(1) (a + b) - FC2

第１章章末問題ＡＢ
(2)
x−y y−z z−x
+
+
xy
yz
zx
z(x − y) + x(y − z) + y(z − x)
=
xyz
0
=
xyz
= 0
K. KIYOSI
１次の (1) の式を展開せよ．また，(2) の式を
計算せよ．
解答
(1)
(a + b)2 (a2 − ab + b2 )2
= {(a + b)(a2 − ab + b2 )}2
４次の等式が x についての恒等式となるよう
に，定数 a, b, c の値を定めよ．
(1) x3 = (x − 1)3 + a(x − 1)2 + b(x − 1) + c
3
a
bx + c
(2) 2
=
+ 2
x +1
x+1 x −x+1
= (a3 − b3 )2
= a6 − 2a3 b3 + b6
(2)
解答
(1) x = 1 を両辺に代入して c = 1
x = 0 を両辺に代入して 0 = −1 + a − b + c
x = 2 を両辺に代入して 8 = 1 + a + b + c
これを解いて，a = 3, b = 3, c = 1
(n + 1)3 − n3
= n3 + 3n2 + 3n + 1 − n3
= 3n2 + 3n + 1
(2) 右辺の分数式を計算すると
3
a
bx + c
=
+
x2 + 1
x + 1 x2 − x + 1
a(x2 − x + 1) + (bx + c)(x + 1)
3
=
x3 + 1
x3 + 1
2
3
(a + b)x + (−a + b + c)x + a + c
=
3
x +1
x3 + 1
両辺に x3 + 1 をかけて
3 = (a + b)x2 + (−a + b + c)x + (a + c)
係数を比較して
a + b = 0, −a + b + c = 0, a + c = 3
これを解いて，a = 1, b = −1, c = 2.
２授業で解説します．
３次の式を計算せよ．
(1)
1
2
− 2
−x x −1
1
2
−
x(x − 1) (x − 1)(x + 1)
x + 1 − 2x
x(x − 1)(x + 1)
x+1
x(x − 1)(x + 1)
1
x(x − 1)
x2
=
=
=
=
http://kiyosihp.web.fc2.com/shyou1.pdf
http://kiyosi38.blog.fc2.com.
1
2
K. KIYOSI
５次の等式を証明せよ．
(
1
1 )2
(1) x2 + 2 = x +
−2
x
x
(
)
(
1
1 3
1)
(2) x3 + 3 = x +
−3 x+
x
x
x
証明 (2)
左辺ー右辺
= a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
1
(2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca)
=
2
1 2
=
(a − 2ab + b2 + b2 − 2bc + c2
2
+c2 − 2ca + a2 )
1
=
{(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 } 0
2
Q.E.D.
証明 (1)
右辺
(
1 )2
= x+
−2
x
1
1
= x2 + 2 · x · + 2 − 2
x x
1
2
= x + 2
x
= 左辺
Q.E.D.
証明 (2)
右辺
(
(
1 )3
1)
= x+
−3 x+
x
x
1
1
3
3
2 1
= x + 3x · + 3x · 2 + 3 − 3x −
x
x
x
x
3
3
3
= x3 + 3x + + 3 − 3x −
x x
x
1
3
= x + 3
x
= 左辺
７ a > 0, b > 0 のとき，次の不等式を証明せ
よ．
9
(1) ab +
6
ab
1
4
(2) (a + )(b + ) 9
b
a
証明 (1)
9
> 0 より
ab √
9
9
ab +
2 ab ·
=6
ab
ab
9
等号は ab =
すなわち a2 b2 = 9 すなわち ab = 3
ab
のとき成り立つ．
Q.E.D.
ab > 0,
Q.E.D.
６次の等式，不等式を証明せよ．
(1) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 2(a2 + b2 +
c2 − ab − bc − ca)
(2) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
証明 (1)
左辺
= (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
= a2 − 2ab + b2 + b2 − 2bc + c2
+c2 − 2ca + a2
= 2(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
= 右辺
Q.E.D.
証明 (2)
(
1 )(
4)
4
4
a+
b+
= ab + 4 + 1 +
= ab +
+5
b
a
ab
ab
4
ab > 0,
> 0 より
ab √
4
4
ab +
2 ab ·
=4
ab
ab
(
4)
4
1 )(
b+
= ab +
+5 4+5=9
a+
b
a
ab
したがって
(
1 )(
4)
a+
b+
9
b
a
4
等号は ab =
のとき，すなわち ab = 2 のとき
ab
成立する．
Q.E.D.
