Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio
1. In R3 sia A = (1, −1, 0) e sia r la retta passante per A, parallela al piano x + y +
z = 0 e complanare alla retta s di equazione cartesiana x + 2y − z = 0 = 2x + y.
Scrivere l’ equazione della circonferenza Γ passante per B = (0, 0, 1) e tangente
in A alla retta r. Determinare il centro e il raggio di Γ.
Il piano x + y + z = 0 passa per A e quindi contiene r. Il fascio di piani per s ha
equazione λ(x + 2y − z) + 2x + y = 0. Imponendo il passaggio per A otteniamo
λ = 1 e il piano 3x + 3y − z = 0. La retta r ha equazioni cartesiane x + y + z = 0 =
3x + 3y − z, che si possono semplificare a x + y = 0 = z.
Il piano contenente la circonferenza Γ e´ il piano per r contenente B. Abbiamo il
fascio λ(x + y) + z = 0. Imponendo il passaggio per B abbiamo l’ equazione
impossibile 1 = 0 e pertanto il piano cercato corrisponde a λ = ∞ (o a µ = 0
scrivendo il fascio nella forma λ(x + y) + µz = 0!), i.e. risulta x + y = 0.
Il centro di Γ appartiene al paino x + y = 0, al piano ortogonale a r passante per A
e all’ asse del segmento AB. Scriviamo le equazioni di questi due ultimi piani. La
retta r ha equazioni parametriche x = t, y = −t, z = 0 e direzione L((1, −1, 0)).
Il piano ortogonale a r passante per A ha equazione cartesiana (x − 1) − (y + 1) =
, 1 ) mentre la retta
0, i.e. x − y − 2 = 0. Il punto medio di AB e´ P = ( 12 , −1
2 2
< A, B > ha direzione L((1, −1, −1)). L’ asse del segmento AB ha equazione
(x − 1/2) − (y + 1/2) − (z − 1/2) = 0, i.e. x − y − z − 21 = 0.
L’ intersezione dei tre piani determinati e´ il punto C = (1, −1, 32 ), che e´ il centro
della circonferenza Γ. Se r e´ il raggio di Γ abbiamo r2 = d(C, A)2 = 94 . La sfera di
centro C e raggio 32 ha equazione cartesiana
3
9
(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − )2 =
2
4
che si semplifica in
x2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 3z + 2 = 0.
L’ equazione di Γ e´
x+y = 0
.
x2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 3z + 2 = 0
2. Studiare, al variare del parametro k ∈ R, la quadrica Qk ⊂ R3 di equazione
x2 − 2(k + 1)xy + y 2 − kz 2 − 2kx + k = 0.
I punti (0, 0, ±1) ∈ Qk per ogni k ∈ R e le quadriche Qk sono quinti tutte a punti
reali. I determinanti delle matrici associate a Qk sono:
Abbiamo
1
−(k + 1) 0 −k −(k + 1)
1
0
0 3
|Fk | = = k (k + 3).
0
0
−k
0
−k
0
0
k 1
−(k + 1) 0
1
0
|F k | = −(k + 1)
0
0
−k
= k 2 (k + 2).
Per k = 0 abbiamo l’ equazione (x − y)2 = 0 e la quadrica Q0 e´ di rango 1. Se
k = −3 abbiamo ρ(F−3 ) = ρ(F −3 ) = 3 e Q−3 e´ un cono irriducibile reale.
Supponiamo k 6= 0, −3. Per k < −3 e k > 0 avremo punti iperbolici e per −3 < k <
0 avremo punti ellittici. Per k = −2 otteniamo un paraboloide ellittico mentre per
k 6= 0, −3, −2 avremo o ellissoidi o iperboloidi. Possiamo dedurre che per k < −3
e k > 0 Qk risulta un iperboloide iperbolico o a una falda. Rimane da considerare
solamente l’ intervallo −3 < k < 0, k 6= −2.
Calcoliamo ora gli autovalori di F k . Il polinomio caratteristico e´
c(t) = (k + 2 − t)(t + k)2
e gli autovalori sono −k di moleplicit´a 2 e k + 2. Nel nostro intervallo −k risulta
positivo e abbiamo k +2 > 0 se e solamente se k > −2. Pertanto per −2 < k < 0 gli
autovalori hanno tutti dello stesso segno e avremo ellissoidi reali mentre per −3 <
k < −2 otteniamo iperboloidi ellittici o a due falde.
