2004 東北大学（理系）前期日程
１
(1)
(2)
解答解説
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2
b = 1 , b-a = b
2
1 - 2a × b + 1 = 1 , a × b = 1
2
2
2
a =1,
ここで,
ka + lb
よって,
ka + lb
ka + lb
2
2
= k2 a
2
2
- 2a × b + a
+ 2kl a × b + l 2 b
2
2
= 1 より,
2
= k 2 + kl + 1 l 2
2
が整数である条件は, 1 l 2 が整数すなわち l が偶数である。
2
2
2
= 0 より, k + kl + 1 l = 0 ………(＊)
2
2
(1)より, l は偶数なので, n を整数として, l = 2n とおくと, (＊)から,
k 2 + 2kn + 2n 2 = 0 , ( k + n ) 2 + n 2 = 0
よって, k + n = n = 0 すなわち ( k, n ) = ( 0, 0 ) より, ( k, l ) = ( 0, 0 )
2
(3) F = ka + lb = k 2 + kl + 1 l 2 とおくと,
2
(i) l が偶数 ( l = 2n ) のとき
F = ( k + n ) 2 + n 2 となり, ( k, n ) ¹ ( 0, 0 ) より, F の最小値は 1 である。
(ii) l が奇数 ( l = 2n + 1 ) のとき
(
F = k 2 + k ( 2n + 1 ) + 1 ( 2n + 1 ) 2 = k + 2n + 1
2
2
)2 + ( 2n 4+ 1 )
2
k は整数より, k = -n - 1 または k = -n のとき, F は最小となり,
2
( 2n + 1 ) 2
F = ±1 +
2
4
n は整数より, n = 0 または n = -1 のとき, F は最小値 1 + 1 = 1 をとる。
4 4 2
1
(i)(ii)より, F の最小値は である。このとき, ( k, l ) = ( k, 2n + 1 ) の組は,
2
( k, l ) = ( - 1, 1 ), ( 0, 1 ), ( 0, - 1 ), ( 1, - 1 )
(
)
［解 説］
(3)は, いわゆる 1 文字固定の考え方で, 最小値を求めています。
−1−
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２
解答解説
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(1) C1 : x = 15 t 4 , y = -3t 5 + 5t 3 より,
2
dx = 30t 3
dt
dy
= -15t 4 + 15t 2 = -15t 2 ( t + 1 )( t - 1 )
dt
C1 と x 軸で囲まれる図形の面積 S は,
S=
125
6
ò
0
= 30
y dx =
5
3
ò
0
[
5
3
ò
0
( - 3t 5 + 5t 3 ) × 30t 3 dt
t
0
…
dx
dt
0
＋
x
0
dy
dt
0
y
0
1
…
5
3
＋
15
2
125
6
0
＋
−
2
0
( - 3t 8 + 5t 6 ) dt
9
]
7
= 30 - t + 5 × t
3
7
0
5
3
= 30
(
5
3
)7 ( - 13 × 53 + 75 ) = 12500
567
5
3
(2) まず, C1 上における道のりを l1 とすると,
dx 2 + dy 2 = ( 30t 3 ) 2 + ( - 15t 4 + 15t 2 ) 2 = 15 2 t 4 ( t 2 + 1 ) 2
dt
dt
(
) (
l1 =
5
3
ò
)
0
(
= 15 9
5
5 +9
3 5
5
3
5
3
ò
15 2 t 4 ( t 2 + 1 ) 2 dt =
0
) = 50
3
[
5
3
15t 2 ( t 2 + 1 ) dt = 15 t + t
5
3
]
0
5
3
5
3
次に, C 2 上における道のりを l2 とすると,
( (
dx = 125 × 3 cos 2 2p - t +
6
dt
( (
= 125p cos 2 2p - t +
) ) × { - 2p cos ( 2p ( - t +
( (
5
3
) ) × cos ( 2p ( - t +
5 +1
3 4
5
3
ò
( (
125 2 p 2 sin 2 2p - t +
(
ò
0
= 125
4
ò
0
) )}
))
) ) × cos 2 ( 2p ( - t +
) ) × cos2 ( 2p ( - t +
5
3
5
3
))
) ) dt
)
125p
-p
2
5
3
5 = q とおくと,
3
ここで, 2p - t +
-p
2
5
3
5
3
5
3
) )}
))
5
3
2
dy 2
( dx
)
) = 125 2 p 2 sin 2 ( 2p ( - t +
+(
dt
dt
これより,
5
3
5
3
( (
= -125p sin 2 2p - t +
l2 =
) ) × sin ( 2p ( - t +
5
3
dy 125
=
× 3 sin 2 2p - t +
dt
6
l2 =
) ) × { 2p sin ( 2p ( - t +
5
3
(
)
sin 2q cos2q - 1 dq = 125
2p
2
[
sin 2q dq = - 125 cos 2q
8
−2−
]
-p
2
0
ò
-p
2
