シャルピー衝撃試験
転位と亀裂の力学
Mechanics of dislocations and cracks
振り上げた時のハンマーの高さ = h
質量m
位置エネルギー：U = mgh
m : ハンマーの質量
試験片を破壊した後に振りあがる
高さ = h'
h
位置エネルギー：U ′ = mgh′
h′
ε̇ = 10 3 ~ 10 4 / s
試験片の破壊に要した仕事
W f = U − U ′ − ∆U
= mg ( h − h′) − ∆U
∆U:振り子の摩擦エネルギーなど
低温での構造破壊
衝撃エネルギー： Eimp =
切り欠きを入れた試験片
Wf
A
Α:破面の面積
温度
FCC、HCP、BCC金属のシャル
ピー衝撃エネルギーの比較 4)
結晶構造に依存して衝撃破壊に対す
る抵抗ならびに温度依存性が異なる。
炭素濃度
破壊に費やされた仕事
＝（破壊）靭性
≈塑性変形に要した仕事
応力（MPa）
衝撃エネルギー
衝撃エネルギー (J)
静的引張試験
硬くなるほ
ど脆くなる
温度 （℃）
炭素鋼のシャルピー衝撃エネル
ギーの炭素濃度依存性 4)
合金濃度に依存して破壊に対する
抵抗ならびに温度依存性が異なる。
ε̇ = 10 −4 ~ 10 −2 / s
引張試験機
ひずみ (%)
炭素鋼の応力ーひずみ曲線
降伏強さ
降伏強さ
低速変形
高速変形
共有結合結晶
ε̇ = 10 −3 / s
ε̇ = 3.1× 10 3 / s
合金化の影響 Ｉ
イオン結合結晶
FCC合金（Cu-Al合金）
低温
低温
BCC純金属
FCC純金属
FCC純金属（Cu、Al）
変形温度/融点
変形温度/融点
降伏強さの温度依存性
降伏強さ（対数）
降伏強さ
高温
高温
共有結合結晶
イオン結合結晶
合金化の影響 II
金属間化合物（Ni3Al）
BCC純金属
FCC純金属
Mo単結晶の応力ーひずみ曲線
変形速度（対数）
降伏強さの変形速度依存性
FCC純金属（Ni、Al）
変形温度/融点
高温で使われる材料 materials used at high temperatures
タービンブレード
遠心力
例）ジェットエンジン
低い温度
空気吸入
速い変形速度
空気圧縮（30～40倍）
空気・ケロシン混合
１次燃焼(~2000 oC)
タービン直前の
２次燃焼(~1000 oC)
推進力
Mo単結晶の強度に及ぼす温度とひずみ速度の影響
吸入・圧縮・推進を
Sia Nemat-Nasser, Weiguo Guo and Mingqi Liu , "EXPERIMENTALLY-BASED
MICROMECHANICAL MODELING OF DYNAMIC RESPONSE OF
MOLYBDENUM", Scripta Materialia, Vol. 40, No. 7, pp. 859 –872, 1999.
同軸回転軸につけた
ブレードで行う。
×通常の凝固
○方向性凝固
○単結晶
Monocrystalloys,a New Concept in Gas Turbine Materials,
PWA 1409, Pratt and Whitney
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
クリープ creep
oC
MPa
クリープ速度の一般式
融点の約半分以上の高温では、降伏強
さよりも低い応力負荷で変形が起こる。
ついには材料の破断を引き起こす。
600
500
⎛ Q ⎞
⎟⎟
ε̇s = Aσ n exp⎜⎜ −
⎝ k BT ⎠
400
σ : 応力
高温
大きな応力
ひずみε
300
定常ク
リープ
速度
200
ε̇s =
100
dε
dt
A：材料定数
Q：クリープの活性化エネルギー
k B：ボルツマン定数（ = R / N av）
= 1.38 ×10 −23 J/K
= 0.862 × 10−4 eV/K
※ 1eV = 1.602 × 10−19 J
0
時間t
実用合金の高温強度特性
1 ksi = 10 3 psi = 6.895 MPa
o
9
F = oC + 32
5
⎛ Q ⎞
⎟⎟
ε̇s = Aσ n exp⎜⎜ −
⎝ k BT ⎠
A=
B
dm
転位の（上昇）運動によるクリープ
n ~ 5 純金属
n > 5 合金
10万時間
（10年）
クリープ曲線
結晶粒径に依存する場合
B
A= m
d：結晶粒径
d
破断のひずみを εfとし、破断までの
時間をtrとする。破断時間が定常ク
リープの時間に比例すると仮定で
きるものとすると、
⎛ Q ⎞
ε f = C ′ε̇s t r = A′σ n exp⎜⎜ −
⎟⎟t r
⎝ k BT ⎠
C ′, A′：定数
これより、以下の関係を得る。
粒界拡散によるクリープ
n =1
⎛
A′ ⎞ Q
T ⎜ ln t r + ln ⎟ =
− nT ln σ
⎜
ε f ⎟⎠ k B
⎝
m=3
格子拡散によるクリープ
変形機構図（Ni、d = 32 µm)