3. Sia Π il piano di equazione x − y = 0 e sia Ck = Qk ∩ Π.
(a) Determinare i valori di k ∈ R tali che Ck ⊂ Π risulta una conica riducibile;
Sostituendo nella equazione di Qk l’ espressione x = y possiamo scrivere Ck
come
x−y = 0
.
−2kx2 − kz 2 − 2kx + k = 0
Se k = 0, la prima equazione e´ identicamente soddisfatta, C0 coincide con Π
e pertanto C0 non e´ una conica. Se k 6= 0, la seconda equazione, dividendo
per −k, diventa 2x2 + z 2 + 2x − 1 = 0 che rappresenta un cilindro ellittico
irriducibile di direzione l’ asse ~y .
Il piano Π non essendo parallelo alla direzione del cilindro lo taglia lungo una
conica irriducibile. In conclusione Ck e´ una conica irriducibile per ogni k 6= 0.
(b) Riconoscere la conica Ck ⊂ Π per i valori di k ∈ R per cui e´ irriducibile. Dall’ analisi precedente deduciamo che Ck e´ una conica irriducibile per
ogni k 6= 0, che risulta un ellisse essendo sezione piana di un cilindro ellittico
irriducibile.
4. In R3 sia F = (1, 1, 1), sia r la retta di equazione cartesiana x − y = 0 = z e sia
Π il piano di equazione cartesiana x + y = 0.
(a) Riconoscere il luogo Q = {P ∈ R3 : d(P, F ) = d(P, r)} ⊂ R3 ;
Sia P = (a, b, c) ∈ R3 . Abbiamo d(P, F )2 = (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 . L’
equazione dei piani ortogonali a r e´ x + y + k = 0, k ∈ R. Il piano ortogonale a
r passante per P = (a, b, c) ha equazione cartesiana x + y − a − b = 0. Questo
, a+b
, 0). Abbiamo
piano interseca la retta r nel punto P 0 = ( a+b
2
2
d(P, r)2 = d(P, P 0 )2 = (a −
a+b 2
a+b 2
a−b 2
) + (b −
) + c2 = 2(
) + c2 .
2
2
2
Uguagliando le due espressioni precedenti otteniamo
a2 − 2a + 1 + b2 − 2b + 1 + c2 − 2c + 1 =
a2 + b2 − 2ab
+ c2 ,
2
che si semplifica nell’ equazione:
a2 + b2 + 2ab − 4a − 4b − 4c + 6 = 0.
Il luogo Q ⊂ R3 e´ pertanto la quadrica di equazione
x2 + 2xy + y 2 − 4x − 4y − 4z + 6 = 0.
Calcoliamo i determinanti delle matrici associate a Q:
1
1
0
−2
1
1
0 −2 |F | = = 0 ρ(F ) = 3.
0
0 −2 0
−2 −2 −2 6 1 1 0
|F | = 1 1 0
0 0 0
= 0 ρ(F ) = 1.
La quadrica Q e´ pertanto un cilindro parabolico.
(b) Determinare una equazione della parabola Γ ⊂ R3 avente come fuoco F e
come direttrice la retta r;
Il piano passante per r e contenente F e´ il piano Π0 di equazione x − y = 0. Per
definizione di parabola abbiamo
Γ = {P ∈ Π0 : d(P, F ) = d(P, r)} = Q ∩ Π0 .
Quindi
Γ :
x2 + 2xy + y 2 − 4x − 4y − 4z + 6 = 0
.
x−y
=0
(c) Riconoscere il luogo Q = {P ∈ R3 : d(P, F ) = d(P, Π)} ⊂ R3 ;
√
Se P = (a, b, c), abbiamo d(P, Π) = |a+b|
e quindi d(P, Π)2 =
2
Uguagliando questa espressione con d(P, F )2 otteniamo
a2 − 2a + 1 + b2 − 2b + 1 + c2 − 2c + 1 =
a2 +b2 +2ab
.
2
a2 + b2 + 2ab
,
2
che si semplifica nell’ equazione:
a2 + b2 + 2c2 − 2ab − 4a − 4b − 4c + 6 = 0.
Il luogo Q ⊂ R3 e´ pertanto la quadrica di equazione
x2 − 2xy + y 2 + 2z 2 − 4x − 4y − 4z + 6 = 0.