0
sin q cosq dq
= 125
4
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さらに, C3 は x = 0 より y 軸を表し,
(
)
解答解説
5 + 1 ≦ t ≦ 2 のとき, y 軸上での線分の
3 4
両端の座標は 0, - 125 と ( 0, 0 ) である。その道のりを l3 とすると,
6
l3 = 0 - - 125 = 125
6
6
(
)
以上より, l1 + l2 + l3 = 50
3
5 + 125 + 125 = 50
3
4
6
3
5 + 625
3
12
［解 説］
丁寧に計算を進めるだけの問題ですが, 見かけに圧倒され, 後回しにしたくなりま
す。
−3−
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３
解答解説
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1
等差数列 x 0 , x 1 , L , x n の公差は 1 , 等比数列 y0 , y1 , L , yn の公比は 2 n より,
n
k
x k = 1 + k , yk = 2 n
n
n
x + x2 + L + xn
すると, P ( n ) = 1
= 1 å 1 + k より,
n
n k =1
n
(
lim P ( n ) =
n ®¥
R(n ) =
ò
1
0
[
)
]
2
( 1 + x ) dx = x + x
2
1
0
=3
2
k
n
y1 + y2 + L + yn
= 1 å 2 n より,
n
n k =1
lim R ( n ) =
n ®¥
ò
1
0
2 x dx =
2 ]
[ log
2
x
1
0
=
1
log 2
また, Q ( n ) = n x 1 x 2 L x n より,
n
n
(
log Q ( n ) = 1 log( x 1 x 2 L x n ) = 1 å log x k = 1 å log 1 + k
n k =1
n k =1
n
n
lim log Q ( n ) =
n ®¥
ò
1
0
log( 1 + x ) dx = [ ( 1 + x ) log( 1 + x ) ] 0 1
ò
1
0
)
dx
= 2 log 2 - 1 = log 4
e
ここで, f ( x ) = log x は x＞0 において連続であることより, lim Q ( n ) = 4
n ®¥
e
n
同様にして, S ( n ) = y1 y 2 L y n より,
k
n
n
log 2 n
log 2
log S ( n ) = 1 å log y k = 1 å log 2 n = 2 å k =
( n +1)
n k =1
2n
n k =1
n k =1
log 2
よって, lim log S ( n ) =
= log 2 より, lim S ( n ) = 2
n ®¥
n ®¥
2
［解 説］
単純な構図の問題ですが, 4 つの極限とも, きれいな数値として求まります。いろ
いろな解法がありますが, 最初に考えたものを記しました。
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４
(1)
解答解説
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p1 = p6 , p2 = p5 , p3 = p4 より, 2 p1 + 2 p2 + 2 p3 = 1 となり,
p3 = 1 - p1 - p2
2
サイコロを 3 回振ったとき総和が 5 となるのは, ( 1, 1, 3 ) , ( 1, 2, 2 ) の 2 つの
場合がある。出る目の順序も考えて,
(
)
Q ( 5 ) = p1 2 p3 ´ 3 + p1 p22 ´ 3 = 3 p12 1 - p1 - p2 + 3 p1 p22
2
2
3
2
3
= p1 - 3 p1 - 3 p1 p2 + 3 p1 p22
2
1
(2) p3 = のとき, p1 + p2 = 1 - 1 = 1 である。
6
2 6 3
サ イ コ ロ を 3 回 振 っ た と き 総 和 が 7 と な る の は , ( 1, 1, 5 ) , ( 1, 2, 4 ) ,
( 1, 3, 3 ) , ( 2, 2, 3 ) の 4 つの場合があるので,
Q ( 7 ) = p1 2 p2 ´ 3 + p1 p2 p3 ´ 3 ! + p1 p32 ´ 3 + p22 p3 ´ 3
(
)
(
)
(
)
2
= 3 p12 1 - p1 + p1 1 - p1 + 1 p1 + 1 1 - p1
3
3
12
2 3
3
2
1
1
1
= -3 p1 + p1 +
p1 +
2
12
18
ここで, 0＜x ＜ 1 において, f ( x ) = -3x 3 + 1 x 2 + 1 x + 1 とおくと,
3
2
12
18
f ¢( x ) = -9 x 2 + x + 1
1
1
12
… 3
x
0 …
6
1
= - ( 18 x + 1 )( 6x - 1 )
12
f ¢( x )
＋
−
0
5
1
と
右表より, f ( x ) の最大値は f
=
5
f(x)
6
72
72
なる。
よって, Q ( 7 ) がとり得る最大の値は 5 であり, このとき p1 = p2 = 1 となる。
72
6
( )
［解 説］
基本題です。サイコロを 3 回しか振らないので, 数えもれもないでしょう。