n =1
m =1
M. F. Ashby, Acta Met.,Vol. 20 (1972).
ラーソン・ミラー因子
PLM = T (log10 t r + C )
S-590 鋼のラーソン・ミラー因子と応力の関係
R. M. Goldoff, Mat. Eng. Design, Vol. 49 (1961).
C：定数（ ≈ 20、耐熱鉄鋼・合金材料）
ただし、t r の単位は時間h、Tの単位はKである。
疲労 fatigue
降伏強さ以下の応力負荷でも、繰り返しの付加によって変形しクラック
が形成して破断にいたることがある。
疲労限度（耐久限度）の存在
107回の繰り返し数で破
断する時間強度
回転曲げ試験機
応力σ
σ a：応力振幅
σ max
0
1
2
3
4
5
繰り返し数 N
σ min
破断までの繰り返し数 N
破断までの繰り返し数 N
アルミニウム合金(7075T-6)のS-N曲線
焼鈍した鋼（4340鋼）のS-N曲線
塑性変形と転位
Al合金の疲労試験において
すべり線に沿って形成され
た初期クラック
すべり面
すべり方向
多重すべり
すべり線
疲労試験した鋼の表面に形
成されたすべり線に沿った
初期クラックの断面写真
単一すべり
1 MPa
亜鉛3)
単結晶のすべりによる
塑性変形
アルミニウム単結晶のせん断応
力ーひずみ曲線1)
（変形初期）
余分の原子面
らせん転位
y
y
(d)
θ
(c)
(a)
(a)(b)
(b)
S
r
S
x
FCC、BCC、HCP金属単結
晶の応力ーひずみ曲線
セル構造
引張変形した銅単結晶
の転位組織 1)
(c)
θ
r
F
b
刃状転位 b
z
F
x
z
バーガースベクトル： b = SF / RH (right − handed )
(d)
刃状転位の周りの応力場
らせん転位の周りの応力場：
引張、圧縮がない。転位線の方向に沿ったせん断応力のみ。
σ zx = −
Gb sin θ
2π r
σ yz =
Gb cos θ
2π r
σ xx = σ yy = σ zz = σ xy = 0
もしくは、円筒座標で以下のようになる。
σ θz =
Gb
y (3 x 2 + y 2 )
Gb
y( x 2 − y 2 )
σ yy =
2
2 2
2π (1 −ν ) ( x + y )
2π (1 −ν ) ( x 2 + y 2 ) 2
νGb
y
Gb x( x 2 − y 2 )
σ zz =
σ zx = σ yz = 0
σ xy =
2
2
π (1 −ν ) x + y
2π (1 −ν ) ( x 2 + y 2 ) 2
σ xx = −
y
Gb
2πr
y
σ rr = σ θθ = σ zz = σ rθ = σ rz = 0
y
圧縮
x
x
3
x
引張
2
2πσ θz
=1
Gb
刃状転位の周りの応力成分の向き
刃状転位の周りの静水圧場
τ
石鹸の泡を使った刃状転位のモデル
すべり面
τ
無
転
位
の
時
= 1000 µm
Al：焼きなまし材
転位が生ま
れた後
銅ひげ結晶の応力ーひずみ曲線
の転位組織
バーガース
b
ベクトル
（原子の周
期的配列を
守る）
転位密度ρ ~ 10 2 / cm 2
Al：圧延材（圧延率10％）
の転位組織（セル）
転位密度 ρ ~ 1012 / cm 2
強度の温度依存性、変形速度依存性は何故現れるのか？
材料力学
弾性力学
塑性力学
破壊力学
残念ながら
解答は出し
てくれない
室温
l
材料の塑性変形を担う転位の力
学を基にして、転位の運動を促進
Si単結晶中で活動するフラ
ンク・リード源 2)
フランク・リード転位源の活動応力
τ FR =
Gb
l
G : 剛性率
l：転位源の長さ
※ G =
E
2(1 + ν )
する熱エネルギーの寄与を考える。
材料学
転位論
熱力学（統計力学）
反応速度論
Tiゲッター純鉄の降伏強さの温度依存性
が必要
すべり面
何故BCC金属は低温、高速変
形で変形抵抗が大きいか？
BCC金属では、その結晶構造の性
質により、らせん転位が bだけ進む
左回り
時に高いポテンシャルの山を越え
なければならない。（結晶の地の
抵抗、パイエルス応力）
１）らせん転位は右ねじまたは左ねじ
を押し込むように、転位線に沿って
[111]方向の原子列を bだけ変位させる。
右回り
a
b = [111]
2
2）BCC結晶構造を[111]方向から眺め
ると、原子は右ねじまたは左ねじのら
