で表されるこ
とを言う.
13
2
.
2 直線上の S
c
h
r
るd
i
n
g
e
r方程式に対する逆散乱問題
逆散乱問題とは，散乱データ S からポテンシャル V
(
x
)を決定せよ，という問題である. 1次
元の S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式に対する逆散乱問題は 1
9
5
0年代前半に Gel
'f
anιLevitan[
2
7
] C
半直線
上
)
， Marchenko[
4
7
]，Faddeev[
1
9
] CR上)らによって解かれた.彼らによって解かれた方法の
概要は以下のようなものである.
散乱データ κn，Cn，b
(κ
)に対し，B(()を
N
B
(
(
):=)
， C~e-Kn(
K(d
+士 /b
(κ)
ei
κ
“
九
三1
1
1
で定義する.ここで， N は離散固有値の数である •
1
K(x，
y
)+B(x+y
)+
00
(
2
.
7
)
JR
恥
K(x，
ν
)は次の方程式の解とする.
K(x，
z
)dz=0，
ω
υ>x
(
2
.
8
)
この時，次が成り立つ.
←
U
(
(
2
.
9
)
dk(M)
積分方程式 (
2
.
8
)を Gel'fanιLevitanC
M
a
r
c
h
e
n
k
o
)C
ゲルファントーレビタン国マルチェンコ)方
程式という.
ポテンシャルの再構成の手順は次の通りである.まず与えられた散乱データ S から函数
B
(
(
)
を(
2
.
7
)で定義する.次に G
e
l
'
f
a
n
d
L
e
v
i
t
a
r
トM
archenko方程式を解き，その解からポテンシャル
U
(
x
)が (
2
.
9
)で与えられる.
2
.
3
GGKM-~:去
この節において， KdV方程式の初期値問題の解が S
c
h
r
・
o
d
i
n
g
e
r方程式の固有値問題，逆散乱問
ch凶 d
i
n
g
e
r方程式を考える.
題を通して，どのように構成されるかをみる.次の S
ゆxx- u(x，
t
)ゆ=入ゅう
(
2
.
1
0
)
xER.
ここで U
(
xぅt
)は KdV方程式
Ut -
6uux +Uxxx = 0，
Z
εR
う
t>O
U
(
x，
O
)=u
o
(
x
)
を満たすとする. t=0の時， KdVの初期値 U
o
(
x
)は与えられた関数であるから Sch凶 d
i
n
g
e
r方
程式 (
2
.
1
0
)に対する散乱データは計算して求めることが出来る.従って，以下では t>0の時の散
乱データの時間発展を調べてゆく.
14
2
.
3
.
1 スペク卜ルの時間不変性
S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式 (
2
.
1
0
)において，ポテンシャルにパラメータ tが入っていることこら，一般
にそのスペクトル入は tに依存する.しかし，ポテンシャルが KdV方程式を満たしているとき，
スペクトルは tに依らないのである.
定理 2
.1
.u
(
x，
t
)は次の条件を満たすとする.
1
. KdV方程式を満たす.
2
. uEC(Rx[
O，
T
]
)かっ
IIgt~.lu(x ， t
)
1三V
(
x
)
ε
t[
O，
T)
を満たすとする.ただし V
(
x
)は条件 (
2
.
5
)を満たす関数とする.
3
.
F
司P
.
.
話(り)=0(1)，
I
x
l→∞
=1，2，3
p
このとき S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式 (
2
.
1
0
)のスペクトルは時間によらず一定である.すなわち
d入(
t
)_)
(
d
t
を満たす.
証明は後にまわす.
=
注意 2
.
1
. t 0のときの離散固有値入
κとは時聞がたつでも固有値となる(すべての
対して，入
κとは固有値上さらに，時間が経っても新たに固有値は生成されない.
t>Oに
2
.
3
.
2 固有関数の時開発展
固有値入に対する固有関数ゆ (
x，
t
)の時間発展方程式を導く.まず次のことを示す.
定理 2
.
2
.u
(
x，
t
)は定理 2
.
1の仮定を満たすとする.入を任意のスベクトルの点，またゆ (
x，
t
)を
固有値入に対する固有関数とする.さらに
M(x，
t
):=仇 (
x，
t
)-2
(
u
(
x，
t
)+2入)恥 (
x，
t
)+u
x
(
x，
t
)ゆ(
x，
t
)
(
2
.
1
1
)
と定義すると，M(x，
t
)は Schrodinger方程式
[
長
一 (u一
入
)
]M = 0
を満たす.
2
.
1
0
)の両辺を tで微分する.
証明(概略):(
[
￡
卯
一
入
)
]
和 =(Ut-At)CT
(
2
.
1
2
)
15
Ut を消すため，
KdV方程式を用いて
民一(ト入)
]
<
T
t-(仇
(
2
.
1
3
)
また，
Ux
Ux
x
x-Ux
ゆ)
仇 x-2u
x
xゆ=(
x
x仇
に注意すれば(
2
.
1
0
)よりゅx
x= 入
( -u
)ゆを得る.このことから
x一
ω =[
陪
手
五
一
何
ト
い
一
→
入
刈
小
)
]
卜
ト
匂
い
Uパ
-2
山
u
-
がわかり，これを (
2
.
1
3
)へ代入すると，
uz
川
+
判
t
仇
い
川
州
]
)(ゆけ
[
￡一卯
十
い
一
→
入
イ
(
2
.
1
4
)
をf
得尋る. さらに，
uゆ)
txxux
ゆx
U
x
x (
x
x-<
Txxxu-2<
に注意する.また (
2
.
1
0
)を Z で微分すれば
u一
ゆx
x
x-Ux
ゆ-(
入
)
恥 =0
(
2
.
1
5
)
。
となり，この式の両辺に U をかければ
u一
x
x
x
u= uUx<
T+(
入)u恥
を得る.さらに， (
2
.
1
0
)の両辺に Ux をかけることにより
u一
x
u
x (
ゆx
入)Uxゆ
がわかり，従って
仇)xx-uUxゆ-(u一
u
U
x
x (
ゆx
T
入)u恥ー 2(u一
入)Ux<
匂
ω
d
一
寸3
￡一いい日
=
l
となる .(
2
.
1
5
)から
ゆ=<
Ux
T
x
x
x一(
u一
入
)
和
である.このことこら
「δ2
.
.
1
ゆ+u
3uux
x
x<
Tx= ￨
I
一
一
一(
u一
入
)
I
(
u+2
入
)
仇
2
δ
x
，
"
'
1
となり，これを (
2
.