第１章章末問題ＡＢ
８ (1) 8x3 − 12x2 y + 6xy 2 − y 3 を因数分解せよ．
(2) x3 + y 3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) であること
を用いて，x3 + y 3 + z 3 − 3xyz を因数分解せよ．
解答 (1)
3
１０次の式を計算せよ．
1
1
1
+
+
1 − x 1 + x 1 + x2
解答
8x3 − 12x2 y + 6xy 2 − y 3
= (2x)3 − 3(2x)2 y + 3(2x)y 2 − y 3
= (2x − y)3
=
(2)
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz
= (x + y)3 − 3xy(x + y) + z 3 − 3xyz
= {(x + y)3 + z 3 } − 3xy(x + y) − 3xyz
[{ } の中に再び公式を使う]
=
= [{(x + y) + z}3 − 3(x + y)z((x + y) + z)]
−3xy(x + y) − 3xyz
=
= (x + y + z)3 − 3(x + y)z(x + y + z)
−3xy(x + y + z)
[x + y + z を共通因数としてくくる]
=
1
1
1
+
+
1 − x 1 + x 1 + x2
(1 + x)(1 + x2 )
(1 − x)(1 + x)(1 + x2 )
(1 − x)(1 + x2 )
+
(1 − x)(1 + x)(1 + x2 )
(1 − x)(1 + x)
+
(1 − x)(1 + x)(1 + x2 )
1 + x2 + x + x3 + 1 + x2 − x − x3 + 2 − 2x
(1 − x)(1 + x)(1 + x2 )
4
(1 − x)(1 + x)(1 + x2 )
4
1 − x4
= (x + y + z){(x + y + z)2 − 3z(x + y) − 3xy}
= (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx
−3zx − 3yz − 3xy)
= (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx)
９二項定理を用いて，次の不等式が成り立つこ
とを示せ．
(1 +
1 n
) >2
n
解答
１１ a は定数とする．x についての整式
A = x3 + ax2 + 2x + 1 を x2 + x − 2 で割ると，
余りが 2x + 5 となるように，a の値を定めよ．ま
た，そのときの商を求めよ．
解答
３次式を２次式で割るので，商は１次式で，x3 の
項の係数を考えれば，x + b とおける．
等式 A = BQ + R（ｐ１６）から
x3 + ax2 + 2x + 1 = (x2 + x − 2)(x + b) + 2x + 5
1
1
1
1
(1+ )n =n C0 +n C1 +n C2 ( )2 +· · ·+n Cn ( )n
n
n
n
n
n C0
+n C1
1
1
=1+n· =1+1=2
n
n
1 n
1
1
) = 2 +n C2 ( )2 + · · · +n Cn ( )n
n
n
n
したがって
1
(1 + )n > 2
n
(1 +
が成り立つ．右辺を展開して整理して係数を比較
する．
x3 + ax2 + 2x + 1 = x3 + (b + 1)x2 + bx − 2b + 5
から，a = b + 1，2 = b，1 = −2b + 5 を連立方
程式として解くと．a = 3，b = 2 を得る．これ
は，３つの式を満たすから，a の値は a = 3，商
は x + 2．
4
K. KIYOSI
１２等式 (k + 2)x + (k + 1)y − 3k − 4 = 0 が
k のどのような値に対しても成り立つように，x，
y の値を定めよ．
解答
与えられた式が k についての項等式になればよ
い．与えられた式を k について整理すると
(x + y − 3)k + 2x + y − 4 = 0
係数を比較して，x + y − 3 = 0，2x + y − 4 = 0 を
連立方程式として解いて，x = 1，y = 2 を得る．
x
y
z
= = = 2 のとき，次の値を求めよ．
a
b
c
x+y+z
x2 + y 2 + z 2
(1)
(2) 2
a+b+c
a + b2 + c2
１３いっぽう，
1
1
1
− 2ab = − 2a(1 − a) = 2(a − )2 > 0
2
2
2
1
よって > 2ab
2
以上により
1
a2 + b2 > > 2ab
2
問題次の相加平均，相乗平均を用いた不等式の
証明で (1) は正しく (2) は誤りである．何故か．
ただし．a > 0, b > 0
1 1
(1) (a + b)( + ) 4 (補充問題８)
a b
1
4
(2) (a + )(b + ) 9 (章末問題７ (2))
b
a
証明 (1)
解答
与えられた条件より x = 2a，y = 2b，z = 2c と
表せる．これらを (1), (2) に代入する．
(1)
x+y+z
a+b+c
2a + 2b + 2c
=
a+b+c
2(a + b + c)
=
a+b+c
=2
(2)
x2 + y 2 + z 2
a2 + b2 + c2
(2a)2 + (2b)2 + (2c)2
=
a2 + b2 + c2
2
4a + 4b2 + 4c2
=
a2 + b2 + c2
4(a2 + b2 + c2 )
=
a2 + b2 + c2
=4
１４ a > b > 0，a + b = 1 のとき，次の数を大
きい順に並べよ．
1
,
2
2ab,
a2 + b2
解答
a + b = 1 より b = 1 − a > 0 また，a > b > 0 よ
1
り a > 1 − a したがって， < a < 1
2
また，
1
1
1
a2 + b2 − = a2 + (1 − a)2 − = 2(a − )2 > 0
2
2
2
1
よって a2 + b2 >
2
1
1
> 0, > 0 より，
a
b
√
(a + b)
2 ab · · · (1)
√
1
1 1
2
· · · (2)
( + )
a b
ab
(1), (2) の辺辺をかけて
√
√
1 1
1
2 ab × 2
(a + b)( + )
a b
ab
1 1
(a + b)( + )
4
a b
Q.E.D.
a > 0, b > 0,
証明 (2) (1) と同様に
1
1
a > 0, b > 0,
> 0, > 0 より，
a
b
√
1
a
a+
2
· · · (3)
b
b
√
4
4b
b+
2
· · · (4)
a
a
(3), (4) の辺辺をかけて
√
√
1
4
a
4b
(a + )(b + )
2
×2
b
a
b
a
1
4
(a + )(b + )
8
b
a
Q.E.D.
解答
解答を書くにはこの余白は狭すぎる．

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