円孔まわりの応力集中

円孔まわりの応力集中
環境建設技術系松本英敏
ある応力分布を受けている平板を考えると、この板に円孔をあけると応力の再分布が行われる。
この際、孔の近傍には大きな応力集中が発生する。いま板が x 方向に一様な圧縮応力 p で圧縮
されていると仮定する。
１．孔が無い場合の応力
σ x = p σ y = τ xy = 0 (1)
これは応力関数
1 2
py (2)
2
から導かれる。 F1 は重調和方程式を満足するので、これは厳密解である。円筒座標の場合
は y = r sin θ であるから
F1 =
F1 =
1 2
1
1 − cos 2θ
pr sin 2 θ = pr 2 (1 − cos 2θ ) (3) sin 2 θ =
2
4
2
また、極座標による応力成分は
σ r1 =
σ θ1 =
τ rθ 1
1 ∂F1 1 ∂ 2 F1
+
(4)
r ∂r r 2 ∂θ 2
∂ 2 F1
(5)
∂r 2
∂  1 ∂F1 
=− 
 (6)
∂r  r ∂θ 
で表される。これより、式(3)を上式に代入すると
1 ∂F1 1 ∂ 2 F1 1
+
= p(1 + cos 2θ )
r ∂r r 2 ∂θ 2
2
∂ 2 F1 1
σ θ1 =
= p(1 − cos 2θ ) (7)
2
∂r 2
∂  1 ∂F1 
1
τ rθ 1 = − 
 = − p sin 2θ
∂r  r ∂θ 
2
σ r1 =
２．孔をあけた場合の応力
半径 a の孔が板にあけられると、境界条件として
r = a のとき σ r = τ rθ = 0
r = ∞ のとき σ r = σ r1 , σ θ = σ θ 1 , τ rθ = τ rθ 1 (8)
F1 の式を参考にして、この場合の応力関数を次のように仮定する。
1
F = f1 (r ) + f 2 (r ) cos 2θ (9)
ここに、 f1 ( r ), f 2 ( r ) は未知 r の関数である。
この関数を極座標の重調和方程式に代入すると
 ∂2 1 ∂
1 ∂ 2  ∂ 2 F 1 ∂F 1 ∂ 2 F 



+
+
 ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2  ∂r 2 + r ∂r + r 2 ∂θ 2  = 0 (10)



その結果の方程式は θ のすべてに対して満足されなければならないから、 f1 ( x), f 2 ( x) は次
の常微分方程式を満足しなければならない。
 d 2 1 d  d 2 f1 1 df1 



 dr 2 + r dr  dr 2 + r dr  = 0 (11)



 d2 1 d
4  d 2 f 2 1 df 2 4 f 2


+
−
 dr 2 r dr r 2  dr 2 + r dr − r 2



 = 0 (12)


式(11)の一般解は
f1 ( r ) = c1r log r + c 2 r + c3 log r + c4
2
2
また式(12)に、 ξ = log r という新変数を導入すると一般解は
f 2 ( r ) = c5 r + c6 r + c7 r
2
4
−2
+ c8
ゆえに式(9)の応力関数は
F = (c1r 2 log r + c 2 r 2 + c3 log r + c 4 ) + (c5 r 2 + c6 r 4 + c7 r −2 + c8 ) cos 2θ (13)
これに対する応力成分は式(7)に代入すると
6c7 4c8 

−
2
c
+
+ 2  cos 2θ (14)

5
r2 
r4
r 
6c 
c

σ θ = c1 (3 + 2 log r ) + 2c 2 − 32 +  2c5 + 12c6 r 2 + 47  cos 2θ (15)
r
r 

6c
2c 

τ rθ =  2c5 + 6c6 r 2 − 47 − 28  sin 2θ (16)
r
r 

r → ∞ の場合 σ r , σ θ , τ rθ はすべて有限でなければならないから
c1 = c6 = 0 (17)
σ r = c1 (1 + 2 log r ) + 2c 2 +
c3
r = a 、 r = ∞ において、式(8)の境界条件を代入すると
2c 2 +
c3
a
2c 5 = −
2
= 0 2c5 +
6c7
a
4
+
4c8
a
2
= 0 2c5 −
p
p
2c 2 =
2
2
これらの式を解くと
2
6c 7
a
4
−
2c 8
a2
=0
c2 =
p
a2
p
c3 = −
p c5 = −
4
4
2
c7 = −
a4
a2
p c8 =
p (18)
4
2
それゆえ応力の成分は式(17),(18)を式(14)∼(16)に代入することにより
σr =
p  a2
1 −
2  r 2
σθ =
p  a 2  p  3a 4 
1 +
 − 1 +
 cos 2θ (19)
2 
r 2  2 
r 4 
τ rθ = −
 p  3a 4 4a 2
 + 1 +
− 2
4
 2
r
r



 cos 2θ


p  3a 4 2a 2 
1 −
+ 2  sin 2θ
2 
r4
r 
上式より r = a では
σ r = 0 τ rθ = 0 σ θ = p(1 − 2 cos 2θ )
これより微分して 0 とおけば、 θ および最大応力 σ θ は
θ = ± π σ θ = 3 p (20)
2
一方、
θ = 0 σ θ = − p (21)
また、 θ = ± π 2 においては
 1 a2 3 a4 
 (22)
σ r = 0 τ rθ = 0 σ θ = p1 +
+
2
4 
2
2
r
r