1
4
)へ代入して
陽
一
(
い
)
]( い <Tx
2
(
u+2
)
"
)<
tx
)=-)..t<
T
=0
，
(
2
.
1
6
)
(定理
2
.
1より)
を得る.これが求める式で、あった.
口
16
注意 2
.
2
. 定理 2
.
1の証明について簡単に述べておく. (
2
.
1
0
)と(
2
.
1
6
)から
会
(
ゆMx一例 )
_
A
t
c
t
2=
得る.
I
I
C
T
I
I= 1に注意して両辺積分すると
一
入t = [
c
t
M
x 一仇 M]:
∞
となる.ゆ (
x，
t
)とその微分科，仇の
I
x
l→∞での挙動からん =0が従う.
.
3より固有関数ゆ (
x，t
)の時開発展方程式が得られる. Schrるd
i
n
g
e
r方程式 (
2
.
1
2
)を M に
定理 2
ついて解くと，
和一 2(u+2
入)仇 +uxゆ=M=Cct+D
ψ
ここで，C，D は定数であり，
(
2
.
1
7
)
ψは各入に対する固有関数ゆと一次独立な Schr凸dinger方程式の解
である.実は D = Oであることが次のようにしてわかる.
x，
t
)とすれば
1.入=一 κ1(離散固有値)の場合.対応する固有関数を仇 (
ICne nX‘
一時
φn
(
X
)r
v<勾叫ん
IL';ne
T.
一同一
という挙動を示すことから，
I"
~K， nX
ψ(
x
)r
v~プ二 ι 二
IV ne
Z→
∞
xー+-00
ψは
x+00
Z ー+-00
という挙動を示す項をもっ. (
2
.
1
7
)の左辺は Z →∞とした時ゼロに近づくので，D = 0
でなければならない.
2
.入=κ2 (連続スペクトル)の場合.
x，t
)， ctx(s，t
)，
ゆ(
ということと，
C
T
t
(
x，t
)r
ve-~ K，x，
x+-00
ψがゆと一次独立であることから， ψは
ψrv~ 引κ)ー
x →∞
l
e~悶 + b(κ )e-~ K，X ， x→ 一 ∞
→-∞とした時の (
2
.
1
7
)の両辺を比較すると D = Oでなければならないことがわかる.
従って，任意のスペクトルの点入に対し，
Z
仇 =2
(
u+2入
)
恥
。
+(C-ux)
(
2
.
1
8
)
を得る.これが国有関数が従う時開発展方程式である.
.
3
. 定数 C は入が入=ー κと(離散固有値)の場合と入 =κ2 (連続スペクトル)の場合とで
注意 2
異なる値をとる.
17
2
.
3
.
3 規格化定数 C
n
(
t
)の時開発展
我々の目標は散乱データの時開発展を調べることであった.スペクトル入 (
t
)は時間によらず一定
n
(
t
)の時間発展を調べる.
であることはすでに調べた.次は規格化定数 C
1とする .<tを対応する固有関数とし，
入=ー κ
が
ん
dx= 1
と規格化する.固有関数の時間発展方程式 (
2
.
1
8
)の両辺にゆをかけ xで積分すると
レ
i
tが
ん心山川 dx=
ux<
t2}dx+C
2
となり，右辺第一項は Oとなることから
2dx
C=oがわかる.従ってゆは
仇 =2
(
u-2κ~) 恥 -u x ゆ
をみたす.
x，
t
)= e
K
.n Xゆ
(
x，
t
)
ω(
(
2
.
1
9
)
とおくと，C
n
(
t
)の定義より有界関区間 tε[
T
，
T1]において一様に
o
limω (
x，
t
)=C
n
(
t
)
X~C同
となる.また， S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式の解は次の性質を持っている.
limωX
(
x，
t
)=0，
tε[
T
，
T
l
]に対して一様.
o
X~OO
2
.
1
9
)を(
2
.
1
8
)へ代入すると ωは
さて， (
ωt=4
κ
i
ω +2
(
u-2κ~)ωz 一 (2κnU +Ux)ω
を満たす.積分方程式に書き直すと
山)=mMh+fe44σ-8) 仰一 2/í;~)叫ー山 +U x )ω}ds
となる.右辺第二項の{}の中は
Z
I
x
l→ ∞ とすると tに関して一様に Oへ収束するので，両辺
→∞とすると，
limω(zJ)=Cn(z)=e44tlimω (
x，
O
)= Cn(O)eκb
~OO
x~oo
となる.これが規格化定数の時間発展式である.以上のことをまとめると，
定理 2
.
3
.u
(民 t
)は定理 2
.
1の仮定を満たし，さらに
~im u
(x，
t
)= ， ~im ux(x，t
)=0，
I
x
l→∞
I
x
l→∞
tε[
T
T
l
]に対して一様
o，
18
を満たすとする.入
κとを離散固有値，対応する規格化された固有関数をゆ (
x，t
)とする.すな
わちゅは
lゆ2(X，
t
)
d
x= 1
JR
を満たすとする.このとき規格化定数 C
n
(
t
):= l
i
me
K
n
X<
t(
x，
t
)は
X-to
o
C
n
(
t
)= Cn(O)éK~t
(
2
.
2
0
)
で与えられる.
2
.
3.
4 反射係数 b
(κパ)の時開発展
ポテンシャル u
(x，
t
)によって得られる散乱データにおいて，これまでにスペクトル入，規格化定
数C
n
(
t
)の時間発展式は得られた.最後に反射係数 b
(
x，
t
)の時開発展を調べる.
定理 2
.
4
.u
(x，
t
)は定理 2.3の条件を満たすとする.入 =κ2を連続スペクトルの任意の点とする.
このとき
b
(κ，
t
)= b
(κ，
0
)
e
8
i
K
3
t
(
2
.
2
1
)
が成り立つ.
証明(概略):始めに形式的に計算してみる.固有関数の時間発展方程式 (
2
.
1
8
)から
ψt=4 2仇十 Cゆ+2u恥 - U ゆ
侃
X
となる.定理 2
.
3の仮定から右辺第三項と第四項は
I
x
l→ ∞ で Oとなるから，xが十分大きいとこ
ろでは，。は
仇 =4κ 2<
tX +Cゆ
。
(
2
.
2
2
)
を満たすと思ってよい.また，
rv e-~KX
+be~KX ，
。
x-+o
であることから
(w
-vbf
ゆX
rv
(
2
.
2
3
)
-iκe-MZ+tκ be~KX
が得られる.これらを (
2
.
