A Daniela Tondini Fondamenti di Matematica Volume zero Copyright © MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, /A–B  Roma ()   ---- I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: settembre  11 5 5 5 7 9 22 23 4 ` ] _ 31 31 31 32 5 6 8 41 4 8 8 9 3 3 3 5 6 6 2 9 10 Indice Indice 3 3 3 100 3 109 8 90 4 11 12 Introduzione Introduzione 13 CAPITOLO I CENNI ALLA TEORIA DEGLI INSIEMI Non sappiamo dove cominciare la nostra analisi del mondo. La tradizione scientifica non ce lo dice. Ci dice solo dove e come hanno cominciato altri, e dove sono arrivati. Karl Popper Introduzione La teoria degli insiemi costituisce la base per ogni argomentazione di carattere matematico: oltre a permettere di definire e descrivere i concetti matematici, rapidamente e con il loro giusto rigore, infatti, consente di realizzare, con una certa efficacia, quella che da sempre è stata una delle caratteristiche tipiche dei matematici, ovvero la generalizzazione degli argomenti oggetto di indagine e, al tempo stesso, l’unificazione di tutti quei modelli che, a prima vista, potrebbero sembrare tra loro assai lontani. Georg Cantor 1, con la sua opera fondamentale del 1880, Memorie, è considerato, a tutti gli effetti, il padre della teoria degli insiemi, nata e sviluppatasi per meglio comprendere l’infinito e l’astratto in Matematica: con l’avvento di tale teoria, infatti, si sono aperte nuove vie al pensiero umano e tutto l’edificio logico della matematica si è rafforzato sempre più. Si sono raggiunti, poi, gli apici con il movimento Bourbakista 2, la cui descrizione si trova nell’opera, Elements de Matematique, suddivisa in circa trenta volumi, che si era posto, quale obiettivo, la revisione dell’intera matematica da un punto di vista assiomatico ed astratto. Altra tappa fondamentale è stata la prova di Gödel 3, secondo cui risulta impossibile dimostrare la non contraddittorietà di un sistema razionale attraverso i mezzi offerti dal sistema stesso. 1. Generalità Com’è ben noto, dare una definizione significa introdurre un concetto nuovo mediante altri già noti, ovvero definiti in precedenza. Esempio Nel momento in cui si afferma che un numero naturale è primo se non ha alcun divisore, oltre all’unità e a se stesso, si definisce il concetto 1 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 1845–Halle, 1918), matematico tedesco. 2 Movimento del pensiero matematico contemporaneo che trae origine da Nicolas Bourbaki, eteronimo con il quale, dal 1935 fino al 1983, un gruppo di matematici di alto profilo, soprattutto francesi, ha scritto una serie di libri per l’esposizione sistematica di nozioni della matematica moderna avanzata, con l’obiettivo di basare l’intera matematica, attraverso testi che fossero il più possibile rigorosi, sulla teoria degli insiemi. 3 Kurt Gödel (Brno, 1906–Princeton, 1978), matematico, logico e filosofo austriaco naturalizzato statunitense, noto soprattutto per i suoi lavori sull’incompletezza delle teorie matematiche. 15 1612 Fondamenti Capitolo I di Matematica di numero primo mediante quelli, già noti, di numero naturale e di divisore. Ogni definizione, dunque, presuppone altre definizioni ad essa precedenti. Risulta evidente, pertanto, che deve esserci un qualcosa (uno o più concetti) di non definito, denominato ente primitivo, che serve quale punto di partenza per tutto ciò che segue. Esempio Le parole punto, retta, piano rappresentano concetti primitivi in quanto non è possibile definirli esplicitamente: per poterne parlare, infatti, bisogna ricorrere alla via assiomatica oppure a quella intuitiva o ingenua 4. In virtù di quanto sopra asserito, quindi, anche i concetti di insieme e di oggetto vengono considerati primitivi, ovvero non suscettibili di definizione: un insieme, infatti, non è altro che un ente costituito da un certo numero di oggetti. Gli insiemi sono indicati, in genere, con le lettere maiuscole dell’alfabeto italiano, A, B, C ,... , mentre gli oggetti che li costituiscono con le lettere minuscole, a, b, c,... Un insieme, pertanto, risulta assegnato quando, per ogni suo oggetto, è possibile stabilire se esso appartiene o non appartiene all’insieme considerato; in altre parole, dati l’elemento a e l’insieme A deve risultare possibile una ed una sola delle seguenti alternative: a A (a è elemento di A) a A (a non è elemento di A) In particolare un insieme è dato quando è noto l’elenco degli elementi che vi appartengono. Esempio A ^a, b, c` è l’insieme costituito dagli oggetti a, b, c . Un insieme privo di elementi si dice insieme vuoto e si denota con il simbolo . Un esempio di insieme vuoto è l’insieme dei numeri reali il cui quadrato è 4 . Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi ed il numero dei suoi elementi prende il nome di potenza, o cardinalità, dell’insieme; due insiemi con la stessa cardinalità si chiamano equipotenti. Un insieme che non è finito si dice infinito. Un insieme, inoltre, può essere rappresentato attraverso: - la rappresentazione estensiva o per elencazione, che consiste nell’elencare, all’interno di una coppia di parentesi graffe, gli elementi dell’insieme; 4 Dare una definizione per via assiomatica significa far precedere ad essa alcune proposizioni, dette assiomi, che si accettano per vere; la teoria ingenua degli insiemi, invece, considera questi ultimi come collezioni di oggetti. I. Cenni alla degli insiemi Cenniteoria alla teoria degli insiemi - - 17 13 la rappresentazione intensiva o per proprietà, che consiste nell’elencare, tra due parentesi graffe, una o più proprietà di cui godono gli elementi che formano l’insieme; la rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn, usata soprattutto per illustrare le relazioni e le operazioni fra gli insiemi dati, che consiste nel riportare dentro una figura, di forma ovale o tonda, gli elementi dell’insieme. Siano A e B due insiemi. Se ogni elemento di B appartiene anche ad A si dice che B è incluso in A o che B è un sottoinsieme di A; lo si indica con B A e lo si rappresenta, attraverso i diagrammi di Eulero-Venn, nel modo seguente: A B fig.1 Se ogni elemento di A appartiene a B ed ogni elemento di B appartiene ad A allora A è uguale a B; in simboli A B . Se B è un sottoinsieme di A, ma risulta A z B, allora vuol dire che esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B; in tal caso si dice che B è incluso propriamente in A; in simboli B A (fig.1). L’insieme che ha per elementi i sottoinsiemi di un insieme A prende il nome di insieme delle parti di A; a tale insieme appartengono sia A sia l’insieme vuoto . 2. Operazioni con gli insiemi Siano A e B due insiemi. Si chiama intersezione di A e di B, e lo si indica con il simbolo A B , l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B (fig.2). A B A B fig.2 1814 Fondamenti Capitolo I di Matematica Se B A allora A B B (fig.1); se, invece, A e B sono insiemi disgiunti, ovvero non hanno elementi comuni, allora la loro intersezione è l’insieme vuoto, cioè A B . Si chiama unione di A e B, e lo si indica con il simbolo A B , l’insieme costituito dagli elementi che appartengono o ad A o a B. Se B A allora A B A . Esempi 1) Sia P l’insieme dei numeri naturali pari e sia D l’insieme dei numeri naturali dispari. Risulta P D e P D ` . 2) Sia A l’insieme dei giorni della settimana e sia B ^lunedì, martedì, mercoledì` . Risulta A B B e A B A , perché è B A . Si definisce differenza tra gli insiemi A e B, e lo si indica con il simbolo A B , l’insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. Se B A , allora A B si chiama complementare di B rispetto ad A. Esempio Siano A ^0,1, 2,3, 4` e B ^1,3,5, 7,9` . Allora risulta: ^1,3` ; A B ^0,1, 2,3, 4,5, 7,9` ; A B ^0, 2, 4` ; B A ^5, 7,9` A B Dati due insiemi A e B non vuoti si definisce prodotto cartesiano di A e B, e lo si denota con A u B , l’insieme delle coppie ordinate a, b in cui a A e b B ; in simboli A u B ^ a, b : a A, b B` . All’insieme A u B , pertanto, appartengono tutte le possibili coppie in cui il primo elemento si trova sempre nel primo insieme del prodotto ed il secondo elemento nel secondo insieme. A tal riguardo, occorre sottolineare che le coppie del prodotto cartesiano sono ordinate, cioè la coppia a, b è diversa dalla coppia b, a , da cui segue A u B z B u A , ovvero il prodotto cartesiano di due insiemi non è commutativo. Se risulta poi B A , allora ci si trova di fronte al prodotto cartesiano di un insieme per se stesso, in simboli A u A o anche A2 . Inoltre, se uno dei due insiemi del prodotto è l’insieme vuoto, ad esempio è B , allora risulta A u u A , da cui segue, in particolare, u . Esempi 1) Sia A ^0,1` e B ^a, b, c` . Allora si ha: Au B Bu A ^(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)` ^(a, 0), (b, 0), (c, 0), (a,1), (b,1), (c,1)` I. Cenni alla degli insiemi Cenniteoria alla teoria degli insiemi 19 15 ^5, 6, c` , allora si ottiene: A u A ^(5,5), (5, 6), (5, c), (6,5), (6, 6), (6, c), (c,5), (c, 6), (c, c)` 2) Se A Dato un insieme A non vuoto, si considerino i suoi sottoinsiemi Ai i 1, 2,..., n tali che: - Ai z Ai A Ai Aj i 1, 2,..., n i 1, 2,..., n i, j 1, 2,..., n n - *A i A i 1 In tal caso si dice che gli Ai i 1, 2,..., n costituiscono una partizione di A (fig.3). A2 A4 A1 A3 A5 fig.3 3. Relazioni Gli errori fatali della vita non sono davanti al fatto che l’uomo sia un essere irragionevole: un momento di irragionevolezza può essere il nostro momento più alto. Gli errori sono dovuti al fatto che l’uomo è un essere logico. Oscar Wilde Il linguaggio comune, cioè la lingua parlata, è costituito da frasi che, in genere, sono chiamate proposizioni. Ad esempio: a) Madrid è la capitale della Spagna; b) oggi piove?; c) 3 è maggiore di 7; d) non ti muovere!; sono tutte proposizioni. Anche la matematica, però, fa uso di proposizioni, se pur con un significato più restrittivo rispetto alla lingua parlata: in matematica, in particolare nella logica matematica 5, infatti, si definisce proposizione una frase di cui si può dire, senza ambiguità, se è vera o falsa, assumendo i concetti di vero e falso come primitivi. 5 Cfr. paragrafo 6.