Calcoliamo i determinanti delle matrici associate a Q:
1 −1 0 −2 1 −1 0
1 −1 −2 −1 1
0
−2
= 2 −1 1 −2 + 2 −1 1
0
|F | = 0
2 −2 0
−2 −2 −2
−2 −2 6 −2 −2 −2 6 1 −1 −2 1 −1 = −32 < 0.
0 −4 = 8 2 0
−2 −2 −2 −2 6 1 −1 0 |F | = −1 1 0 = 0, ρ(F ) = 2.
0
0 2 =
La quadrica Q e´ pertanto un paraboloide ellittico.
5.
(a) Nel piano R2 studiare il fascio di coniche tangenti alla retta l : x + y = 0
nel punto A = (1, −1) e tangenti alla retta m : 2x − y = 0 nel punto
B = (1, 2).
La retta passante per i punti A e B ha equazione x − 1 = 0. L’ equazione del
fascio e´
h(x − 1)2 + (x + y)(2x − y) = 0,
che si pu´o riscrivere come
(h + 2)x2 + xy − y 2 − 2hx + h = 0.
Dopo aver moltiplicato per 2, otteniamo le matrici associate di cui calcoliamo i
determinanti:
2(h + 2) 1 −2h 1 −2h 2(h + 2) −2h =
1
−2
0 = −
|F h | = − 2 −2h
0
2h
2h
−2h
0
2h = −2h − 16h = −18h.
2(h + 2) 1
|Fh | = 1
−2
= −4(h + 2) − 1 = −4h − 9.
Le coniche riducibili del fascio si hanno per h = 0, ∞ e sono quindi le coniche
di equazione (x+y)(2x−y) = 0, rispettivamente (x−1)2 = 0. Per h 6= 0, ∞ le
coniche risultano irriducibili. Per h = − 94 abbiamo una parabola, per h < − 94
abbiamo ellissi e per h > − 49 abbiamo iperboli. Non ci sono circonferenze nel
fascio. Da 2h + 4 − 2 = 0 deduciamo che per h = −1 abbiamo una iperbole
equilatera.
(b) Determinare la conica del fascio precedente passante per P = (1, 3) e la
conica del fascio passante per Q = (2, 1).
Sostituendo le coordinate di P = (1, 3) nell’ equazione del fascio otteniamo l’
equazione impossibile −3 = 0. Quindi il punto sta sulla conica che corrisponde
al valore del parametro h = ∞, che e´ (x − 1)2 = 0.
Sostituendo le coordinate di Q = (2, 1) nell’ equazione del fascio otteniamo l’
equazione h + 9 = 0. Quindi il punto sta sulla conica che corrisponde al valore
del parametro h = −9, che e´ 7x2 − xy + y 2 − 18x + 9 = 0.
(c) Riconoscere il luogo descritto dai centri delle coniche del fascio. Per h 6=
0, ∞, − 49 , il centro della conica del fascio e´ la soluzione del sistema
Γ :
2(h + 2)x + y − 2h = 0
.
x − 2y
=0
Per h 6= − 94 la due rette non sono parallele e per questi valori di h le rette si
incontrano in punto sulla seconda retta. Il luogo dei centri e´ quindi la retta di
equazione x − 2y = 0.
6. In R3 sia F = (1, 0, 1), sia r la retta di equazioni cartesiane x + y + 1 = 0 =
x − z + 1 e sia s la retta di equazioni cartesiane y − 2z − 1 = 0 = x + z + 1.
Determinare
(a) la retta passante per F e incidente r e s;
Il piano Π1 contenente r e passante per F ha equazione x − y − 2z + 1 = 0;
il piano Π2 contenente s e passante per F ha equazione x + y − z = 0. La
retta passante per F e incidente r e s ha equazioni cartesiane x + y − z = 0 =
x − y − 2z + 1.
(b) l’ equazione dell’ ellisse avente fuoco F , direttrice relativa a F la retta r e
eccentricit`a 43 .
