2007 東北大学（理系）前期日程
１
解答解説
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2
2
2
2
(1) x を x - 6x - 12 で割ると, x = ( x - 6x - 12 ) × 1 + ( 6x + 12 ) より,
a 2 = 6 , b2 = 12
n
(2) x を x 2 - 6x - 12 で割った商を q n ( x ) とおくと, 条件より,
x n = ( x 2 - 6x - 12 ) q n ( x ) + ( a n x + bn )
すると, x n +1 = x ( x 2 - 6x - 12 ) q n ( x ) + ( a n x 2 + bn x )
{
}
= x ( x 2 - 6x - 12 ) q n ( x ) + a n ( x 2 - 6x - 12 ) + ( 6x + 12 ) + bn x
= ( x - 6x - 12 ) { xq n ( x ) + a n } + ( 6a n + bn ) x + 12a n
2
ここで, x n +1 を x 2 - 6x - 12 で割った余りが a n +1 x + bn +1 より,
a n +1 = 6a n + bn , bn +1 = 12a n ………(＊)
(3) (1)より a 2 = 6 , b2 = 12 なので, (＊)から, 帰納的に a n と bn はともに 6 の倍数で
あり, 素数の公約数として, 2 と 3 をもつ。
さて, a n と bn が 5 以上の素数 m を公約数としてもつとき, k, l を整数として,
an = m × k , bn = m × l
(＊)から, 6an -1 + bn -1 = m × k , 12an -1 = m × l
22 × 3an -1 = m × l , 2bn -1 = m ( 2k - l )
m≧5 より, an -1 と bn -1 は素数 m を公約数としてもつ。
すると, 帰納的に, a 2 と b2 は素数 m を公約数としてもつことになるが, これは
a 2 = 6 , b2 = 12 に反する。
以上より, a n と bn の公約数で素数となるものは 2 と 3 のみである。
［解 説］
(3)では, 記述はしていませんが, a 3 と b3 も計算をして結論を推測しています。そ
の後, 簡略に書きましたが, 帰納法を用いて証明をしています。
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２
解答解説
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(1) 条件より, sin q = 3 , cos q = 4 より,
A
2 5
2 5
sin q = 2 sin q cos q = 24
2
2 25
C
D
5
p
p
B
(2) sin p = sin
+
= sin p cos p + cos p sin p
12
6 4
6
4
6
4
= 1 × 2 + 3 × 2 = 2 (1 + 3 )
4
2 2
2
2
1
.
414
＞
( 1 + 1.732 )＞0.96 = 24
4
25
p
ここで, 関数 f ( q ) = sin q は 0＜q ＜ において単調に増加し, sin q ＜sin 5 p と
2
12
5
なることから, q ＜ p である。
12
(
)
［解 説］
数値計算はあるものの, さほど面倒でもなく, あっさりと解決する問題です。
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３
(1)
解答解説
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f ( x ) = 1n - log x - 1 とおくと, f ¢( x ) = - nn+1 - 1
e
x
x
x
x＞0 において, f ¢( x )＜0 より, f ( x ) は単調に減少し,
(
1
)
f ( 1 ) = 1 - 1 ＞0 , f e n = 1 - 1 - 1 = - 1 ＜0
e n e
n
e
よって, f ( x ) = 0 は x≧1 にただ 1 つの解をもつ。
1
1
(2) (1)より, 1＜x n＜e n となり, lim e n = 1 から,
n ®¥
lim x n = 1
n ®¥
［解 説］
(1)では, lim f ( x ) = −∞より結論が導けますが, (2)につながりません。そこで,
n®¥
1
f ( x ) の式を眺めて, x = e n のときの値を計算しました。