せんが交互に並んでいる（安定構造）。
左回り（L）のbを持つらせん転位が右
ねじ（R）の位置に入った時
b ⎛ b⎞
+ ⎜− ⎟ = 0
3 ⎝ 3⎠
2b ⎛ 2b ⎞
+ ⎜− ⎟ = 0
3 ⎝ 3 ⎠
b + ( − b) = 0
原子が近づき
すぎてエネル
ギー的に高い
状態になる！
b
3
L
b
R
2b
3
R
L
L
R
ポテンシャルの高さを Qとし、
外から付加した荷重にすべり面
上に作用するせん断応力 τaに
よって転位になされる仕事を Wa
とする。障壁を越えるために不
足するエネルギーは
⎛ ∆Q ⎞
⎛ Q − Wa ⎞
⎟⎟ = exp⎜⎜ −
⎟
p = exp⎜⎜ −
k
T
k BT ⎟⎠
⎝ B ⎠
⎝
単位時間当たりにポテンシャル障壁を乗り越える確率が高いほど、転位
の速度は速いと言える。すなわち、結晶の塑性変形速度は速くなる。こ
のことから、塑性変形速度をひずみ速度で表すと、以下の式が得られる。
γ̇o : 熱エネルギーの助けがない時のひずみ速度
A ≈ wb : 障壁を乗り越えた一部のらせん転位が
掃過した面積（活性化面積）
運動方向
ポテンシャル
エネルギー
熱エネルギー
Q
Wa
0
b
x
以上より、ひずみ速度ならびに応力は以下のようになる。
⎛ Q − τ a bA ⎞
⎟
γ̇ = γ̇o exp⎜⎜ −
k BT ⎟⎠
⎝
γ̇
γ̇
< 1 より ln < 0
γ̇o
γ̇o
τa =
活性化面積＝障害物を乗り越えるた
めに転位がすべり面上を運動しなけ
ればならない面積
すなわち、外部付加応力だけで障壁を乗り越える
時のひずみ速度
転位に作用する力の力学より、
W a= τ a bA
x
らせん転位
∆Q = Q − Wa
不足したエネルギー分を熱エネルギーの助けによって乗り越える確率
は以下で与えられる。
τa
b
※FCC金属ではポテンシャル障壁の非常に
低く、転位の運動に対する抵抗はないとみ
なしてよい。
[111]方向の原子配列
⎛ Q − Wa ⎞
⎟
γ̇ = γ̇o exp⎜⎜ −
k BT ⎟⎠
⎝
w
A=
k BT γ̇2
ln
∆τ ab γ̇1
熱活性化過程
１）温度が高くなると強度は低下
２）変形速度が速くなると強度は増加
（正の温度依存性）
Q k BT γ̇
+
ln
bA bA γ̇o
τa
τo =
Q
bA
γ̇2 (> γ̇1 )
∆τ a
γ̇1
T
転位とクラック
地の抵抗が無視できるFCC金属
では、何故合金化すると強度の
温度依存性が顕著になるのか？
l
σ
開口型（モードI）のクラックに対する破
壊力学の結果：
固溶原子
すべり面上に点状に分布する固
溶原子に転位が引っかかってし
まい、これらを乗り越えるのに
時間がかかってしまう。障害物
を乗り越えるための時間が変形
速度を支配する。そのため、
⎛ Q − Wa ⎞
⎟
γ̇ = γ̇o exp⎜⎜ −
k BT ⎟⎠
⎝
転位
y σ
yy
すべり面
crack
r
θ
σ yy
x
x
2a
σ xy
ポテンシャル
エネルギー
熱エネルギー
の助け
となり、以下を得る。
応力拡大係数
Q
Q k BT γ̇
τa =
+
ln
bA bA γ̇o
ただし、 A = wl
K I = lim σ ij 2πr = σ πa
r →0
σ
Wa
転位
x
h
w
KI
θ⎛
θ
3θ ⎞
cos ⎜1 − sin sin ⎟
2⎝
2
2 ⎠
2πr
KI
θ⎛
θ
3θ ⎞
=
cos ⎜1 + sin sin ⎟
2⎝
2
2 ⎠
2πr
KI
θ
θ
3θ
=
sin cos cos
2
2
2
2πr
σ xx =
θ =0
遠方で一様な引張応力を受ける無限
平板を貫くクラック（ただし、応力
の向きはクラックと垂直）
特にx軸上では
KI
2πx
σ yy θ =0 =
クラックの転位モデル
クラックの問題は、同じ応力状態に置かれた材料中において、転位を並べた状
態に置き換えることができる。このとき、転位列中の個々の転位が静止するため
に、それぞれの転位に対して、外部から与えた応力ならびに転位間の相互作用
力の総和は０にならなければならない。
るy方向の法線応力は以下となる。
σ yy
i
点でのy方向の法線応力は以下となる。
Y
等価
( X i ,0)
σ
開口型クラック
( X i ,0)
( X ,0)
A
2a
2a
σ yy ( X ,0) = ∑ σ yy i ( X ,0)
