2009年度集合と位相 - TOKYO TECH OCW

2009 年度集合と位相
2009 年 6 月 23 日
1
選択公理，ツォルンの補題，整列可能定理
2 つの集合 S と T の直積とは，すべての対の集まり {(x, y) | x ∈ S, y ∈ T } の
∏n
ことであった．これをもとに，有限個の集合 Si (i = 1, 2, . . . , n) の直積 i=1 Si も
∏
定義できる．無限個の集合 Sλ (λ ∈ Λ) が与えられたとき，その直積 λ∈Λ は，各
λ ∈ Λ に対し， Sλ の元を一つ対応させる写像として定義できる．
では，添字集合 Λ がどのように大きな集合のときも，すべての λ ∈ Λ に対し一
斉に Sλ の元を対応させることができるのであろうか？これを保障するのが，次の
選択公理である．普通はこの公理を認めて議論を行なう．
公理 1 (選択公理). Λ を添字集合， Sλ (λ ∈ Λ) を集合とする．すべての λ ∈ Λ に
∏
対して Sλ =
̸ ∅ が成り立つなら，直積 λ∈Λ Sλ は空でない．
∏
定義 1. Sλ を空でない集合とする（λ ∈ Λ）．直積 λ∈Λ Sλ （選択公理より空でな
い）の要素 x は，各 λ から Sλ への写像とみなせるので，x に対し Sλ の要素が一
つ決まる．この要素を x の λ-成分という．
∏
∏
また， x ∈ λ∈Λ Sλ に λ-成分を対応させる写像 pλ :
λ∈Λ Sλ → Sλ を λ-成分へ
の射影という．
∏n
有限個の直積 i=1 Si であれば， i-成分は，第 i 成分， i-成分への射影 pi は，第
i 成分への射影である．
例 1. S, T を空でない集合とし， f : S → T を全射とする．そのとき，単射 s : T → S
が存在して f ◦ s = idT が成り立つ．ただし， idT は T の恒等写像である．
∏
証明. y ∈ T とすると，f の全射性より f −1 (y) ̸= ∅ である．よって，直積 y∈T f −1 (y)
∏
は空でない．x ∈ y∈T f −1 (y) に対し y-成分への射影 py (x) を考えれば， py (x) ∈
f −1 (y) であるから， f (py (x)) = y となる．
T ∋ y → py (x) ∈ f −1 (y) ⊂ S によって定まる写像を s : T → S とする．f ◦ s = idT
であることは，定義より明らかであり， s の単射性は一般論からわかる．
（ψ ◦ φ が
単射なら φ は単射（5 月 19 日定理 1））
選択公理と同値な命題を紹介する．
定義 2 (帰納的半順序集合). (S, ) を半順序集合とする．S の任意の全順序部分集
合が上界を持つとき， (S, ) を帰納的半順序集合という．
より大きな元が存在しないような元のことを極大元という．つまり，
1
定義 3 (極大元). (S, ) を半順序集合とする．m ∈ S は，
「m
るような x ∈ S 」が存在しないとき極大元であるという．
x かつ m ̸= x とな
次の定理をツォルンの「補題」といい，選択公理と同値であることが知られている．
定理 1 (選択公理 ⇒ ツォルンの補題). 帰納的半順序集合には極大元が存在する．
この定理の証明は難しいので省略する．
（興味のある人は教科書を参照せよ．
）
定理 2 (ツォルンの補題 ⇒ 整列可能定理). S を集合とする．S 上の順序
して， (S, ) は整列集合となる．
が存在
証明. S の部分集合とその上の順序の対 (A, ≤A ) で，整列集合となるもの全体のな
す集合を S とおく．
（同じ部分集合 A でも順序関係 ≤A と ≤′ A が異なっていれば，
もちろん (A, ≤A ) と (A, ≤′ A ) は異なるものとする．
）
S に順序関係を入れて半順序集合にしよう．(A, ≤A ), (B, ≤B ) ∈ S に対して，
(A, ≤A ) = (B, ≤B ), または， (A, ≤A ) が (B, ≤B ) の切片になっているときに限り