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４
解答解説
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(1) O ( 0, 0 ) , A ( 4, 0 ) , B ( 4, 4 ) , C ( 0, 4 ) , P ( 1, 2 ) と
おき, l の長さを L とする。
y
4
まず, 点 P を通る直線が, x = 1 のとき L = 4 である。
2
次に, 点 P を通る直線は, その傾きを m とすると,
C
B
P
A
y - 2 = m ( x - 1 ) , y = mx - m + 2 ………(＊)
また, (＊)と辺 OA の交点は, 0 = mx - m + 2 , x = m - 2 ,
m
(＊)と辺 BC の交点は, 4 = mx - m + 2 , x = m + 2 である。
m
O
4
1
x
さて, 点 P は, 辺 OA, BC から等距離にあるので, 対称性より m≧0 で考える。
(i) 0 ≦ m＜ 2 のとき
3
L = ( 4 - 0 ) 1 + m2 = 4 1 + m2
よって, m が増加すると, L は単調に増加する。
(ii) 2 ≦ m＜2 のとき
3
(
L = m+2 -0
m
ここで, f ( m ) =
f ¢( m ) =
=
=
)
1 + m2 =
( m + 2 )2 ( 1 + m 2 )
m2
( m + 2 )2 (1 + m 2 )
とおくと,
m2
{ 2 ( m + 2 )( 1 + m 2 ) + ( m + 2 ) 2 × 2m }m 2 - ( m + 2 ) 2 ( 1 + m 2 ) × 2m
m4
2 ( m + 2 ) { ( 1 + m 2 + m 2 + 2m ) m - ( m + 2 )( 1 + m 2 ) }
m3
3
2 ( m + 2 )( m - 2 )
m3
すると, f ( m ) の増減は右表のようにな
3
り, L は m = 2 において極小値をとる。
m
f ¢( m )
f (m)
(iii) m ≧ 2 のとき
(
L = m+2 - m-2
m
m
)
1 + m2 = 4
2
3
…
−
208
9
3
2
…
0
＋
2
20
1 +1
m2
よって, m が増加すると, L は単調に減少する。
(i)∼(iii)より, L は m = 2 , m = 2 において連続なので, m = 2 のとき最大となる。
3
3
さらに, m＜0 のときについても考え合わせると, m = ± 2 のとき, L は最大値
3
208 = 4 13 をとる。このとき, 直線の方程式は,
9
3
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解答解説
y= 2x+4, y=-2x+8
3
3
3
3
(2) まず, m = 0 のとき, 点 P を通る直線は y = 2 となり, このとき L = 4 である。
また, m→∞のとき L→4 となり, これは, 点 P を通る直線が x = 1 のとき, L = 4
であることに対応する。
( 3 2 + 2 )2 ( 1 + 3 4 )
さて, f ( 3 2 ) - 4 2 =
- 16 = ( 3 4 + 4 3 2 + 4 ) 1 + 31 - 16
3
4
4
= ( 3 4 + 4 3 2 + 4 ) + ( 1 + 2 3 4 + 2 3 2 ) - 16 = 3 3 4 + 6 3 2 - 11
(
)
= 3 ( 3 2 + 1 )2 - 14
ここで, 2＞125 から, 3 2 ＞ 5 となり,
4
64
2
3
2
9
- 14 = 19 ＞0
3 ( 2 + 1 ) - 14＞3 ´
4
16
( )
よって, f ( 3 2 )＞4 2 となるので, 点 P を通る直線が y = 2 または x = 1 のとき, L
は最小値 4 をとる。
［解 説］
対称性に気付くと, 場合分けが半減しますが, それでもかなりの計算量です。特に,
(2)の詰めには時間を費やしてしまいます。なお, 上の解では, 一般的に直線上の 2 点
( x1 , mx1 + n ) , ( x 2 , mx 2 + n ) の距離が x1 - x 2
1 + m2 であることを, 説明なしで
用いています。
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５
解答解説