2
2
)へ代入すると
b
t
ei
悶
K
X+ (
=(
4
i/
'
i
， 3+C
)
b
ei
4
i/
'
i
， 3 +C
)e- X (
x→ ∞ )
となる.両辺の係数を比較すれば
b
i
κ3b
C=
4
i/
'
i
， 3，
t= 8
問
19
がわかり，従って
b
(κぅt
)=b
(κぅO
)
e
i
/h
'
i
を得る.
(証明概要)
ゆ(
x，
t
)=e-t K Xω(1)(
民t
)+ei K Xω(2)(
ι
t
)
とおく.
limω (1)(
x，t
)= 1， limω (2)(
x，t
)= b
(κパ
)
ぅ
zー今 00
tE[
T
o，T1]一様
X-+OO
であることと
ω
i(xt
)，叫
幻(
x，
t
)→ O
1)
2
.
1
8
)へ代入
となることからこれらを (
W(l)(
り
Z
ぅ
ぅ
→∞ぅ
tE [
T
T1]一様
ぅ
o
et K X をかけて tで積分すると
ω
)一州
W(l
1
吋)
町い)町(
+
l 卯+山
t
[-
2
;1)+川
村山 (1)]ds
t
ρ
〉 (
l
x
卜
=一e叶 ωJρ
仰
町
)
(
伊
吋
川
ヲ
，
吋
t
ト
)
ト
一ω
W(
ρ
例
2
幻
2
)(
伊
川
Z州
刈仲
，
的
O
0
十
)
ト
一(
4
似t
仇
，
i
κ
t3+
刊
叫
め
C
)
[
l卜μ
+
となる.ここで両辺
Z
t
(
2
)
)
ω
ω
(
σ
2
2
μ
κ
J
u
(
肘山+什
内
何
一
-2
→∞とした時，左辺は収束するが，右辺は{ }の中が Oでないかぎり，存
在しない.したがつて，
ρω1り1) (
W(l)
x，
ννωω
!巳恥則!主弘
U:
忠出己~{←
ρ
2幻引)町ヤ(伊Zり川う，
σ
(町
W(2)
仰
叩う
似
抗
仇
仰町叩
ωω
J
ω
ω
4
t
O
t
川
刈
刈
件(
仰
均
ト
)
ト
一
刊
的
十
)
ト
一
州
!hh
叫!己弘則忠忠~{ぺ(←いいい
2
W(2
)
幻
引
)
(
ヤ
(
伊
Z
l
め
)
κ 3叫
+C
tω仰
伶
幻
2 刈)
，
i
t3 がわかり，さらに 2
でで、なければならない . 1番目の式から ω(1) → 1 (
x→ ∞ ) により C =4
i
番目の式から
山 )=
い
を得る.
口
20
2
.
3
.
5 KdV方程式の解の構成
準備が整ったところで， KdV方程式の解の構成の手順を紹介する.
S
t
e
p1
. t= 0のとき， KdV方程式の初期値 u
o
(
x
)は与えられた関数である.この初期値をポテン
シャルに持つような S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式
。
X
X
(
x
)-u
o
(
x
)ゆ(
x
)=
。
入(x)，
xε R
の散乱データ
S={入，C
n
(
O
)，b
(κ，
O
)
}
を求める(スペクトル入については，離散固有値一 κnと連続スペクトル κ2をそれぞれ求
める).
S
t
e
p2
. t>0での散乱データを計算する.それは次の公式により求まる(定理 2
.
1，2
.
3，2.
4
)
.
S
(
t
)= {
入(
t
)，C
n
(
t
)，b
(ぉ，
t
)
}= {
入，Cn(O)éι~ t，b
(
，
;
i
'
/0
)
e
8
i3
t
}・
K
，
S
t
e
p3
. 上で求めた散乱データ S
(
t
)から，関数 B(
，
(t
)を次のように定義する.
N
+士 Ib
(川
B(ふt
):=デ C~(t)e- K，n(
ム
ーl
この
白川
)
e
i dκ
.
K，(
JR
B
(
(，t
)に対して G
e
l'
f
a
n
d
-L
e
v
i
t
a
n
-Marchenko方程式
roo
K(x，
Y
it
)+B(x+ν
it
)+I B(z+Y
it
)K(x，
z
it
)
d
z= 0
JX
を解く (
x，tはパラメータである).ここで求めた解 K(x，
Y
it
)から
d
k
(
い it)= 山 )
が得られる •
u
(
x，
t
)が求める KdV方程式の解である.
ここで紹介した GGKM-法は後に，後半の逆問題を解くところから逆散乱法と呼ばれるように
なった.
KdV方程式が逆散乱法によって解けるための条件をここでまとめておく.
1.散乱問題を解く際に必要な条件:
I(1+Ix)
lk
l
u
(
x，
t
)
l
d
x< ，
∞
k= 0
，
1
，
2
. tε[
O，
T
]
.
JR
2
. スペクトルの時間不変性に必要な条件:
月P
.
.
話(り)= 0
(
1
)，
I
x
l→∞
p=1，
2，
3
3
. 散乱データの時開発展を得る際必要な条件:
u
(
x，
t
)，ux(り ) → 0，
I
x
l→∞. tε[
T
T
]一様.
o，
KdV方程式の解 u
(
x，
t
)がこれらの性質を満たしている必要がある.初期値 u
o
(
x
)に適切な減衰条
Cohen[
1
4
]
)
.
件を課すことで，これらの条件は満たされることがわかっている (
21
2
.
4 等スペク卜ルポテンシャルと L
a
xp
a
i
r
逆散乱法では， S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r作用素の国有値が時間に依らず一定であることが大事であった.前
節ではこれを導くために，ポテンシャルが KdV方程式を満たしているということを使ったので
あった.では，ポテンシャルが他の非線形発展方程式を満たす場合， KdVと同様に固有値の時間普
遍性が得られるか?さらには逆散乱法により KdV方程式以外の非線形発展方程式の解を厳密に求
めることが出来るのだろうか?この節では， L
a
x[
4
4
]による方法を紹介する.
L をパナッハ空間上の閉作用素とし，
L
(
t
)= Lo+Mu
を考える.ここで，L
oはある 1つの作用素であり，Muは u(x，
t
)をかける掛け算作用素である .L
の固有値が tによらず一定のとき u(x，
t
)を等スベクトルポテンシャルという.
.