Sia P = (a, b, c) ∈ R3 . Abbiamo d(P, F )2 = (a − 1)2 + b2 + (c − 1)2 . La retta r
ha equazione parametrica x = t, y = −1 − t, z = 1 + t. L’ equazione dei piani
ortogonali a r e´ x − y + z + k = 0, k ∈ R. Il piano ortogonale a r passante per
P = (a, b, c) ha equazione cartesiana x − y + z − a + b − c = 0. Questo piano
, −a+b−c−1
, a−b+c−1
). Abbiamo
interseca la retta r nel punto P 0 = ( a−b+c−2
3
3
3
d(P, r)2 = d(P, P 0 )2 = (a−
a−b+c−2 2
−a + b − c − 1 2
a−b+c−1 2
) +(b−
) +(c−
) =
3
2
3
1
= [(2a + b − c + 2)2 + (a − 2b + c + 1)2 + (a − b − 2c − 1)2 ].
9
L’ ellisse risulta essere l’ intersezione del piano Π1 con il luogo dei punti
)
= 43 , i.e. tali che 16d(P, F )2 = 9d(P, r)2 . Pertanto
P ∈ R3 tali che d(P,F
d(P,r)
l’ equazione dell’ellisse risulta
x − y − 2z + 1 = 0
.
16[x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2z + 2] = [2x + y − z + 2]2 + [x − 2y + z + 1]2 + [x − y − 2z − 1]2
7. Studiare, al variare del parametro k ∈ R, la quadrica Qk ⊂ R3 di equazione
x2 + 2kxy + y 2 + kz 2 + 2x − 2ky = 0.
Calcoliamo i determinanti delle matrici associate a Qk :
1 k 0 1 k 1 0 −k = −3k 3 − k = −k(3k 2 + 1).
|F k | = 0
0
k
0
1 −k 0 0 1 k 0
|Fk | = k 1 0
0 0 k
= k(1 − k 2 ).
Per k 6= 0 abbiamo |F k | =
6 0 e quindi quadriche non-degeneri. Se k = 0, la quadrica
2
ha equazione (x + 1) + y 2 − 1 = 0 ed e´ un cilindro ellittico.
Se k < 0, allora Qk e´ una quadrica non degenere a punti iperbolici mentre per k > 0
la quadrica non degenere Qk avr´a punti ellittici. La quadrica Q1 e` quindi un paraboloide ellittico mentre la quadrica Q−1 e´ un paraboloide iperbolico. Supponiamo ora
k 6= 0, −1, 1. Gli autovalori di Fk sono k, 1 + k e 1 − k. Se k < 0, gli autovalori
avranno segno diverso e pertanto Qk sar´a un iperboloide iperbolico o a una falda. Se
0 < k < 1 i tre autovalori risultano positivi e Qk sar´a un ellissoide reale. Per k > 1
gli autovalori avranno segno discorde e Qk sar´a un iperboloide ellittico o a due falde.
Sia Π il piano di equazione z = 0 e sia Ck = Qk ∩ Π.
(a) Determinare i valori di k ∈ R tali che Ck ⊂ Π risulti una conica riducibile;
(b) riconoscere la conica Ck ⊂ Π per i valori di k ∈ R per cui e` irriducibile.
La conica Ck ha equazione z = 0 = x2 +2kxy +y 2 +2x−2ky = 0 e pu´o essere
identificata con una conica nel piano R2 di coordinate (x, y). I determinanti
delle matrici associate a Ck sono:
1 k
1
|F k | = k 1 −k = −3k 2 − 1 = −(3k 2 + 1) < 0.
1 −k 0 1 k
|Fk | = k 1
= 1 − k2.
La conica Ck e` irriducibile per ogni k ∈ R ed e` una parabola per k = ±1. Per
−1 < k < 1 abbiamo |Fk | > 0 e Ck e` una ellisse (reale), che per k = 0 diventa
una circonferenza di raggio 1 e centro in (−1, 0). Per k < −1 e k > 1 la conica
Ck e` una iperbole, mai equilatera.
8. Scrivere l’ equazione del cono Q ⊂ R3 avente vertice in V = (0, 0, 1) e contenente l’ iperbole equilatera del fascio Γ.
L’ equazione del fascio Γk e´ kx2 + (k + 1)xy − y 2 + x − y = 0 = z e l’ iperbole
equilatera del fascio corrisponde al valore k = 1 in corrispondenza del quale si
ottiene la conica Γ1 di equazione x2 + 2xy − y 2 + x − y = 0 = z.
Le quadriche contenenti Γ1 hanno equazioni della forma
2x2 + 4xy − 2y 2 + 2x − 2y + z(2ax + 2by + cz + 2d) = 0,
(a, b, c, d) ∈ R4 , che possiamo riscrivere come
2x2 + 4xy − 2y 2 + cz 2 + 2axz + 2byz + 2x − 2y + 2dz = 0.