( X ,0)
A
2a
Y
Gbi
1
( X ,0) =
2π (1 −ν ) X − X i
よって、転位列の全転位の応力場によるA
σ
σ
σ
転位列のi番目の転位によって A点に作用す
σ
i
N
G
bi
=
∑
2π (1 −ν ) i =1 X − X i
X
刃状転位列
転位列中の転位の密度が非常に大きいものとして、転位が連続的に分布してい
σ
刃状転位列
るとみなすことができるものとする。このとき、 X ~ X + dXにある転位の数を
n( X ) = f ( X )dX
とすれば、転位列中の全転位数 Nは以下で与えられる。
a
a
−a
0
N = ∫ | f ( X ) | dX = 2∫ f ( X )dX
∵ f ( x ) = − f ( − x)
X
転位列内の Xの位置にある転位について以下の力の釣り合いが成り立たねばな
後は計算実行のみである（数学の練習）。
らない。
2
σ yy ( X ,0) =
Gb
f (ξ )dξ
2π (1 −ν ) ∫− a X − ξ
a
σb
+
=0
( − a < X < a)
Xの位置の転位に
作用する外部付加力
Xの位置以外の転位の
応力場による力
Gbf ( X )
2(1 −ν )σ
上の方程式を満足する関数は以下で与えられる。
f (ξ ) =
2(1 −ν )σ
Gb
10
ξ
2
2σ
π
2σ
=
π
2σ
=
π
a −ξ
2
5
a f (ξ ) dξ
Gb
σ yy ( X ,0) =
∫
−
2π (1 −ν ) a X − ξ
σ a
ξdξ
= ∫
(ξ < a < X )
π −a ( X − ξ ) a 2 − ξ 2
=
2σX
π ( X − a)
=
0
-1
-0.5
0
0.5
1
X /a
-5
ξdξ
( X −ξ ) a2 − ξ 2
=−
σ
π
∫
0
π
∫
π
0
Xdφ
σ
−
X − a cos φ π
2σX
arctan
π X 2 − a2
X +a
−σ
X −a
X 2 − a2
a+x
=
2ax + x 2
≈
a
2x
arctan
面内せん断型（モードII）クラック
X +a
2a + x π
= arctan
≈
X −a
x
2
τ = τ yx
τ
σ a σ πa
KI
=
=
2x
2πx
2πx
y
r x
θ
τ
2a
b
y
x
r
τ
x′
δ ( x′) = ∫ bf ( x′)dx′
−b
0
=
2(1 −ν )σ
G
∫
x′
0
a − x′
a 2 − (a − x′) 2
τ
dx′
特にクラック先端のごく近傍で x' << aのとき
adx′
4(1 −ν )σ ax′
=
0
2 a x′
2G
2
4 2 (1 −ν ) K I x′
=
πE
δ ( x′) ≈
2(1 −ν )σ
G
∫
x′
X
x′
δ ( x′)
a
dφ
⎧ X +a
⎫
X − a ( X + a ) /( X − a )
1
d⎨
tan(φ / 2) ⎬ − σ
X + a ∫0
1 + { ( X + a) /( X − a) tan(φ / 2)}2 ⎩ X − a
⎭
以上より、以下のように、破壊力学で導かれる応力集中の式が得られる。
クラック先端から内側への距離を x'とする。COD
は各転位がもっている変位 bの和となるので、
π
0
0
X
-10
次に、クラック内の開口の大きさ（クラック開口変位、COD）を求める。
∫
x = X − a << a のときには、
転位分布
σ yy ( X ,0) ≈
a cos φdφ
σ
=
X − a cos φ π
Xd (φ / 2)
−σ
X − a + 2a sin 2 (φ / 2)
π /2
Xd (φ / 2)
1
∫0 ( X − a) / cos 2 (φ / 2) + 2a tan 2 (φ / 2) cos 2 (φ / 2) − σ
π /2
Xd (φ / 2)
1
∫0 X − a + ( X + a) tan 2 (φ / 2) cos 2 (φ / 2) − σ
∫
A点でのy方向の法線応力は以下で与えられる。
a
−a
∫
π /2
=
(−a < ξ < a)
σ
π
τ
K II
θ⎛
θ
3θ ⎞
sin ⎜ 2 + cos cos ⎟
2⎝
2
2 ⎠
2πr
K II
θ
θ
3θ
σ yy =
sin cos cos
2
2
2
2πr
KI
θ⎛
θ
3θ ⎞
σ xy =