5
.L
(
t
)はヒルベルト空間冗上定義された自己共役作用素とし，tに関して連続的微分可能
定理 2
とする *2 また，L
tの離散固有値と対応する固有関数ゆも tに関して連続的微分可能で，
θゆ
(
L
(
t
)
)C冗
ゆ，一 εD
θ
t
と仮定する.ここで D
(
L
(
t
)
)は作用素 L
(
t
)の定義域を表す.さらに，
aL
-n~ = 1
3
(
t
)
L
(
t
)ー L
(
t
)
1
3
(
t
):=[
1
3
(
t
)，
L
(
t
)
]
a
t
(
2
.
2
4
)
を満たしかっ，
θL
B
(
t
)，1
3
(
t
)
L
(
t
)，L
(
t
)
B
(
t
)，L
(
t
)，-n~ε
θ
t
Ð(L(t))
となる作用素 1
3
(
t
)が存在すると仮定する.このとき
1
.L
(
t
)の離散固有値は tに関して不変である.
2
. もし L
(
t
)の固有値が単純であれば固有関数ゆ (
x，
t
)は
。
θゆ
=(
1
3
(
t
)+C)
δ
t
ー
(
2
.
2
5
)
を満たす.ここで， C = C
(
t
)は任意の関数である.
*2
冗をヒルベルト空間，B をパナッハ空間とする.定義域を冗 oC 1
lに持ち B に値をとる作用素 F
(
t
)
がt t
oで微分可能とは，すべての fε冗oに対して極限
=
2
，
imF(
t
o+e
)-F
(
t
o
E一歩
o
e
が B において存在するときをいう.この極限を
θF
(
t
)I
θt
It=to
=
と書く.例えば，L
(
t
) δ;
，+u(x，
t
)の場合は
δL
(
t
)
θt
一一一=叫
となる.
(
x，
t
)=Mut
22
B
(
t
)+Cが αn
t
i
s
y
m
m
e
t
r
i
cならば
3
. もし
か
ん
1
1
<
/
>
1
1= μ伸例l
附
ゆ
剃
仰
民
Z
仇
仰
吋
(
，
伊
t
仇
仰
川
は tによらない.
注意 2
.
4
.(
2
.
2
4
)を Lax方程式といい，与えられた問題を (
2
.
2
4
)のような形に表すことを Lax表
示という.むaJC方程式は
(山
6
<
/
>
t= B
<
/
>
の両立条件であり，固有値問題のスベクトルが tによらず一定であることを意味する.
2
.
2
4
)をみたすような作用素の対，L，B を見つけることが重要である.
逆散乱法では Lax方程式 (
このような対を Lax対 (Laxp
a
i
r
) という.
注意 2
.
5
.KdV方程式の場合 Lax対は
(
的
)a;+
=
u， U 九州
B
(
t
)= -4θ3-6uθIX-3
ux
となる.実際，
。
L
δ
t
"
"
"
"
f
u
" = Ut(り)
[
B
(
t
)，
L
(
t
)
]= å~ -6uθxU
から
U
(
x，t
)が KdV方程式をみたすならば
δL
~n: = [
B
(
t
)，
L
(
t
)
]
a
t
となり，L
(
t
)と B
(
t
)は Lax対であることがわかる.
.
6
. Lが L
(
t
)= δ
1
;-u(x，
t
)で与えられた場合，定理 2.5によれば
注意 2
B
(
t
)，L
(
t
)
]= M wを満たす (antisymmetricな)作用素 B
(
t
)をみつける.ここで M w
・[
は掛け算作用素であり，日F は u
(
x，
t
)の関数 w=K(u)である.
・この
B
(
t
)に対し，等スペクトルポテンシャル u(x，t
)は
-Ut =
K(u)
の解となる.
B
(
t
)をどうやって見つけたらよいか?
B
(
t
)を antisymmetricで実係数の線形微分作用素とする .B
(
t
)は antisymmetricより，偶数
ということになるが，実際に
階ではないことから
10
l ﹀lJ
、
勾一列
+
。
一
仇
か
r一
、、
詰
'
一z
eE
一nO
L
J
rtJ -EE
q州
玄
-nJ
+
内
4
+
一
什
E-2
O 一円凶
一
一nw-
B
とおく.係数 b
jは後で決める .q=lの場合を考えると
。
。
3
•
a
a
θx 'ax
1= 一一ー
+b1 一一 +~b1
3
x
23
である.
会
)
る
-(
3会
+争)会-(会 +2b12+会)
即時 BIL(t)-L(t)B1=-(32+
であるが，[
B1，
L
(
t
)
]が掛け算作用素となることからいートがわかる
従って
iAL(t)]=-j(uzzzー仇 )
となる.定理 2
.
5より等スペクトルポテンシャル u(x，
t
)は
山一仇)
ut=j(
を満たすことがわかる.
定理 2
.
5の証明(概略)
)を対応する固有関数とする.
(
(
t
)を固有値，ゆ(x，t
L
(
t
)ゆ+(
(
t
)ゆ=0
の両辺を tで微分すると
+ 友+
(
(
t
)
a
<
/
> ，a
。
+友
θ
a
t
'ゆ ((t)
(
t
)
a
tゆ L
=0
となる. (
2
.
2
4
)より
[
L
(
t
)+(
(
t
)
]友
(
t
)
δ(
+B(t)L(t)ゆー L(t)B(t)ゆ+370=O
となるが，B
(
(
t
)
B
(
t
)ゅにより
(
t
)
L
(
t
)ゆ=B
(
t
)
((
(
t
)ゆ)= -
/
θ
<
/
>
(
t
)
¥ θ(
.
.
0 /.
1
.
¥J
[
L
(
t
)+(
(
t
)
]I
友一 B(のけ+
a
t
'ゆ=0
(
2
.
2
6
)
を得る.この式の両辺にゆをかけて内積をとれば，L
(
t
)が自己共役より，
(
t
)
δ(
1
¥
r
T1
N ¥
l( ゆ
(
t川友 -B
(
t
)ゆ
t
)+(
)
)
す 11 ゆ II~ =-(札匹 (
1J..1I2 _
/
J
.
.
.
1
.
¥
I
.
I
.
=
(
比(t)+仰
となる.ゅは固有関数であることから O 手ゆ ε L 2 • 従ってふ (t) = 0を得る.これは，(
(
t
)が
(
t
)が固有値であることをいっている.
t=t
oに対する固有値だとすると，全ての tに対して (
(
2
.
2
6
)と (
t=0から，
-
/
θゆ
~a:
[
L
(
t
)+(
(
t
)
]I
1
B
(
t
)
ゆ}
)=0
j
T
lθt -'
24
を得る .L
(
t
)の固有値が単純であることから
d
c
t
--B(t)ゆ= C
(
t
)仇
δ
t
C
(
t
)は任意の関数
(
2
.