Imponiamo ora che V = (0, 0, 1) sia vertice della quadrica precedente:
2 2 a 1
0
2 −2 b −1 0
a b c d · 1
1 −1 d 0
1
0
0
= ,
0
0
da cui si deduce facilmente a = −1, b = 1, c = d = 0. Il cono ha equazione
x2 + 2xy − y 2 − xz + yz + x − y = 0.
9. In R3 sia l1 la retta di equazioni cartesiane x − y + z + 1 = 0 = x + z e sia l2 la
retta di equazioni cartesiane 2x − 2y + z − 1 = 0 = x − y
(a) Calcolare d(l1 , l2 )
Le rette hanno equazioni parametriche di questa forma: (t, 1, −t), rispettivamente (s, s, 1). Sono sghembe. Il fascio di piani contenente l1 ha equazione:
x + z + λ(y − 1) = 0. Questo piano risulta parallelo a l2 se e solamente se
λ = −1. Il piano Π di equazione x√− y + z + 1 = 0 e` parallelo a l2 . Allora
d(l1 , l2 ) = d(Π, (0, 0, 1)) = √|2|3 = 2 3 3 .
(b) Determinare il luogo Q dei punti P ∈ R3 tali che d(P, l1 )2 + d(P, l2 )2 = 2,
verificando che Q ⊂ R3 e´ una quadrica.
Sia P = (a, b, c) ∈ R3 . Il piano ortogonale a l1 e passante per P ha equazione
x − z − a + c = 0 e taglia l1 nel punto P1 = ( a−c
, 1, − a−c
). Il piano ortogonale
2
2
a l2 e passante per P ha equazione x − y − a − b = 0 e taglia l2 nel punto
P2 = ( a+b
, a+b
, 1). Allora d(P, l1 )2 = d(P, P1 )2 = 2( a+c
)2 + (y − 1)2 mentre
2
2
2
a−b 2
2
2
2
d(P, l2 ) = d(P, P2 ) = 2( 2 ) + (z − 1) . Uguagliando e semplificando si
ottiene l’ equazione:
2a2 − 2ab + 3b2 + 2ac + 3c2 − 4b − 4ac = 0.
(c) Riconoscere la quadrica Q.
Intersecando con l’ asse delle y (delle b con le notazioni precedenti!) si vede
che ci sono almeno due punti reali in Q, che quindi non e` ellisse immaginario
o cono immaginario, etc, etc. Le matrici associate a Q sono:
2 −1 1
0
2 −1 1
−1 3
0 −2
F =
, F = −1 3 0 .
1
0
3 −2
1
0 3
0 −2 −2 0
Abbiamo |F | = 12 6= 0, i.e. ρ(F ) = 3, e |F | = −32 < 0, i.e. punti ellittici.
Il polinomio caratteristico di F e` (3 − t)(t − 4)(t − 1), che ha radici di segno
concorde. Allora Q risulta un ellissoide reale.
10. Sia k ∈ R un parametro reale e sia Qk ⊂ R3 la quadrica di equazione
2kx2 + 2kxy + ky 2 − 2xz − 2yz − z 2 − 2kx − 2ky − 2kz − k = 0.
(a) Determinare i valori di k ∈ R per cui Qk e´ degenere e riconoscere Qk in
questi casi.
Intersecando con l’ asse delle x si vede che ci sono almeno due punti reali per
ogni k 6= 0 e Qk non potr`a essere n`e un ellissoide immaginario, n`e un cono
immaginario, etc, etc. Le matrici associate a Qk sono:
2k k −1 −k
2k k −1
k
k −1 −k
k
k −1 .
Fk =
−1 −1 −1 −k , F =
−1 −1 −1
−k −k −k −k
Abbiamo |F k | = −k 2 (k + 1)(k − 1) e |Fk | = −k(k + 1). La quadrica Qk e`
non degenere per k 6= 0, 1, −1. Per k = 0 otteniamo la quadrica di equazione
z(z + 2x + 2y) = 0 di rango 2. Per k = −1, abbiamo ρ(F −1 ) = 3 e ρ(F ) = 2.
Si vede facilmente che si tratta di un cilindro ellittico. Se k = 1, abbiamo un
cono reale.