cos ⎜1 − sin sin ⎟
2⎝
2
2 ⎠
2πr
σ xx = −
応力拡大係数
K II = τ πa
特にx軸上では、
σ xy =
K II
2πx
θ
τ = τ yx
τ = τ yx
転位の分布関数
Y
f (X )
X
2a
2a
τ
τ
i
Gb
1
2π (1 −ν ) X − X i
他の転位による力
+ τb
ξ
−a<ξ <a
a2 − ξ 2
2τX
π X 2 − a2
arctan
X +a
K II
−τ ≈
X −a
2πx
(a < X )
※ 開口型（モードI）クラックと等価な刃状転位の分布は、転位のすべりに
よって生じる塑性変形では形成されない。しかし面内せん断型（モード II）ク
ラックと等価な刃状転位の分布は、すべり面上を運動する転位の堆積に
転位列内の Xの位置にある転位に働く力（ X方向）のつりあい
a / 2 f (ξ ) dξ
Gb 2
∫
−
2π (1 −ν ) a / 2 X − ξ
2(1 −ν )τ
Gb
σ xy ( X ,0) =
転位列内の i番目の転位による内部応力（ Y軸に垂直な面で X軸方向の成分）
σ xy ( X ,0) =
f (ξ ) =
x = X − a << a
クラック先端近傍において、 として以下を得る。
刃状転位列
面内せん断型クラック
つりあい方程式を満たす転位の分布関数は以下で与えられる。
よって生じ得る。面内せん断型クラックと等価な転位の集積は、両端を結晶
(− a < ξ , X < a)
=0
粒界によって止められて集積した転位分布に現われ、強度に及ぼす結晶
粒径の影響に対して同じ数学的解析を行える。
外部付加力
τ
τ = τ yz
面外せん断型（モードIII）クラック
転位の分布関数
Y
τ
f (X )
X
τ = τ yz
2a
2a
y
τ
r
2a
θ
z
τ
K
θ
σ yz= III cos
2
2πr
x
らせん転位列
転位列中の i番目のらせん転位による Y軸に垂直な面におけるz方向の応力
i
σ yz ( X ,0) =
Gb 1
2π X − X i
連続分布を仮定した際の転位列中の転位に作用する力のつりあい
τ
K III
θ
sin
破壊力学：－ σ xz= −
2
2πr
τ
面外せん断型クラック
Gb 2
2π
K III = τ πa
∫
a
−a
f (ξ )
dξ + τb = 0
X −ξ
f (ξ ) =
2τ
ξ
Gb a 2 − ξ 2
− a < X ,ξ < a
※ 面外せん断型クラックも、すべり変形において両端を阻止されて形成される
らせん転位の分布の解析に用いることができる。
破壊に対する設計強度
σ
脆性材料
応力拡大係数 K ≤ K C （臨界応力拡大係数 、破壊靱性値）
あるいは
Yσ πa ≤ K C
Y：クラック形状因子 crack geometry factor
表面の浅い
クラック
⎧ 2 Eγ s 平面応力
⎪
⎪⎪ （薄板中、 表面近傍のクラック）
K IC = ⎨ 2 Eγ s
⎪ 1 −ν 2 平面ひずみ
⎪
⎪⎩ （厚板中 のクラック） （クラックの形状、応力の付加状態に依存）
σ
σ
σ
無限体中の
円状クラック
表面の浅い半
円状クラック
2a
a
破壊
＝原子間結合
の切断
＝新しい表面
の形成
開口型クラックに対する破壊靱性値
(fracture toughness)
ε
直線線形弾性
E : ヤング率、 ν : ポアソン比、 γ s：表面エネルギー
a
ここでは、上記の破壊条件の説明を、クラックの転位モデルを用いて、以下
σ
σ
Y = 2 / π = 0.637
Y = 1.12
σ
Y = 1.12 × 2 / π = 0.713
クラック面積が ∆Acだけ増えることで、増加
開口型クラック１が ∆aだけその長さを増加し、ク
1′
ラック１'となった場合に解放されるエネルギーを
考える。これは、クラック１の先端の応力場に
1
X
ネルギーとなる。よって、板の厚さを t、クラック1'
x′
a
δ ( x′)
∆a
先端からの距離を x'として
=−
1 ∆a
1 ∆a
KI
4 2 (1 −ν 2 ) K I x′
σ yy ( x′,0)tdx′ × δ ( x′) ≈ − ∫
×
tdx′
∫
2 0
2 0 2π (∆a − x′)
πE
2
2(1 −ν 2 ) K I t ∆a
x′
∫0 ∆a − x′ dx′
πE
∫
∆a
0
2