2
7
)
がわかる.両辺にゆをかけて内積をとると，B
(
t
)+Cが a
n
t
i
s
y
m
m
e
t
r
i
cであることから，
〈一ω
θ
t
〉ト=<ゆ，
但仰
伽
(
t
t
となり，従って
J
E
l
lゆ(
t
)
1
12 = <仇 (B+C)ゆ >+<(B+C)仇ゆ >
d
t
=0
を得る.
口
注意 2
.
7
.KdV方程式の場合，
B
(
t
)= 4
θ!
，-6
u
(
x，
t
)θx - 3ux(
x，
t
)
とすると，定理 2
.
5により固有関数の時間発展方程式は
。
t
=-4
ゆxxx+6u
ゆx+3uxc
t
となる.一方， S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式ー仇x+u
(x，
t
)ゆ=入ゅの両辺を Z で微分すると
ゆxxx
従って
.
(
u一入)恥 +uxゆ
。
t=2(u+2入)仇 -uxゆ
となり，前節で導いた固有関数の発展方程式が得られる.
25
第 3章
非線形 Schrるdinger方程式
q=q
(
xt
)，r二 r(xt
)とする.次の G
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dZ
a
k
h
a
r
o
ト S
h
a
b
a
tSystem
ぅ
ぅ
4
1
1
P
2
+刷工 o
ax
(
3
.
1
)
f
竺+rV1+i(V2=0
ax
のスペクトル(=(
(
t
)が時間不変となるようなポテンシャル qぅ γ の発展方程式を導く.
ret'BtitsL
円
山 T
一
一
r
u
u
14
﹃EEBEEtEEBBJ
pEEEEEEEEEEEh
u uつ-
一
一旬
とおくと， (
3
.
1
)は
Lv+i(りご O
となる. この L に対して Lax対を見つける.すなわち
。=
L
一一
BL-LB
(
3
.
2
)
δ
t
V
t=Bv
を満たす作用素 B を見つけことを考える. まず，
ぃ安=[~
であることに注意する. B = {βηh<i，
j<2とおく. (
3
.
2
)から
θxsl1 - sl1θx
'-q
β
2
1-β1
2
r=0
θzβ22-β22δx-s
21q-r
s
1
2 =0
δxs12十 s12δx-qs22+sl1q= q
t
θxs21+s21θ rsl1 +s22r r
t・
お
-
(
3
.
3
)
(
3.
4
)
二
いま，s
i
jとして 2階の微分作用素を考える.すなわち，
s
i
j=ß~J)
+sg)δ
I
X+
β
J
j
)
θ
3
(
3
.
5
)
26
nunu
唱-晶噌A句よ η4
判所
山リ買也、ー、J
一一一一
o d内ぷ均
一
一
一
一
(
3
.
7
)
U2 ‘
12
a
μ
n4 噌i
(
3
.
8
)
2sW-q(ß~;) -sW)= 0
nunU
nunu
一
一
一
一
n
μ
'
Q
μ
rt
、
噌
ょ
，
﹃
‘
、 n4
z
qz
r
)
) ，“内 L
n41in
qAqL
、
、
‘
，
‘
、
EEJ
++
J
噌よ唱ム噌ム唱i
rt
、
噌 i，
﹃
、
司
ム
a
υ
'
Q
μ
'
一一一一一一
噌ム内4 句ム円 4
J
、B J
、qa，
，
、 q4
唱A η a ' A q 4 r t
噌ム唱ム唱止噌i n u n 4 A U 噌よ
4
円
4
内
一一++
H1ny
nμnu'Qμ'Qυ'
，
r，、 qa，t、n4 ，
噌 A，t、n
a
s、
一一一+
TTqT
、
( 1‘
(13'P
Rμaυ'/LJI
29ii)-T(92)-P2)=O
(
3
.
1
1
)
ιpii)-qpji)-T92)-TJi;)=O
OJZ)-qpZ)-T92)-qAi)=O
r
t= δIXß~~) +r
(
β認
)-32))+FJUTZ+92)TM
(
3
.
1
3
)
pii)=PJ;)=O
(
3
.
1
4
)
j
主
(
ß~~) =一
七338)十点))九
Z
T
、
、
‘
，
，
，
HY
+
SE
、
z
nuz
T
、
‘
.
，F
，
，
“
司
ム
n
Q
μ
，a、咽i
qo
十
qa a
rt
、
内4
n
μ，内
EE
一
‘
，
，
1
4、
A吐
一
一
nU 唱A
，、唱ム
Z
O
円
s
ρμ
﹄
ゐ92)=-j(392+92))(rqz+qh)
ー
ム
C
qa 唱A
lJ
+
n
W
4
、T
，
﹃
‘
、
噌A
qo
a
υ
'
+
qaqa
r
1
、
内6
a
μ
，、、
E
一
， A
H
4
1i
nU 噌i
，z
、司ム
一
一
a
μ
ß~g) =一
七332)十点 ) 附 C2
fli--'t
積分して
(
3
.
1
2
)
q
t= δ
I
x
s
i
g
)-q
(
β話
)-92))+pii)qz+pii)qzz
(
3
.
1
0
)
i n，“噌i n，
“
咽i 唱ム
唱よ噌i 噌
，E、唱ム，﹃、 n 4 f a
、噌ム， E、
内4
(
3
.
8
)と(
3
.
1
4
)を(
3
.
1
1
)へ代入
，EEEE fBEESEK
α，α，pjf)の自由度がある.
以上で，B が決定できた.ただし，
(
3
.
9
)
sμ-aμ'aμ'Qμ
必
叫
円
)
斗
斗
=
←
寸
→
一
寸
古
(
(
3
.
6
)
・
zzz
一一&門的ロ
θzθ
δθ
ぬ jlLf{lf︿liflf︿lfJI
、
“
とおく. (
3
.
5
)を(
3
.
3
)と(
3.4)に代入し，係数を比較すると，
3
.
9
)へ代入すると
(
3
.
8
)を(
θJii)=δJj;)=O
を得る.ここで，
ととる. (
3
.
7
)から pg)は Z によらない関数となる.何
(
3
.
8
的)と(但3
.
1
3
め)を(伊
3
.
1
0
町)へ代入して
27
これらを (
σ
3.4吋)へ代入するとポテンシヤルの時間発展方程式が得られる.
?
f
{:
戸
仇
寸
ド
中
=
ベ
→
叶
十
;
や
戸
戸
伊
戸
;
M
山
2
問
?
ι
十
い
←
川
4
イ
吋
:
刈
山
イ
d
瓜
P
一
i
2
イ
?
i
?
