LA TEORIA DEGLI INSIEMI
1
La TEORIA DEGLI INSIEMI è strettamente
connessa con molti settori della matematica e con
l'elettronica digitale
TEORIA DEGLI INSIEMI
RELAZIONI
TEORIA DEI NUMERI
FUNZIONI
ALGEBRA
ANALISI
LOGICA
GEOMETRIE
2
Il concetto di insieme è un
CONCETTO PRIMITIVO
3
Definizione
Nel linguaggio comune il termine insieme indica un
raggruppamento, una raccolta, una collezione di
elementi che possono essere oggetti, individui,
simboli, numeri, figure geometriche…individuabili in
un certo modo mediante un criterio oggettivo.
Un insieme si può considerare definito solo se è
possibile decidere inequivocabilmente se un elemento
appartiene o no all’insieme.
4
Esempi:
●
●
“Gli alunni simpatici di questa classe” non costituiscono un
insieme, perché non si conosce un criterio oggettivo in
base al quale un alunno è considerato simpatico, ma
esistono soltanto criteri soggettivi.
Invece “gli alunni di questa classe più alti di 1,70 m”
costituiscono un insieme; infatti posso stabilire,
misurando la loro altezza, quali alunni appartengono al
suddetto insieme e quali no; quindi ho un criterio
oggettivo.
5
Il simbolo di appartenenza
Generalmente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole:
A, B, C, …, X, Y, …
Gli elementi di un insieme con lettere minuscole:
a, b, c, …, x, y, …
Per indicare che un elemento “a” appartiene ad un insieme A si usa
il simbolo di appartenenza ∈;
la scrittura a ∈ A si legge “a appartiene ad A”.
Per indicare invece che un elemento x non è dell’insieme A, si scrive
x ∉ A, e si legge “x non appartiene ad A”.
6
Rappresentazioni di un insieme
Un insieme può essere rappresentato in 3 modi diversi:
●
In modo estensivo;
●
In modo intensivo;
●
Con i diagrammi di Eulero-Venn.
7
1) Rappresentazione estensiva (tabulare)
La rappresentazione estensiva o tabulare consiste nell’elencare i nomi
degli elementi dell’insieme scrivendoli tra parentesi graffe, senza
ripetizioni e senza dare importanza all’ordine.
Esempio
Consideriamo l’insieme C delle consonanti della parola “stivale”;
la sua rappresentazione estensiva è:
C={s,t,v,l}
8
2)
Rappresentazione
intensiva
(Rappresentazione per caratteristica)
La rappresentazione intensiva di un insieme è la specificazione di
una proprietà p(x), se esiste, che ne caratterizza gli elementi.
Esempio
L’insieme A dei numeri naturali minori di 5 può essere così
rappresentato:
A= {x∈N / x < 5}
A = {0, 1, 2, 3, 4}
9
3) Rappresentazione con diagrammi
Con i diagrammi di Eulero-Venn si dà una
rappresentazione geometrica:
gli elementi all’interno della linea appartengono
all’insieme A, quelli all’esterno no.
f
b
a
g
c
d
A
e
10
Insiemi uguali
DEF Diremo uguali due insiemi A e B quando hanno esattamente gli
stessi elementi, ossia quando ogni elemento di A appartiene a B e
quando ogni elemento di B appartiene ad A.
Per indicare che due insiemi A e B sono uguali scriveremo A=B.
E’ questo il cosiddetto:
principio di equiestensione
11
Esempio
Sia C l’insieme delle consonanti della parola “stivale” e D quello delle
consonanti della parola “velista”; rappresentiamoli:
C= {s,t,v,l}
D= {v,l,s,t}
Poiché i due insiemi contengono gli stessi elementi, per il principio
di equiestensione, essi sono uguali:
C=D
12
Insieme vuoto
Consideriamo ora l’insieme dei cerchi con 3 angoli.
L’insieme è ben definito, ossia esiste un criterio oggettivo
per stabilire se un elemento appartiene o no a questo
insieme, eppure ci rendiamo conto che non esiste alcun
elemento che soddisfi la proprietà enunciata perché non
esistono cerchi che abbiano degli angoli; allora:
DEFINIZIONE
Definiamo insieme vuoto l’insieme che non ha alcun
elemento. Tale insieme lo indicheremo con il simbolo:
Ø oppure { }
13
Insieme ambiente o universo
Quando si rappresenta un insieme mediante la proprietà caratteristica,
occorre indicare l’ambiente da cui trarre gli elementi x dell’insieme.
Questo ambiente, cioè la totalità degli elementi, è esso stesso un
insieme e viene detto:
insieme ambiente o insieme universo.
14
Sottoinsiemi
B ⊆ A
B
•0
A
•1
•3
•4
•2
Un insieme può essere contenuto in un altro
Tutti gli elementi di B appartengono anche a A
Es: B={1,2} A= {0,1,2,3,4}
15
OPERAZIONI TRA INSIEMI
Intersezione
Unione
Differenza
Differenza complementare
16
Si definisce intersezione di due insiemi A e B,
l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B.
A
l’intersezione è la
parte colorata
B
17
Dati ad esempio i due insiemi
A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l’intersezione tra
A e B è data dal seguente insieme:
A ∩ B = {2, 4}
Il simbolo ∩ è il simbolo che caratterizza l’operazione.
Si può leggere “A intersecato B” oppure “A e B”.
18
Dati ad esempio i due insiemi
A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l’intersezione tra A e
B è data dal seguente insieme:
A ∩ B = {x x ∈ A e x ∈ B}
19
CASI PARTICOLARI
DELL’INTERSEZIONE
20
Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli
elementi che appartengono ad almeno uno dei due
insiemi dati.