∆a π / 2
π∆a
(1 + sin φ )dφ =
2 ∫−π / 2
2
2
(1 −ν ) K I
∆U e = −
t∆a
E
t
γsとすると、新しい表面を作るために必要
な仕事は、
∆a
∆Ws = γ s ∆As = 2γ s t∆a
新しいクラック面積 ∆Ac = t∆a
よって、クラック進展に伴う系のポテンシャ
新しい表面の面積 ∆As = 2∆Ac
= 2t∆a
ルエネルギーの変化は、
⎧ (1 −ν 2 ) K I 2
⎫
∆U = ∆U e + ∆Ws = ⎨−
+ 2γ s ⎬t∆a
E
⎩
⎭
∆a / 2
∆a / 2
x′
∆a / 2 + s
∆a / 2 + s
dx′ = ∫
ds = ∫
ds
− ∆a / 2
− ∆a / 2
∆a − x′
∆a / 2 − s
(∆a / 2) 2 − s 2
=
する表面の面積は ∆As = 2∆Acである。よっ
て、単位面積あたりの表面のエネルギーを
よってクラック1'の変位を作るのに必要な弾性エ
∆U e = −
に行う。
※ クラックが大きくなると荷重を受け持つ領域が減少して、
ポテンシャルエネルギーが減少することに注意。
で表される。これより、クラックが進展することで系のポテンシャルエネルギーが
減少してより安定となる条件、
2
2
∆U ≤ 0 より (1 −ν ) K I ≥ 2γ s
E
を得る。
臨界値 K IC =
2 Eγ s
1 −ν 2
延性材料の場合、何故硬くなると脆くなるか？
軟鋼
σ
σ yy
炭素鋼
(BCC)
中性子
照射
σ yy
σY
σY
（セラ
ミック）
x
硬い材料
2a
塑性変形領域
銅
(FCC)
衝撃試験時の
破壊エネルギー 1)
rY rp
x
軟らか
い材料
冬の港でぽきりと折れた米軍のタンカー 3)
σ
σ yy ≥ σ Y のクラック先端近傍では塑性変形が起こるとして
2
2
KI
1 ⎛ KI ⎞
a⎛ σ ⎞
σY =
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
rY =
2πrY
2π ⎝ σ Y ⎠
2 ⎝ σY ⎠
延性脆性遷移温度
（DBTT)
※硬くなるとDBTT
は上昇する
もしくは塑性領域の力と初期の弾性応力の力のつりあいを考えて（Irwinの補正）
rY
rY
0
0
σ Y rp = ∫ σ yy dx = ∫
静的試験（引張試験）時の
応力ーひずみ曲線 1)
K 2rY
KI
dx = I
2πx
π
rp =
1 ⎛ KI
⎜
π ⎜⎝ σ Y
2
⎞
⎟⎟ = 2rY
⎠
実効的なクラック
実効的な応力拡大係数
K I ,eff = σ π ( a + rp / 2)
1⎛ σ
⎜
2 ⎜⎝ σ Y
σY
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎫⎪
⎬
⎪⎭
rp
クラックが塑性領域を進展する際に
でなされる仕事（単位厚さあたり）
rp
0
∫
rp
0
σ yy ( x )u y ( x) dx + 2γ s
= γ p + 2γ s ≈ γ p
γp；破断までの塑性仕事
rY
2a
rY rp
x
塑性変形領域
σ
応力 σ
クラック単位面積あたり
1
rp
σY
2a + rp
強度の温度依存性
を示す材料
低温、速い変形 σ Y
W = ∫ σ yy ( x)u y ( x ) dx + 2γ s rp
Γ =
σ yy
σ yy
= σ π ( a + rY )
⎧⎪
= σ πa ⎨1 +
⎪⎩
延性材料
σ
σY
uf
γ p ∝ ∫ σdu
0
変位 u
uf
脆性材料
強度に及ぼす結晶粒径の影響
In the period from 1948 to
1951 there were many fractures
of natural gas pipelines. Most
occurred during testing and
most started at welding defects
but propagated through sound
metal. One of the longest
cracks was 3200 ft long. Once
started, cracks run at speeds
greater than the velocity of
sound in the pressurized gas.