川 )
T
t=一.(伊(伊必
β;
2
:
?
)一F
d
i
2
:
)
切
)
(
〆
q
r
ρ
2一 r
ω+(α -C!)r
t
(
3
.
1
5
)
円
さて， Z
a
k
h
a
r
o
v
S
h
a
b
a
ts
y
s
t
e
m(
3
.
1
)において r=平qの場合を考える.このとき (
3
.
1
5
)は
(
寸2)-92))(
￨
q
￨
2
i
f
z
)ー (C2 - C1)
q
品=-(必)-sg))(有 I
q
l
2 qxx)+(α -C1)q
刊
ー
となる.この二つの式が両立するには，
(
;
(
9
2
)
d
)
)
4
α
C2-C1=γ
i，
α:実数
γ:実数
でなければならない .γ=0ととれば，非線形 S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式
z
q
t
=
q
z
z土勾 I
q
l
2
を得る.これは 1
9
7
2年に Z
a
k
h
a
r
o
v
S
h
a
b
a
t[
7
5
]によって初めて逆散乱法によって解かれた.解
の構成手順は KdV方程式の場合と同様である.
ここでは行列 B は作用素として求めたが，実は関数を成分に持つ行列としても求めることができ
る.詳しくは E
c
k
h
a
u
s
H
a
r
t
e
n[
1
7，
p
p
.1
7
4
1
8
1
]を参照のこと
29
第 4章
補遺
この章では Ge
l
'f
a
n
dL
e
v
i
t
a
n
-Marchenko方程式 (
2
.
8
) とその解が (
2
.
9
)を満たすということが
幽
ckhaus-Harten[
1
7
]にある
どのようにして導かれるかを概観する.厳密な証明については例えば E
ので参照してほしい.
S
c
h
r
o
d
i
n
g
e
r方程式
ー
ゆ"
(
x
)+u
(
x
)ゆ(
x
)=入
ゆ(
x
)，
xER
(
4
.
1
)
を考える.入 = d
，κεCとする .κεδ工
:
={zEC;Imz三O}に対し，
ゆI
(
X，
κ
)= e~f<，æ L
(x，
κ
)
和(
x，
伐
)= e-utaR(x，ぉ
)
，
という形の解を考える.それぞれ方程式 (
4
.
1
)へ代入すれば R と L の満たす方程式が得られるが，
その中で特に
日
m R(x，
κ
)= 1
， l
i
mR
'
(
x，
κ)=0
æ-→ -c白
L"(
x，
ι
)+2
i
κL
'
(
x，
κ
)=u
(
x
)
L
(
x，
κ
)
l
i
I
p
. L(x，κ
)= 1
， l
i
r
p
.L
'(
x，
κ)=0
a今 +00
(
4
.
2
)
æ~-oo
(
4
.
3
)
æ~+oo
を満たす解について考える.
ポテンシャル u
(
x
)としては，次の条件
!
a
(
1+1
叫)
m
l
u
(
x
)
l
d
x< ∞
(
4.
4
)
を満たすものを考える. (
4.
4
)
を m 位の増大条件 (
g
r
o
w
t
hc
o
n
d
i
t
i
o
no
fo
r
d
e
rm) と呼ぶ.以後こ
れを GC(m)と略すことにする.
l
'f
a
n
d
-L
e
v
i
t
a
n
-Marchenko方程式を導くために必要な解 R と L の性質についてまと
まず， Ge
めておく.
30
4
.
1 解の存在と一意性
(
4
.
3
)を積分方程式に書き直すと
1
山 ) コ 1+
00
H(
山
(
4
.
5
)
)
L
(
y，
K
.)
d
となる.ここで
u
(
y
)r~2il\;(百 -x)
H(x，
y，
κ
)一五互い
“
εC+¥{O}
-
H(x，
y，
0
)= u
(
y
)
(
y-x
)
である.
R xC+¥{O}上定義された関数 ω(
x，
κ
)で，各 κ E C+¥{O} に対し
ω(
x，κ
)=0
(
1
)，(
x→土∞)を満たす集合を W 土と書くことにする.
Z
について連続かっ
定理 4
.1
.u
(
x
)は GC(O)を満たすとする.このとき積分方程式 (
4
.
5
)をみたす解 L E W +が唯一
つ存在し，
L(x，
κ
)= ~Hl(X ， κ)
1=0
品川 =1， Hl+l(
x，K
.
)=
(
4
.
6
)
1
00
H(x，
y，
κ
)品(仰)吻
で与えられる.この解 L は(
4
.
3
)をみたす(古典)解でもある.
R(x，
κ
)についても同様の一意存在定理がいえるが，ここでは省略する.
Gel'
f
a
n
d
-L
e
v
i
t
a
n
-Marchenko方程式を導く際には，解の κ に関する解析性が重要な役割をは
たす.
定理 4
.
2
.u
(
x
)は GC(O)を満たすとする.このとき
d1R
~，
α
Xl'
d1L
，-;:::-
;
:
:
;
ε
C
(
Rx(C+¥{O}
，
)
1
dx
l=0，
1，
2
となる.また，各 xE Rに対し 2階までの導関数はすべて kに関して解析的である.
(
x
)が GC(l)を満たすならば (
4
.
5
)は k=Oのときも一意に解け，その解 R，L は
さらに，u
d1R
dx1'
となる.
d1L
:
:
:
一
五7εC(RxC+)，
1= 0，
1，
2
31
4
.
2 解の漸近挙動
κεR¥{O}の場合，科と r
/
Jr
' r
/
Jlと石はそれぞれ互いに一次独立な (
4
.
1
)の解となる. 2階の
線形常微分方程式の解は 2つの一次独立な解の線形結合で書けることから，
(
い
一
(
川
+
(
κ
)瓦
ゆrγ+(κ)ゆl十 T (
κ
)引
(
4
.
7
)
ー
と書ける. (
4
.
2
)と(
4
.
3
)より κεR¥{O}に対し科とのlの I
x
l→∞での漸近挙動が得られる.
。
+00
X+-00
X
l
(
Xκ
)r v ~ ~
I
l
+(
κ)
e2 X +L
(
κ)
e
-2
ぅ
1
'
i
:
Jr
+
(κ)
e21'i:X 十 r
_
(κ)
e
-2
科(
xぅκ) ie-MZ
X-+οc
I
'
i
:X
Z ー+ - 0 0
さらに係数の間には次の関係が成り立つ.
l
+(
κ)=γ-(κ)
L(κ)二一可(
κ
)
(
4
.