(b) Determinare, se esistono, i valori di k ∈ R per cui Qk e` un iperboloide
iperbolico.
Supponiamo ora k 6= 0, 1, −1. La quadricha Qk e` non-degenere e ha punti
iperbolici se e solamente se |F k | > 0 e quindi se e solamente se −1 < k < 1,
k 6= 0. Per questi valori Qk risulta un iperboloide iperbolico.
11. In R3 sia l la retta di equazioni cartesiane x + y + z = 0 = y − z e sia m la retta
di equazioni parametriche x = t ; y = 1 + t ; z = −1 + t; t ∈ R.
(a) Calcolare d(l, m).
La retta m risulta ortogonale a l. Sia Π il piano di equazione y − z = 0.
Abbiamo m ∩ Π = ∅ e kΠ. Le rette l e m sono sghembe. Sia P = (0, 1, −1) ∈
m. Deduciamo che
√
|1 − (−1)|
d(l, m) = d(P, Π) = p
= 2.
12 + (−1)2
(b) Determinare la parabola Γ avente direttrice l e fuoco F = (1, 1, −2).
La parabola Γ e´ l’ intersezione del piano Π0 contenente l e F , avente equazione
cartesiana x + y + z = 0 con il luogo Q dei punti P = (a, b, c) ∈ R3 tali che
d(P, l) = d(P, F ).
Abbiamo
d(P, F )2 = (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c + 2)2 = a2 + b2 + c2 − 2a − 2b + 4c + 6.
Calcoliamo ora d(P, l). La retta l ha equazioni parametriche x = −2t; y = t; z =
t; t ∈ R. Il piano Π00 , ortogonale l e passante per P , ha equazione cartesiana
−2(x − a) + (y − b) + (z − c) = 0. Questo piano interseca l nel punto Q =
, b+c−2a
, b+c−2a
. Quindi
(− b+c−2a
3
6
6
d(P, l)2 = d(P, Q)2 = (a +
=(
12.
b + c − 2a 2
b + c − 2a 2
b + c − 2a 2
) + (b −
) + (c −
) =
3
6
6
a+b+c 2
2a + 5b − c 2
2a − b + 5c 2
) +(
) +(
).
3
6
6
(a) Scrivere l’ equazione del fascio Φ di coniche tangenti alla retta l : x +
y = 0 = z nel punto O = (0, 0, 0), passanti per A = (2, 1, 0) e aventi
x − y = 0 = z come asse di simmetria.
Le coniche sono contenute nel piano z = 0 e quindi utilizzeremo per descrivere
il fascio le coordinate (x, y). Poich´e x − y = 0 e´ asse di simmetria, le coniche
passano anche per il punto B = (1, 2), simmetrico di A rispetto all’ asse di
simmetria. Per generare il fascio utilizzeremo le coniche degeneri Φ1 = l ∪
hA, Bi e Φ2 = hO, Ai ∪ hO, Bi.
L’ equazione del fascio risulta
(x + y)(x + y − 3) + t(x − 2y)(2x − y) = 0,
che diventa
(2t + 1)x2 + (2 − 5t)xy + (2t + 1)y 2 − 3x − 3y = 0.
(b) Riconoscere le coniche del fascio Φ.
Abbiamo
Ft =
4t + 2 2 − 5t
2 − 5t 4t + 2
.
Le coniche riducibili del fascio sono Φ1 con molteplicit`a 1 e Φ2 con molteplicit`a
2. Per t 6= 0, ∞ la conica Φt risulta irriducibile. Abbiamo |F t | = t(−9t + 36).
La conica Φ4 e´ una parabola. Per 0 < t < 4 la conica Φt e´ una ellisse, che per
t = 52 e´ una circonferenza. Per t < 0 e t > 4 la conica Φt e´ una iperbole, che
risulta equilatera per t = − 12 .
(c) Scrivere l’ equazione della sfera S ⊂ R3 passante per Q = (1, 1, 1) e
contenente l’ unica circonferenza del fascio Φ.