Therefore there is no release of
the gas pressure to reduce the
stress at the tip of the crack.
ガス中の音速より速い速度で
破壊した天然ガスパイプライン
WILLIAM F. HOSFORD,
"Mechanical Behavior of
Materials" (Cambridge)
三重点
結晶粒界
結晶粒３
結晶粒界ー隙間の多い乱れた構造
・不純物原子が集まる（偏析）
・析出物が形成しやすい（不均一析出）
・結晶粒間のすべりの伝播の障害となる
・結晶粒内よりもエネルギーが高い（粒界
結晶粒１
結晶粒２
エネルギーγGB）
・応力集中源となる（粒界上のボイド、ク
ラック、転位の発生源となる）
・粒界に沿ってすべりが発生する（粒界す
多結晶を模擬した石鹸泡によるモデル
べり→クリープ、超塑性）
・電気的、磁気的、光学的性質などに影
響する
ホールペッチの法則
変形応力： σ = σ o +
k
D
σo：定数（粒内の抵抗）
k：定数（粒間のすべりの伝播を
生じるのに必要な強度因子）
オーステナイトステンレス鋼
y
( xi ,0)
Typical HREM observation of as
deposited nanocrystalline nickel
with its nominal thickness of 60nm.
A typical HREM image of a thin area newly
formed by deformation. A dislocation is trapped
inside a grain close to the grain boundary
(delineated by dark dash line). The inverse
Fourier-filtered image (inset at upper right
corner) from inside the white box shows the
dislocation with more clarity.
下降伏点 (MPa)
τ
τ
構造用鋼
（フェライト鋼）
D−1/2 (mm−1/2)
転位源
結晶粒
結晶粒径 , D
( x,0)
x
A
r = x−a
Gb 2
2πκ
∫
D/2
−D/ 2
f ( x′)dx′
x − x′
他の転位による力
y
隣接粒において粒界のすぐ近傍のA点
転位列内の xの位置にある転位に関する力のつりあい
におけるせん断応力をτAとすると、
+ τb
τ ob
−
=0
結晶の抵抗力・摩擦力
外部付加力
※ 刃状転位に対してκ = 1 −ν、 らせん転位に対し てκ = 1
転位の分布関数： f ( x) =
2κ (τ − τ o )
x
Gb
( D / 2) 2 − x 2
結晶粒に含まれる全転位数： N = 2 ∫
D/2
0
結晶粒中の平均の転位密度： ρ = β
f ( x) =
2κ (τ − τ o ) D
Gb
N 2 βκ (τ − τ o )
=
D2
GbD
ただし、β は結晶粒の形状に依存する因子
( xi ,0)
( x,0)
τ
Gb D / 2 f ( x′)dx′
τA =
2πκ ∫− D / 2 x − x′
(τ − τ o ) D
≈
2 rA
τ
A
転位源
rA = x − a
結晶粒
A点での応力がある一定以上の値 τCに
なった時に、そこで転位源が活動するもの
結晶粒径, D
とする。このすべりの伝播の条件より
τA =
(τ − τ o ) D
≥τC
2 rA
これより、外部付加の応力に対して以下を得る。
ホール・ペッチ則： τ = τ o +
k′
D
ただし、 k ′ = 2τ C rA
転位密度と結晶粒径に関して：－もうひとつの考え方
すべりの伝播が起こった際の平均の転位密度は、ホール・ペッチ則を利用して
ρ=
2 βκ (τ − τ o ) 2 βκk ′
A
=
=
GbD
GbD 3 / 2 D 3 / 2
A : 材料因子
とできる。 転位源からの転位の平均運動距離は以下となる。
x=
1
N / 2 ∫0
=
2 D2
×
D 4
D/2
∫
xf ( x)dx =
π /2
0
4κ (τ − τ o )
GbN ∫0
sin 2 φdφ =
D/ 2
2
x dx
( D / 2) 2 − x 2
π ⎛D⎞
⎜ ⎟
4⎝ 2⎠