8
)
2工
作+
I
r
(
κ
)1
(
κ
)
12+1
(
4
.
9
)
う
I
l
+(
κ
)
12 = I
L
(
κ
)
12+1ぅ
T土 (
κ
)，1
土(
κ
)は R
¥
{
O
}上定義される関数であるが， r
_
(κ)と l+(κ)は次のようにむ士 ¥
{
O
}へ
と拡張できる.
定義 4
.1
. κEC+¥{O}に対し
Tー
ヰ(RL'
(
κ
)ゴ +(κ):=
ーぱ十日L
)
で定義する.
ポテンシャル u
(
X
)に G
C
(
2
)という条件を課せば 1
/r-(κ
)は κ=0で連続であることがわかる.
このことは Ge
l
'f
a
n
d
L
e
v
i
t
a
n
-M
a
r
c
h
e
n
k
o方程式を導く際の重要な性質となる.
定理
4
.
3
.u
(
x
)は G
C
(
2
)を満たすとする.このとき透過係数
r(κ):=-L
一(
κ
)
は κ=0で連続である.
4
.
3
スペクトル
L2(
R
)上で Schrodinger作用素
w
u
+
が
n
t一
一
一
L
32
を考える.定義域を D
(L)= H~ :={
<
TEL2;<
T
"εL2}とする.レゾルベント集合を ρ(
L
)
. スペ
クトルを σ(
L
)
. 固有値の集合を σp
(
L
)とする.これらは前節で定義したに (
κ
) (散乱係数)で次
のように特徴づけられる.
定理
4
.
4
.u(x)は G
C
(
O
)を満たすとする.このとき
ρ(
L
)= {
入 EC;入=κ2κEC+，
r
ー
(
民
)#O
}
σp
(
L
)= {
入 εC;入=κ2κε C+，
r
ー
(
ぉ
)=O}C (
1，
0
)f
o
rsome1>0
・
・
・σ(L)=σp(L)U[0，∞)C R
が成り立つ.さらに (
0，∞)には固有値は含まれない.
さらに次のような性質がある.
系4
.1.各固有値入 =κ2εσp
(
L
)は単純である.また，
科(
x，
κ)=α(κ)仇(
x，
κ
)，
0#α(κ)εR
と書ける.
.
1で定義した規格化定数 Cn の間には次のような関係がある.
α
(
κ
)と定義 2
4
.
5
.u(x)は G
C
(
1
)を満たすとする.このとき離散国有値の数は有限である.その固有値を
一円<ー均<・・・ < - V N <0と
し， κn =Fnとおけば，規格化定数 C
.
1に現れる係数
n と系 4
定理
α
(
κ
)との聞には
円ー
α
(
i
ν'
n
)
'
'
n一
1
1
科(" i
v
n
)
1
1
という関係式が成り立つ.
r
(κ
)のゼロ点集合が σp
(
L
)であったが，次の定理よりに (
κ
)のゼロ点は一位であることがわ
かる.
定理 4
.
6
.入=κ2εσp
(
L
)とし， 0手α(κ)εRは系 4
.
1のものとする.このとき次が成り立つ.
2
生
二 (κ)=-L￨￨ゅん κ
)
1
1
~a( 侃)
4
.
4 解の F
o
u
r
i
e
r変換表示
f
(
x，κ)，g
(
x，s
)に対し，変数民 sに関する F
o
u
r
i
e
r変換と逆 F
o
u
r
i
e
r変換を
=v
与 Ie吋 ( い)dκ
(九→ s
!)(x，
s
)
乙1
f
'J R
(
:
F
，ヰ山川 ) = よ
l内 (
x，
s
)
d
s
VL
.
πJR
で定義する.定理 4
.
1で与えた解 L
(
x，κ)を伐に関して Fourier変換してみよう.
L
(
x，κ
)一 1= H1(
x，κ)+玄 Hm(x，K
)
(
4
.
1
0
)
33
と書き直して考える.ここで H
lは
H
l(
x，K
，
)=
1
00
H(x，y，κ)dy
f一
u
(
y
)
r_2u(y-x)
L
{
∞
Jx
= I
，，
e"""-¥Y-wj -
u
11 .
.
1
.
，
1}du
乙屯
である .
θ(
s
)をヘビサイド関数.U
(
z
)を u
(
y
)の積分，つまり
Aunu
Queu
、
>一<
--nU
fit-.EEK
一
一
E
eu
、
、
‘
，
，
，
A
O
，
，
、
、
曹
印 )=
1
00
u
(
y
)
とすれば，部分積分と変数変換 s= 2
(
y-x
)により
H1(い
)=;l的
4
血
辺
)
e
iK.S
U
(
x+s
/
2
)
d
s
JR
=~{F.
記仏山ユ斗山昂バ(伊附
θ
となる.伐に関して F
o
u
r
i
e
r変換すれば
シ
=
(
s
)
U
(
x+s
/
2
)
(九→ sH1)
(
x，
s
)
(
4
.
1
1
)
を得る.
2
二Hmの性質は (4川より L-1-Hlの性質を調べればよく，それは定理 4.2より各
00
Z
εR
に対し C+上解析的で C+上連続であることがわかる.
ζι)}
，
いs
)
山 ) = 方 { 九 →S
(
(
4
.
1
2
)
とおこう.次の補題から任意の s<Oに対し I
(
x，s
)= 0がわかり .I
(
x，s
)の連続性から
I
(
x，
O
)= 0
(
4
.
1
3
)
となる.
.1
.f
(
z
)はむ工上連続. C+上解析的とし，実軸上では L1(R). また sup I
z
f
(
z
)
1< ∞ を
補題 4
zεC+
満たすとする.このときすべての s<Oに対して
Ie-m f
(
z
)
d
z= 0
JR
証明:積分路を
[
R，R
]と CR:={Zj I
z
l= R，Imz三O
}から成るものをとる.この内部では被
積分間数は解析的であるから Cauchyの積分定理より
~R
~
Ie
-usf
(
z
)
d
z+I e
-f
(
z
)
d
z= 0
tZS
J-R
JCR
を得る.この式で両辺 R→∞とすればよい.
口
34
さて， (
4
.
1
0
)の両辺を κについて F
o
u
r
i
e
r変換すると，
シ
=
:
N(x，
s
)
+s/2)+山 )
(
s附
(
4
.
1
4
)
とおけば
=
(F~→ s(L -l))(x，
s
) N(x，
s
)
となる.とくに (
4
.
1
3
)から
N(z，
o)=ju(Z)=ifw)du
がわかり，N が Z に関して微分可能ならば
u
(
x
)=ー 2Nx(
x，
0
)
(
4
.