いま、 a r の値を変化させたときの σ θ の値を算出すると以下のようになる。
r a
1
2
3
∞
σθ
3p
1.22 p
1.07 p
p
したがって、応力集中は孔の近傍において生じることがわかる。
３．孔をあけた場合の変位
2 次元応力状態の Hook の法則より、径方向変位 u r 、周方向変位 uθ は
εr =
∂u r 1
= (σ r − νσ θ ) (23)
∂r
E
u r 1 ∂uθ
1
+
= (σ θ − νσ r ) (24)
r r ∂θ
E
そこで、径方向ひずみ ε r は式(19)を式(23)に代入して
εθ =
3
p  a 2
εr =
1 −
2 E  r 2
εr =
  3a 4 4a 2
 + 1 +
− 2
 
r4
r
 

 a 2   3a 4
 cos 2θ − ν 1 +
 + ν 1 +
2 



r
r4


 
∂u r
p (1 + ν )  1 − ν 2
3a 4 4a 2
2  2

r
a
r
=
−
+
+
−



∂r
2 Er 2  1 + ν
r 2 1 +ν
 


 cos 2θ 





 cos 2θ  (25)



距離 r で積分すると、中心からの絶対変位が求まり
ur =

p 
a2  
a 4 4a 4 
a2  
a4







θ
ν
ν
+
+
−
+
cos
2
−
−
r
r
r
+
r
−


2 E 
r  
r 
r  
r3
r3



 cos 2θ 




 2
p 
a4
2
2
2

ur =
(1 − ν )r + a (1 + ν ) +  r (1 + ν ) − 2 (1 + ν ) + 4a  cos 2θ 
2 Er 
r



ur =

 4a 2
a4 
p (1 + ν ) 1 − ν 2
2
2

 cos 2θ  (26)
r
a
r
+
+
+
−

2
1+ν
2 Er 1 + ν
r 


一方、周方向ひずみ ε θ は式(24)から
εθ =
 2 3a 4 4a 2
p(1 + ν ) 1 − ν 2
2
r +
r
a
+
−
−

2

1 +ν
r
2 Er 2 1 + ν

uθ は式(24)を変形して、


 cos 2θ  (27)



∂uθ
r
= (σ θ − νσ r ) − u r = ε θ r − u r となり
∂θ
E
∂uθ
pr  a 2   3a 4
=
1 + 2  − 1 + 4
∂θ
2 E 
r  
r

 a2
 cos 2θ − ν 1 −

 r2



  3a 4 4a 2 
 − ν 1 +
 cos 2θ  − u r
−
 
r4
r 2 

 
式(26)の u r を代入して θ で積分すると、正弦項以外は消えて
uθ = −
p 
2a 4  sin 2θ
2
2
(1 − ν )4a + (1 + ν )2r + (1 + ν ) 2 
2 Er 
r  2
uθ = −
p (1 + ν ) 1 − ν 2
a4 
2
a
r
2
+
+

 sin 2θ (28)
2 Er 1 + ν
r2 
実験での変位は、中心からの距離 r におけるひずみを計測していることになり、理論解は式
(25),(27)から求める。
４．課題
地表面下 h = 100m の深度に、直径 d = 2m の円形トンネルを水平に開削した場合を考える。
このときのトンネルの周囲における応力分布を求め、グラフに描きなさい。ただし、地盤の
単位体積重量は γ = 2.6 × 10 3 [ kg / m 3 ] 、ヤング率は E = 50[Gpa ] 、ポワソン比はν = 0.3
4
であり、岩盤の初期応力状態は h = 100m 地点では一様と考え、水平面内の主垂直ひずみは
拘束され、垂直応力は等しいと考える。
p = −γh = −2.6 × 100 = −260ton / m 2
ν
0.3
γh = −
2.6 × 100 = −111.43ton / m 2
1 −ν
1 − 0.3
式(19)に代入すると、 p, q が同時に作用する場合の応力は
q = −λγh = −
σr =
p + q  a 2  p − q  3a 4 4a 2
1 −
−
1 +
− 2
2  r 2 
2 
r4
r
σθ =
p + q  a 2  p − q  3a 4 
1 +
+
1 +
 cos 2θ (29)
2  r 2 
2 
r 4 
τ rθ = −

 cos 2θ


p − q  3a 4 2a 2 
1 −
+ 2  sin 2θ
2 
r4
r 
20
をプロットしたのが右図である。円孔で最大圧
15
縮応力が発生しているのが判る。
[Program]
C
C
C
C
**********************************
*
円孔の応力集中ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑ
*
*
by Matchy
h14.5.14
*
**********************************
PARAMETER(M=100)
DIMENSION SR(M),SS(M),TRS(M)
DATA PI/3.1415926/,SIT/0./
距離 (m)
そこで、 θ = 0 として円孔から 20m までの σ θ
10
5
-800
-600
-400
-200
最大圧縮応力 (ton/m 2)
C
OPEN(1,FILE='STRESS.IN ',STATUS='OLD')
OPEN(2,FILE='STRESS.OUT',STATUS='UNKNOWN')
C
READ(1,*) H,R,A,POI
CLOSE(1)
C
RAD=180./PI
N=INT(H+0.5)-1
P=-R*H
Q=-POI*R*H/(1.-POI)
PQP=P+Q
PQM=P-Q
C
DO 10 I=1,N
AR=A/REAL(I+1)
AR2=AR**2
AR4=AR**4
SR(I)=0.5*(PQP*(1.-AR2)-PQM*(1.+3.*AR4-4.*AR2)*COS(2.*SIT/RAD))
SS(I)=0.5*(PQP*(1.+AR2)+PQM*(1.+3.*AR4)*COS(2.*SIT/RAD))
TRS(I)=-0.5*(PQM*(1.-3*AR4+2.*AR2)*SIN(2.*SIT/RAD))
10 CONTINUE
C
WRITE(2,'(2F10.3)') (SS(I),REAL(I+1),I=1,N)
CLOSE(2)
STOP
END
5
0

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