(A, ≤A ) ≼ (B, ≤B ) であることにする．ただし， (A, ≤A ) = (B, ≤B ) というのは順
序関係も込めて同じであるということである．
(S, ≼) が半順序集合であることを示そう．
• 反射律：定義より (A, ≤A ) ≼ (A, ≤A ) となるので，反射律は明らかである．
• 推移律：(A, ≤A ) ≼ (B, ≤B ) かつ (B, ≤B ) ≼ (C, ≤C ) と仮定する．(A, ≤A
) = (B, ≤B ) または (B, ≤B ) = (C, ≤C ) のときは，明らかである．(A, ≤A )
が (B, ≤B ) の切片， (B, ≤B ) が (C, ≤C ) の切片だと仮定しよう．これ
は， A = B⟨x⟩, B = C⟨y⟩ となる x ∈ B, y ∈ C が存在するということ
である．切片の定義より， A は B の部分集合であり， ≤A は ≤B を A
に制限したものである．また， B は C の部分集合であり， ≤B は ≤C
を B に制限したものになる．よって， A ⊂ C であり， ≤A は ≤C を A
に制限したものとなっている．また，
A = {u ∈ B | u ≤B x かつ u ̸= x}
B = {v ∈ C | v ≤C y かつ v ̸= y}
だから，
A = {w ∈ C | w ≤C x かつ w ̸= x} = C⟨x⟩
となり， (A, ≤A ) は (C, ≤C ) の切片である．
• 反対称律：(A, ≤A ) ≼ (B, ≤B ) かつ (B, ≤B ) ≼ (A, ≤A ) と仮定する．
(A, ≤A ) = (B, ≤B ) のときは明らかなので，A = B⟨y⟩ かつ B = A⟨x⟩ と
なる x ∈ A, y ∈ B が存在すると仮定する．x ∈ A = B⟨y⟩ より x ≤B y
かつ x ̸= y, また y ∈ B = A⟨x⟩ より y ≤A x かつ y ̸= x となる．A, B
は互いの切片であるから順序関係は同じものを共有しており，これは不
合理である．よって (A, ≤A ) = (B, ≤B ) が成り立つ．
次に (S, ≼) が帰納的であることを示す．
2
(T , ≼) を (S, ≼) の全順序部分集合とする．
∪
U :=
A⊂S
(A,≤A )∈T
とする．U には，整列集合となるような順序 U が入り， (U, U ) が (T , ≤)
の上界となることを示そう．
簡単に言うと，U は切片を「切り口」の大きさの順に並べて，それらをすべて
集めたものである．よって， U が (T , ≤) の上界であることはほぼ明らかであ
る．念のために詳しい証明を与えておく．
• 順序の定義：x, y ∈ U とすると， x ∈ A, y ∈ B となる (A, ≤A ), (B, ≤B
) ∈ T が存在する．(T , ≼) は全順序集合だから， (A, ≤A ) ≼ (B, ≤B ) ま
たは (B, ≤B ) ≼ (A, ≤A ) が成り立つ．A = B のときは， ≤A を使って，
x U y または y U x を定める．A が B の切片のときは ≤B を， B が
A の切片のときは ≤A を使って U を定義する．これで， (U, U ) は半
順序集合となる．
（つまり，A, B どちらか大きい方の順序関係を使って
いる．
）
• 整列集合であること：U ⊃ C ̸= ∅ をとる．そのとき A ∩ C ̸= ∅ となる A
で (A, ≤A ) ∈ T となるものが存在する．A は整列集合だから A ∩ C に
は最小元 m が存在する．m は C の最小元であることを示す．x U m
で x ̸= m となる x ∈ C が存在したとする．すると， x ∈ B となる B
で (B, ≤B ) ∈ T となるものが存在するが， x の取り方により x ∈ B \ A
である（A には m より小さい元は存在しないから）．A, B は全順序集
合 (T , ≼) の元だから，これらは一致するか一方が他方の切片となってい