1
5
)
となる.さらに，任意の κ E Rについて L(x，-κ
)=
L(x，
κ
)が成り立つことに注意すれば，
N(x，
s
)は実数値関数であることもわかる.以上のことをまとめて，
定理
4
.
7
.u
(
x
)は G
C
(
l
)を満たすとする.このとき
1 ω，
山 )= 1+
00
∞
Z s
N(
伊
叩
と書ける.ここで N(x，
4
.
1
4
)で定義される実数値関数である.また，N(x，
s
)は(
s
)は x，sに関し
て微分可能であり，
Nx，
NsECo(Rx[
ら ε R，limf(x，s
0，∞)):={
0，∞));
N，
)= O
}
fEC(Rx[
ー+ロロ
を満たす.
e
l
'
f
a
n
d
L
e
v
i
t
a
n
M
a
r
c
h
e
n
k
o方程式
4
.
5 G
準備が整ったところで G
f
a
n
d
-L
el'
e
v
i
t
a
n
-Marchenko方程式を導こう.定理 4
.
5により，u
(
x
)が
G
C
(
l
)を満たすなら，固有値の数は有限個である.これらを一円<一的<・・・
，
i
'
/n
=.
.
;
v
;
;
， 1三n'
S
.N と書くことにする.
I
:C~e:-~nZ ，
Bc(z):=
B
d
(
Z
):=
~F:~zbr(z)
.π
VL
n=l
とおく.ここで Cn は規格化定数，b
κ
)は反射係数である.
r(
B
(
z
):=B
d
(
Z
)+B
c
(
z
)
品川(κ)
=Sde-hZ+
とおく.
仇
Z>O
< - V N <0とし，
35
定理 4
.
8
.u
(
x
)は GC(2)を満たすとする.このとき (
4
.
1
4
)で定義される実数値関数 N(x，
s
)は次
の方程式を満たす.
イ
+s)+N(x，s
)
駒
N(x，
t
)
B糾
s+ル
xER， s2
:0
0，
(
証明 :
αr
(κ)
=
l
/
r
_
(κ)，b
伐
)= r
+
(伐)
/
r_(ι)とおけば(
4
.
7
)式より等式
r
αr
(κ
)科 (
x，伐
)= b
(
κ
)和(
x，
κ)+石(
x，
κ
)
r
を得る .<
Tr=Re→悶，利
=Let
K
，X
をそれぞれ代入すれば
iX +L(x，
αr
(κ)
R
(
x，
κ
)= b
(
ぉ)
L
(
x，伐 )
e2
κ
)
r
K
，
となる.この式の左辺に定理 4
.
7で得た Lの F
o
u
r
i
e
r変換による表示式
L(x，
/
'
b
)= 1+y
!
2
;
F
.
二 N(x，
κ
)
K
，
を代入， N が実数値であることから :F;~K， N
i
与
α
(rR-ド与ι
(
κ)
e2
v5 π v
π
悶
=:
F
K
， →sNに注意すれば
i F.ヰ叫ん sN
+br(
ぉ)
e2
K
，X
乙
占
となる.両辺に逆 F
o
u
r
i
e
r変換を作用させれば
1 _
_
，，
1 _ _ ，つつ2
(rR-1
)=
~:F;:.!s(bre2i悶)
+:F;
:
.
!
s(
b
ei :
F
-1N)+N
r
.
.
.
;
2
i
fJ己 α
- .
.
.
;
2
i
f
晶
→s
.
L
V
K， --+s\-r~V
問
~I
(
4
.
1
6
)
を得る.右辺第一項と第二項は F
o
u
r
i
e
r変換の定義から
÷
L
叫
F己
J
ニ
ι
i
ふ
山
8
ι
い
bT
J
f
伊
P
♂
f
2
y
“
4
門
e
J
勺
e8
)=ι
U
f♂
V
「
π
5
i
(
巾
(い印
パ
ル
(
作
糾
刊幻ω
竹
抑山
民
悶
z
竹
~岳刊
話
，
JR
c
(
2
x+s
)
=B
4
.
1
7
)
(
また，同様の計算により
FJis(bre2MZF
己
目 N)=
roo
x
)
d
t
t
)
B
c
(
s+t+2
I N(x，
(
4
.
1
8
)
1
がわかる *
(
4
.
1
6
)の左辺については，
Q(x，s):=(
4
.
1
6
)の左辺
1
x，s
):=ム
Q
ε(
2
π
re
()
κ
)-l
(
R
(
x，
)
d
κ，
一一助κ
l一
1-i
e
κ
tι8
JR
ε>0
とおく.定理 4
.
2より R は C+上解析的であり， αr
=
l
/
r
_
(κ)は定理 4.4，定理 4.5から有限
(κ)
個の一位の極を C+上に持つ.さらに u
(
C(2)を満たすことから R，ι は κ = 0で連続と
叫がG
*
1実際の証明はが (κ)=e-EJbT(ぉ)
ε L1n L2 とし V に対して同様の計算を行い E →0とするのであ
る.
36
なる.従って積分路 ORを [-R
，
R
]と CR:={
z
;I
Z
I= Rぅ ImzとO}から成るものをとれば，留
数定理により
Qε(民 s
)=)im 土/~士二αr(κ)(R(x川) -1
)
d
κ
R→
∞2
πJ
nR 1-i
ε
κ
ふ
; ;)
)
、広
三
。
:R(xiV I(J
1
+
ε Fn
l
e
n
z
1
7
=
(何 )
ぅ
一両
Jm
→Oとすれば
となり， ε
ιR(x，VIJ;;)i
Q(民 s)=i):~-:'
n=l
(
4
.
1
9
)
玄(刊
系4
.
1と定理 4
.
5，定理 4
.
6により
=
去山何)
告(何)
1
1
1
R(x，
i
F
n
)=C
n
l
l科(.， iFn
)
I
I
L
(
x，
i
Fn
)
e
-2rcnx
であるから，これらを (
4
.
1
9
)へ代入すると
N
Q
(り )=-LC~L(x ， iFn
)
e
-rcn(s+2x)
口 =1
となる.この式に定理 4
.
7で得た Lの表示式を代入すれば
l
ON川ん伽
い )=-Bd(2x+s
)一 O
が得られる. (
4
.
1
6
)に(4
.
1
7
)ぅ(
4
.
1
8
)ぅ(4
.
2
0
)を代入すれば，示すべき
(
4
.
2
0
)
N(xぅs
)が満たす方程式が得
られる.
口
37
参考文献
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