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(1)
解答解説
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z = 1 より, z z = 1 , z = 1 ………①
z
3
3
1
z 3 - z + z 3 - z = 1 z 3 - z + z - z と表せる。
さて, z - z の実部は,
2
2
3
条件より, z 3 - z + z - z = 0 となり, ①から z 3 - z + 13 - 1 = 0
z
z
(
)
(
)
z 6 - z 4 + 1 - z 2 = 0 , ( z 4 - 1 )( z 2 - 1 ) = 0 , ( z 2 + 1 )( z 2 - 1 ) 2 = 0
よって, z 2 = ±1 より, z = ±1, ± i
(2)
z 5 + z = 1 より,
z 4 + 1 = 1 となり,
z
z = 1 から z 4 + 1 = 1 ………②
ここで, z = cos q + i sin q ( 0 ≦ q ＜2p ) とおくと, ②から,
( cos 4q + 1 ) 2 + sin 2 4q = 1 , 2 + 2 cos 4q = 1 , cos 4q = - 1
2
8
10
16
20
14
22
2
4
よって, 4q = p ,
p,
p,
p,
p,
p,
p,
p
3
3
3
3
3
3
3
3
q = 1 p , 1 p , 2 p , 5 p , 7 p , 4 p , 5 p , 11 p
6
3
3
6
6
3
3
6
これより, z = 3 ± 1 i, 1 ± 3 i, - 1 ± 3 i, - 3 ± 1 i
2
2
2
2
2
2
2
2
n
1
(3) z + 1 = 1 より, (2)と同様にして, cos nq = 2
nq = 2k + 1 ± 1 p , q = 1 2k + 1 ± 1 p ( k = 0, 1, 2, L , n - 1 )
3
3
n
(
)
(
)
これらの偏角の総和を S とすると,
n -1
(
)
n -1
(
)
n -1
S = p å 2k + 1 + 1 + p å 2k + 1 - 1 = p å ( 4k + 2 )
n k =0
n k =0
n k =0
3
3
= p { 2 ( n - 1 ) n + 2n } = 2np
n
したがって, z n + 1 = 1 を満たす z をすべてかけ合わせて得られる複素数は,
cos 2np + i sin 2np = 1
［解 説］
(1)は共役複素数の利用, (2)も同じ手法で解いていたのですが, 途中で方針を変更し
ました。そのため, (1)から(2)および(3)への接続が悪くなっています。
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(1)
解答解説
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æ 1
3
æ -1 0 öæ -1 0 ö æ 1 0 ö
AA = ç
֍
÷=ç
÷ , BB = 1 çç
4
0
1
0
1
0
1
è
øè
ø è
ø
è 3 -1
æ -1 0 öæ 1
3 ö 1 æ -1 - 3 ö
÷= ç
÷
AB = 1 ç
÷ çç
2 è 0 1 ø è 3 - 1 ÷ø 2 çè 3 - 1 ÷ø
æ 1
BA = 1 çç
2è 3
3 öæ -1 0 ö 1 æ -1
֍
÷= ç
- 1 ÷ø è 0 1 ø 2 çè - 3
öæ 1
÷÷ çç
øè 3
3 ö æ1 0ö
÷=ç
÷
- 1 ÷ø è 0 1 ø
3ö
÷
- 1 ÷ø
(2) 2 次の単位行列を E とすると, (1)より A 2 = B 2 = E となる。
すると, 集合 { A, B } から重複を許していくつか取り出し, いろいろな順番に並
べて積を計算したとき, E, A, B, AB, BA 以外に得られる行列は, A と B が隣りあう
ものに限り, まず ABA, BAB が考えられる。
æ -1 - 3 öæ -1 0 ö 1 æ 1
֍
ABA = 1 çç
÷= ç
2 è 3 - 1 ÷ø è 0 1 ø 2 çè - 3
æ -1
BAB = 1 çç
4è - 3
3 öæ 1
֍
- 1 ÷ø çè 3
さらに, ABAB を考えると,
æ 1
- 3
ABAB = 1 çç
4 è - 3 -1
3 ö 1æ 1
÷= ç
- 1 ÷ø 2 çè - 3
öæ 1
÷÷çç
øè 3
- 3ö
÷
- 1 ÷ø
- 3ö
÷ = ABA
- 1 ÷ø
3 ö 1 æ -1
÷= ç
- 1 ÷ø 2 çè - 3
3ö
÷ = BA
- 1 ÷ø
以上より, 求める行列は, E, A, B, AB, BA, ABA となるので,
3 ö 1 æ -1 - 3 ö
æ 1 0 ö æ -1 0 ö 1 æ 1
çç
çç
÷÷ ,
÷÷ ,
÷, ç
÷,
ç
è 0 1 ø è 0 1 ø 2 è 3 -1 ø 2 è 3 -1 ø
1 æç - 1
2 çè - 3
3 ö 1æ 1
ç
÷,
- 1 ÷ø 2 çè - 3
- 3ö
÷
- 1 ÷ø
［解 説］
A も B も, どちらも原点を通る直線に関する対称移動を表す行列です。2 年後には,
よく見かける問題となりそうです。
−7−
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