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点 ( 1, 0, 1 ) と点 ( 1, 0, 2 ) を結ぶ線分 l を, z 軸のまわりに 1 回転してできる円筒
形 A の方程式は,
x 2 + y2 = 1 , 1 ≦ z ≦ 2
ここで, 円筒形 A を x 軸に垂直な平面 x = t ( - 1 ≦t ≦1 ) で切断すると, その切り口
z
は線分となり,
2
2
t + y =1 , 1≦ z ≦2
y = ± 1 - t2 , 1 ≦ z ≦ 2
2
1
ここで, この 2 本の線分を x 軸のまわりに 1 回転して
y
できるドーナツ状の図形について, その外径を R, 内径
を r とおき, その面積を S ( t ) とすると,
S ( t ) = pR 2 - pr 2
=p
{(
1 - t2
-
)2 + 22 }- p {(
1 - t2
1- t
2
1- t
2
)2 + 12 }
= p ( 5 - t 2 ) - p ( 2 - t 2 ) = 3p
よって, A を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V とおくと,
V =
ò
1
-1
S ( t ) dt =
ò
1
-1
3p dt = 6p
［解 説］
立体を回転してできる回転体の求積という, 2 代前の課程のころ, よく出題された
問題です。回転軸に垂直な断面積を考えるのがポイントです。なお, 円柱側面の方程
式については, 「ピンポイントレクチャー」を参照してください。
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６
(1)
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I0( a ) =
1 + x dx = 2 ( 1 + x
3
0
-3
2
a ®¥
In ( a ) =
ò
a
0
3
)2
[
a
ò
lim a
(2)
解答解説
]
a
= 2 { (1 +
3
0
3
{(
3
3
[
x n 1 + x dx = 2 x n ( 1 + x ) 2
3
= 2 an (1 +
3
- 2n
3
ò
a
- 1 } より,
)2 - ( 1a )2 } = 32
I 0 ( a ) = 2 lim 1 + a
a
3 a ®¥
3
a )2
3
a )2
]
a
0
- 2n
3
ò
a
0
3
x n -1 ( 1 + x ) 2 dx
x n -1 ( 1 + x ) 1 + x dx
0
3
= 2 a n ( 1 + a ) 2 - 2 n { I n -1 ( a ) + I n ( a ) }
3
3
3
すると, 3 + 2n I n ( a ) = 2 a n ( 1 + a ) 2 - 2 nI n -1 ( a ) より,
3
3
3
In ( a ) =
2 a - 2 ( 1 + a ) 2 - 2n a - ( 2 + n )I n -1 ( a )
3 + 2n
3 + 2n
3
1 + a 2 - 2n × I n -1 ( a ) ………(＊)
= 2
3 +n
3 + 2n a
3 + 2n
a2
さて, 0 ≦ x ≦ a において, f ( x ) = x n 1 + x は単調に増加することより,
(3) a
(
- 3 +n
2
)
3
2 a n ( 1 + a ) 2 - 2n I ( a )
n -1
3 + 2n
3 + 2n
3
In ( a ) =
3
(
3
)
0 ≦ x n 1 + x ≦ an 1 + a
これより, 0 ≦
ò
a
0
x n 1 + x dx ≦
ò
0
0 ≦ I n -1 ( a ) ≦ a n 1 + a
I (a)
すると, 0 ≦ n -31
≦ 1 +3a =
+n
a
a2
よって, (＊)から, lim a
a ®¥
(
- 3 +n
2
)
a
a n 1 + a dx = a n +1 1 + a となり,
1 + 1 となり, a→∞のとき I n -1 ( a ) ® 0
3 +n
a3 a 2
a2
In( a ) =
2
3 + 2n
［解 説］
(3)は(2)の漸化式を誘導として考えるのが筋でしょうが，この式を変形する方法は
思いつきません。そこで, 直接的に I n ( a ) を評価し, lim a
が, うまくいきません。ただ, lim a
a ®¥
(
- 3 +n
2
)
a ®¥
(
- 3 +n
2
)
I n ( a ) を考えました
I n -1 ( a ) であれば極限値が求まるという発
見は, その直後でした。
−7−
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