A
l’unione è la parte
colorata
B
21
Dati ad esempio i due insiemi
A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l’unione tra A
e B è data dal seguente insieme:
A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Il simbolo ∪ è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si
può leggere “A unito B” oppure “A o B”.
22
Dati ad esempio i due insiemi
A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l’unione tra A e B è
data dal seguente insieme:
A ∪ B = {x x ∈ A o x ∈ B}
23
CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
24
Insieme differenza
Dati 2 insiemi A B si chiama Differenza di A
rispetto a B e si scrive A – B l’insieme degli
elementi di A che non appartengono ad B.
Es : A ={1,2,5,6} B ={1,2,3,4} A-B={5,6}
A
5
6
1
2
3
B
4
25
Dati ad esempio i due insiemi
B = {1,2,3,5} e A = {2,3}, accade che:
B - A = {1,5}
A-B={}
26
L’operazione di differenza complementare non
soddisfa la proprietà commutativa, cioè:
B-A ≠Α-B
Infatti...
27
Con i diagrammi di Venn, l’esempio precedente
diventa:
B-A
B
.1
A
.2
.3
.5
28
Esempio……
Siano E={a, b,c,d}
F={c, d, e, f, g},
Quindi D = E - F = {a, b}
29
Le proprietà delle operazioni tra insiemi
PROPRIETÀ DELL’INTERSEZIONE
Commutativa
Associativa
Distributiva dell'intersezione rispetto all'unione
A∩B=B∩A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
PROPRIETÀ DELL’UNIONE
A∪B=B∪A
Commutativa
Associativa
Distributiva dell'unione rispetto all'intersezione
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Valgono poi le seguenti leggi di De Morgan:
Prima legge:
A ∩ B =A∪B
Seconda legge:
A∪B= A ∩ B
30
Si definisce prodotto cartesiano (e si
legge “A per B” oppure “A cartesiano B”) tra
due insiemi A e B non vuoti l'insieme
formato da tutte le coppie ordinate tali che il
1° elemento ∈ ad A ed il 2° elemento ∈ a B.
Dati gli insiemi
A={2, 4} B={a,f}
AxB={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)}
31
Attenzione: per l’operazione
cartesiano non vale la
commutativa! ΑxΒ≠ΒxΑ
prodotto
proprietà
Infatti, dati gli insiemi
A={2, 4} B={a,f}
AxB={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)}
BxA={(a,2);(a,4);(f,2);(f,4)}
32
Rappresentazione del prodotto cartesiano
Rappresentazione del prodotto cartesiano:
1- mediante l’elenco delle coppie ordinate
2- mediante un diagramma a frecce
3- mediante una tabella a doppia entrata
4- mediante un diagramma cartesiano
33
Rappresentazione del prodotto cartesiano
ESEMPIO
A = {a, b, c}
1.
A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
.a
2.
3.
B
1
2
a
(a, 1)
(a, 2)
b
(b, 1)
(b, 2)
c
(c, 1)
(c, 2)
A
4.
.b
.1
.c
B = {1, 2}
.2
2
1
a
(a, 2)
(b, 2)
(c, 2)
(a, 1)
(b, 1)
(c, 1)
b
c
34
Definizione e caratteristiche
Si dice funzione una corrispondenza tra gli elementi di due insiemi A e B che ad ogni elemento di A associa uno e
uno solo elemento di B.
f:A
B indica che f è una funzione definita da A a B.
f:x
y indica che all’elemento x ∈ A è associato l’elemento y = f(x) di B.
y : immagine di x
x : controimmagine di y
A : dominio
f (A) ⊆
B : codominio, insieme costituito dagli elementi y di B immagine di almeno un x ∈ A
35
Rappresentazione
Dati gli insiemi:
A = { x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 5 } e B = { y ∈ N | 1 ≤ y ≤ 8}
Vogliamo rappresentare la funzione f che associa ad ogni numero naturale di A il successivo in B.
La funzione f può essere definita dall’espressione y = x + 1
A
B
.0
.1
.1
.7
.2
.4
.3
.3
.8
.4
.5
.2
.5
.6
36
36
Rappresentazione
2. Rappresentazione per elencazione delle coppie (x, y)
f = { (0, 1); (1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6) }
dove le coppie sono elementi del prodotto cartesiano A x B.
3. Rappresentazione con diagramma cartesiano
37
Funzione inversa
Una funzione può essere:
una corrispondenza univoca: ad ogni x è associato un solo y
una corrispondenza biunivoca: ad ogni x è associato un solo y e ad ogni y è associato un solo x. In questo caso
si dice che la funzione è invertibile.
ESEMPIO
f
Corrispondenza biunivoca, f invertibile.
f
Corrispondenza univoca.
f −1
38
Prodotto di funzioni
Si dice che la funzione k è il prodotto delle due funzioni f e g e si scrive
k=g f
Intendendo con questa scrittura che la funzione g è applicata agli elementi individuati dalla funzione f.
ESEMPIO
A
C
f
B
g
x
z
y
k=g f
39
Prodotto di funzioni
ESEMPIO
Sia f : Z → Z, definita dalla relazione y = x + 2 e sia g : Z → Z , definita dalla relazione z = 2y – 4.
In questo caso il dominio di g (l’insieme Z) è il codominio di f (l’insieme Z).
Possiamo allora considerare la funzione k : Z → Z dove k = g ○ f.
Si ha ad esempio che
• f (1) = 1 + 2 = 3
g (3) = 2 3 − 4 = 2
quindi k (1) = 2
• f (−1) = −1 + 2 = 1
g (1) = 2 1 − 4 = −2
quindi k (−1) = −2
f
g
2(x+2)−4
x
x+2
g f
40
© Copyright 2024 ExpyDoc
