区分的に連続な関数の積分 2 >

2010 年度「数学 8」
−5−
< 区分的に連続な関数の積分 2 >
例1
f (t) = [t](t を超えない最大整数）
Z 2
のとき
f (t)dt を求めたい。
0
0 5 t 5 1 の範囲で f (t) を連続化した関数を
(0 5 t 5 1) だから
f˜1 (t) とおくと f˜1 (t) = 0
前ページの定理より
Z 1
Z 1
Z
f˜1 (t)dt =
f (t)dt =
0
0
1
0dt = 0
0
である。また 1 5 t 5 2 の範囲で f (t) を連続化した関数を f˜2 (t)
とおくと f˜2 (t) = 1 (1 5 t 5 2) だから前ページの定理より
Z 2
Z 2
Z 2
˜
f (t)dt =
1dt = 1
f2 (t)dt =
1
1
である。よって
Z 2
Z
f (t)dt =
0
(注 1) この例を
Z
1
1
f (t)dt +
0
Z
2
f (t)dt =
0
例2
Z
2
f (t)dt = 0 + 1 = 1
1
1
0dt +
0
Z
2
1dt = 1 と考えても良い。
1
f (t) が周期 2π の周期関数で、
−π 5 t 5 π のとき
⎧
⎨ −π
f (t) =
⎩ t
:
t=π
:
−π 5 t < π
とする。（右図参照）この f (t) は奇関数ではない。しかし
f (t) を −π 5 t 5 π の範囲で連続化した関数を f˜(t) とおくと
f˜(t) = t(−π 5 t 5 π) となる。f˜(t) は奇関数である。
前ページの定理より、−π 5 t 5 π の範囲での積分は次のように計算できる。
Z
π
f (t)dt =
−π
Z
Z
π
−π
π
f (t) sin tdt =
−π
(注 2) 例 2 の途中式を
f˜(t)dt =
Z
π
Z
π
tdt = 0
−π
f˜(t) sin tdt =
−π
Z
π
−π
f (t)dt =
Z
π
t sin tdt = 2
−π
Z
π
−π
tdt,
Z
Z
π
t sin tdt = 2π
0
π
−π
f (t) sin tdt =
Z
π
−π
t sin tdt と略しても良い。

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