よって転位列形成によって生じるすべり面上の変位は以下となる。
u=
N ⎛ x ⎞ πNb πκ (τ − τ o ) D πκk ′
b⎜
=
=
D
⎟=
2 ⎝ D/2⎠
8
4G
4G
これより、すべりの伝播が生じる際の結晶粒のせん断ひずみは以下となる。
γ slip =
u πκ (τ − τ o )
πκk ′
=
=
D
4G
4G D
大きな結晶粒（粒径 D1）と小さな結晶粒（粒
径D2）を考える。単純のため、粒の形は立方
とする。同じせん断ひずみを生じるためには、
それぞれの粒において
γ=
D2
D2
D1
u1 u2
=
D1 D2
D1
を満たすせん断変位が必要となる。それぞれ
の粒の転位の数を N1、N2とするとき
u1 =
N1bx1
D1
u2 =
N 2bx2
D2
となる。ただし、 x1、x2はそれぞれの粒におけ
D2
N2
D2
x2
N1
u2
γ = ρ1bx1 = ρ 2bx2
2
2
ρ1 = N1 / D1 、ρ 2 = N 2 / D2 ：結晶粒1、2の転位密度
D1
x1
る転位の平均運動距離である。これより
u1
x
D1
幾何学的に必要な転位 geometrically necessary dislocation
１）塑性変形量が小さく、転位組織が疎で、変形にはすべりの伝播が主要な
同じ粒径の結晶粒1と2が、それぞれ反対称の関
係にある同じすべり系の単一すべりで変形したと
仮定する。
役割を果たす場合、 αを比例係数として、以下を仮定できるものとする。
x1 = αD1
x2 = αD2
よって、転位密度に対して以下の結果を得る。
ρ1 D2
=
ρ 2 D1
ρ=
ρ o Do
D
τ = τ o + αGb ρ = τ o +
k ′′
D
N1s
N 2s
２）塑性変形量が大きく、転位
1
2
D2 = 15 μm
組織が密で、転位の運動距離
が加工組織の特徴長さ（セルの
x1 = x 2 = α ′d
ρ1 = ρ 2
鉄
重なり）が生じてしまう。このため、これを埋
u1s = u2 s = us
N1s N 2 s N s
=
=
= ρs
D2 D2 D2
N1s = N 2 s = N s
γs =
us
= ρ s bxs
D
と仮定すると、平均運動距離は以下で与えられる。
N1G
N 2G
N 2s
N1s
lG
じる。このように変形の拘束を補う転位のこ
※ 粒界の拘束なしで導入される転位のことを統計的に
D
幾何学的転位の作るすべり線の長さ lGとし、転位は一様に分布しているもの
単一のすべりだけでは粒界で隙間（あるいは
とを、幾何学的に必要な転位という。
x1 = x2 = xs
変形した銅多結晶表面
のすべり線
真ひずみ
める（重なりをなくす）ための別のすべりが生
u1s
このとき、それぞれの粒の変形量、転位数（密度 )、
運動距離は同じであり、以下を得る。
D1 = 100 μm
転位密度
大きさ）dに支配される場合。
u2 s
D
2
1
D
u2 s
u1s
xG =
lG
2
これらより、幾何学転位の数と密度は以下で与えられる。
D
蓄積される転位statistically stored dislocationという。
NG =
2 D 2γ s
2D
us =
M G blG
M G blG
ρG =
NG
2γ s
=
D 2 M G blG
統計的転位の数を Ns、幾何学的転位の数を NGとすれば、粒内の全転位密度
は、以下となる。
※現在、統計学的に蓄積される転位、幾何学的に必要な転位に関する研
N
N
ρ = 2s + G2 = ρ s + ρ G
D
D
究はホットであり、計算機シミュレーション、先端の分析機器による研究が
ρ s , ρ G：統計的転位、幾何学 的転位の密度
幾何学的転位の平均運動距離を xGとすれば、補償すべき変位と以下の関係
になる。
us = M G
N G bxG
D
ただし、 MGは幾何学転位によるせん断変位を usの
方向に変換する幾何学因子である。
行われている。
課題
先端科学特別講義 転位と亀裂の力学（中村担当）と書いて
講義の概要をA4、1枚にまとめて提出すること
提出期限：5月28日（金）
提出場所：材料工学実験室設置段ボール箱
学籍番号、氏名を忘れぬように。
参考： http://www.mech.kagoshima-u.ac.jp/~nakamura/
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