La circonferenza del fascio Φ ha centro C = (s, s, 0) sull’ asse di simmetria e si trova
a distanza uguale da A e da O. Deduciamo
2s2 = d(C, O)2 = d(C, A)2 = (s − 2)2 + (s − 1)2
e quindi s = 65 e C = ( 56 , 56 , 0). Il centro Ct della sfera si trova sulla retta n, ortogonale a z = 0 e passante per C le cui equazioni parametriche sono: x = 65 ; y =
5
; z = t; t ∈ R. Imponendo d(Ct , O)2 = d(Ct , Q)2 otteniamo
6
25
19
+ t2 = t2 − 2t +
18
18
e quindi t = − 16 . L’ equazione della sfera e´ :
5
5
1
51
(x − )2 + (y − )2 + (z + )2 =
6
6
6
36
che si semplifica a
3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 5x − 5y + z = 0.
13. In R3 consideriamo le rette
x = 2 +t
y=
t
l1 :
e
z = 2 +2t
x = −2 +s
y=
s
l2 :
z = 2 −2s
e la retta l3 di equazioni cartesiane x − y = 0 = z.
(a) Verificare che l1 , l2 e l3 sono a due a due sghembe.
Facile verifica lasciata allo studente.
(b) Determinare l’ equazione del luogo dei punti dello spazio descritto dalle
rette incidenti l1 , l2 e l3 . Riconoscere tale luogo.
Sia Pu = (u, u, 0) il punto generico della retta l3 . Determiniamo l’ unica retta lu
passante per Pu e incidente l1 e l2 . La retta l1 ha equazioni cartesiane x − y − 2 =
0 = x + y − z mentre la retta l2 ha equazioni cartesiane x − y + 2 = 0 = x + y + z.
Il piano Πu1 passante per Pu e contenente l1 ha equazioni cartesiane u(x − y + 2) −
(x + y + z) = 0 mentre il piano Πu2 passante per Pu e contenente l2 ha equazione
cartesiana u(x − y − 2) + (x + y − z) = 0. Quindi lu ha equazioni cartesiane
u(x − y + 2) − (x + y + z) = 0 = u(x − y − 2) + (x + y − z). Eliminando il
parametro u dalle equazioni cartesiane di lu si ottiene l’ equazione x2 − y 2 − 2z = 0.
Il luogo richiesto e` un paraboloide iperbolico.
14. Sia k ∈ R un parametro e sia Qk ⊂ R3 la quadrica di equazione
x2 + ky 2 + kz 2 + 2yz + 2kx + k = 0.
Riconoscere Qk al variare di k ∈ R.
Le matrici associate alla quadrica sono
1 0 0 k
0 k 1 0
Fk =
0 1 k 0
k 0 0 k
1
0
0
e Fk = 0 k 1 .
0 1 k
Deduciamo |F k | = −k(k + 1)(k − 1)2 e |Fk | = k 2 − 1. Gli autovalori di Fk sono
1, k + 1, k − 1.
Se k 6= 0, 1, −1 la quadrica risulta non degenere. Se k = 1 abbiamo ρ(F 1 ) = 2 e la
quadrica Q1 e` unione di due piani. Se k = −1, abbiamo ρ(F −1 ) = 3 e ρ(F−1 ) = 2 e
quindi Q−1 e´ un cilindro, che risulta iperbolico essendo gli autovalori non nulli di F−1 di
segno discorde. Per k = 0 otteniamo ρ(F 0 ) = 3 = ρ(F0 ) e Q0 e´ un cono reale perch`e gli
autovalori di F0 sono di segno discorde.
Supponiamo ora k 6= 0, 1, −1. Osserviamo che in questo caso Qk non e´ mai un paraboloide e quindi sar´a o un ellissoide o un iperboloide. Abbiamo |F k | > 0 se e solamente se
−1 < k < 0. Per −1 < k < 0 avremo quindi un iperboloide iperbolico o a una falda visto
che gli autovalori sono di segno discorde (due positivi e uno negativo).
Se k < −1, allora k + 1 < 0 e quindi gli autovalori hanno segni distinti. Pertanto se
k < −1 abbiamo Qk e` un iperboloide ellittico o a due falde.
Sia ora k > 0. Se k > 1, allora k + 1 > 0 e k − 1 > 0 e Qk e´ un ellissoide reale.
Se 0 < k < 1 gli autovalori hanno segno discorde e avremo un iperboloide ellittico.
In conclusione per k < −1 e per 0 < k < 1 abbiamo iperboloidi ellittici; per −1 <
k < 0 abbiamo iperboloidi iperbolici mentre per k > 1 abbiamo ellissoidi reali.
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