る．B \ A ̸= ∅ より，B が A に含まれることはないので， A が B の切
片になっているはずである．つまり， A = B⟨y⟩ となる y ∈ B が取れる
はずである．m ∈ A だから， m U y かつ m ̸= y であるが， x U m
より x U y かつ x ̸= y となり， x ∈ B⟨y⟩ = A が得られ不合理である．
よって， (U,
U)
は整列集合になる．
• 上界であること．T の任意の元が U に一致するか， U の切片であるこ
とを言えばよい．A ∈ T を U に一致しないものとする．すると A ⊂ U ,
A ̸= U だから U \ A ̸= ∅ である．z := min(U \ A) とおく（U は整列集
合だから最小元が存在する）．
z ∈ B となる T の元 B を選ぶ．A, B ∈ T であり z ̸∈ A だから A = B⟨b⟩
となる b ∈ B が存在する．
（B が A の切片になることはない．
）
ところで， z = min(U \ A) だから w ∈ U ⟨z⟩ なら w ̸∈ U \ A, つまり，
w ∈ A がわかる．つまり， U ⟨z⟩ ⊂ A である．
また， B ⊂ U , b U z （B は整列集合だから全順序集合となり， z ̸∈ A =
B⟨b⟩ より「z U b かつ z ̸= b」とはならないので）だから B⟨b⟩ ⊂ U ⟨z⟩
である．
よって U ⟨z⟩ ⊂ A = B⟨b⟩ ⊂ U ⟨z⟩ となる．これは A = U ⟨z⟩ ということ
だから， A ≤ U となった．
以上より U は (T , ≤) の上界であることがわかった．
3
以上より (S, ≼) が帰納的半順序集合であることがわかった．よって，ツォルンの補
題より，極大元 (M, ≤M ) が存在する．M = S を示せば証明が終わる．
M ̸= S と仮定し w ∈ S \ M をとる．M ∪ {w} に w が一番大きいような順序
′
≤ M を入れる．つまり，
x≤′ y ⇔ x ≤ y
z≤′ w
(x, y ∈ M のとき),
(z ∈ M のとき)
と定義する．(M ∪ {w}, ≤′ M ) は，明らかに整列集合であり， M = (M ∪ {w})⟨w⟩
だから， M の極大性に反する．
よって M = S となり， S が整列集合であることがわかった．
命題 1 (整列可能定理 ⇒ 選択公理).
∏
証明. {Sλ }λ∈Λ を集合系とする．任意の λ ∈ Λ に対し，Sλ ̸= ∅ であれば λ∈Λ Sλ ̸= ∅
を示せばよい．
(⊔
)
⊔
非交和 λ∈Λ Sλ を考えると，整列可能定理より，順序が存在して
S
,
λ
λ∈Λ
⊔
が整列集合になる．よって， λ∈Λ Sλ の空でない部分集合である Sλ は最小元 min Sλ
を持つ．
⊔
∏
直積 λ∈Λ Sλ の元として，λ-成分が min Sλ であるものを選ぶことにより， λ∈Λ Sλ ̸=
∅ がわかる．
レポート問題
（締切：6 月 24 日（水）13:30．提出先：数学科事務室）
問題 1 (超限帰納法). 超限帰納法とは，次のような論法である．
（証明は教科書参照．
）
(S, ) を整列集合とし， S の各元 x に対し，ある命題 P (x) が対応して
いるとする．
(i). m := min(S) とし， P (m) は真であること．
(ii). x ∈ S （ただし， x ̸= m）が任意に与えられたとする．S の x に
よる切片 S⟨a⟩ の任意の元 y に対して P (y) が真なら， P (x) も真
であること．
以上の (i), (ii) が示されれば，すべての元 x ∈ S に対して P (x) は真と
なる．
超限帰納法をもとにして，数学的帰納法の原理を説明せよ．
問題 2. (S, ≤) を半順序集合とし， S の部分集合で全順序集合となっているもの全
体のなす集合を Σ とする．Σ に包含関係 ⊆ で順序をいれ，半順序集合とみなす．
Σ には極大な全順序集合が存在することを示せ．
4

Download Report