Operazioni tra insiemi

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NUMERI RAZIONALI RELATIVI
Approfondimento
Operazioni tra insiemi
Le «operazioni tra insiemi» sono dei procedimenti che, a partire da due insiemi
dati, generano un terzo insieme.
a
Unione di insiemi
Sano dati i due insiemi: A ¼ f1, 2, 3, 4g e B ¼ f2, 4, 5g.
Costruiamo l’insieme C formato sia dagli elementi contenuti in A, sia da quelli
contenuti in B, considerando pero` una sola volta ogni eventuale elemento comune ad A e B. Si ha:
C ¼ f1, 2, 3, 4, 5g.
L’insieme C si chiama unione dell’insieme A con l’insieme B.
In generale, si da` la seguente:
DEFINIZIONE
RICORDA
In questa scrittura la
congiunzione «oppure»
ha il significato del
latino «vel»: o l’uno o
l’altro o tutti e due.
In questo caso, invece
di oppure, si puo`
utilizzare il simbolo _,
dovuto a
G. PEANO.
Si chiama unione di due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi che appartengono almeno a uno degli insiemi A e B.
Questo insieme si indica con il simbolo:
A [ B e si legge «A unione B», (o «A unito B»).
Possiamo scrivere:
A [ B ¼ fx j x 2 A oppure x 2 Bg.
Evidentemente A [ B ¼ x, se e solo
se A ¼ x e B ¼ x.
ESEMPI
1. f1, 2, 4g [ f2, 3, 4, 5g ¼ f1, 2, 3, 4, 5g, (fig. 1.5).
Figura 1.5
1
Figura 1.4
Mediante i diagrammi di EULEROVENN l’unione tra gli insiemi A e B
e` raffigurata dalla parte di piano
colorata (fig. 1.4).
4.3
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
2. f1, 2g [ fa, bg ¼ f1, 2, a, bg, (fig 1.6).
Figura 1.6
Figura 1.7
3. fa, bg [ fa, b, c, dg ¼ fa, b, c, dg.
Si noti che:
fa, bg fa, b, c, dg (fig 1.7).
4. f1, 2, 3g [ x ¼ f1, 2, 3g;
b
x [ x ¼ x.
Intersezione tra insiemi
Siano dati i due insiemi: A ¼ f1, 2, 3, 4g
e B ¼ f2, 4, 5g.
Costruiamo l’insieme D formato dagli elementi che stanno contemporaneamente tanto in A quanto in B. Si ha: D ¼ f2, 4g.
L’insieme D si chiama intersezione tra l’insieme A e l’insieme B.
In generale, si da` la seguente:
DEFINIZIONE
Si chiama intersezione di due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi
comuni ad A e B.
Questo insieme si indica con il simbolo:
A \ B , e si legge: «A intersezione B», (o «A intersecato B»).
Possiamo scrivere:
A \ B ¼ fx j x 2 A
e
x 2 Bg:
Evidentemente, se gli insiemi A e B non hanno elementi in comune, si ha A \ B ¼ x.
In tal caso A e B sono, come sappiamo (par. 1.1), disgiunti.
Figura 1.8
Mediante i diagrammi di EULERO -VENN, l’intersezione tra gli
insiemi A e B e` raffigurata dalla
parte di piano colorata (fig. 1.8).
2
4
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
ESEMPI
1. f1, 2, 4g \ f2, 3, 4, 5g ¼ f2, 4g, (fig. 1.9).
2. f1, 2g \ fa, bg ¼ x. Si noti che i due insiemi sono disgiunti, (fig. 1.10).
3. fa, bg \ fa, b, c, dg ¼ fa, bg. Si noti che fa, bg fa, b, c, dg, (fig 1.11).
Figura 1.9
Figura 1.10
Figura 1.11
4. f1, 2, 3g \ x ¼ x.
Sono di facile verifica le seguenti proprieta`.
Commutativa
1.
A [ B ¼ B [ A;
A \ B ¼ B \ A.
Associativa
2.
ðA [ BÞ [ C ¼ A [ ðB [ CÞ;
ðA \ BÞ \ C ¼ A \ ðB \ CÞ.
3.
A [ A ¼ A;
A \ A ¼ A.
4.
A [ x ¼ A;
A \ x ¼ x.
5.
A [ ðB \ CÞ ¼ ðA [ BÞ \ ðA [ CÞ;
Distributiva
A \ ðB [ CÞ ¼ ðA \ BÞ [ ðA \ CÞ.
Lo studente verifichi queste proprieta`, con l’uso di diagrammi di EULEROVENN, oppure considerando, ad esempio, gli insiemi:
A ¼ fa; b; cg;
B ¼ fc; dg;
C ¼ fc; eg:
Infine:
6.
c
Se A B, allora:
B [ A ¼ B;
B \ A ¼ A.
Insieme complementare
Siano dati un insieme E e un suo sottoinsieme A (fig. 1.12).
Si da` la seguente:
DEFINIZIONE
Figura 1.12
3
Si chiama insieme complementare di A rispetto a E, l’insieme formato dagli
elementi di E che non appartengono ad A.
4.3
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
Questo insieme si indica con CE A, oppure con E A e si legge «complementare di A rispetto ad E», oppure «differenza complementare fra E ed A».
Nella figura 1.13 la parte colorata e` E A.
Se poi E e` fissato e non c’e` possibilita` di equivoco, l’insieme complementare si
puo` indicare semplicemente con A:
Dalla definizione risultano le seguenti proprieta` (fig 1.12):
1.
A [ A ¼ E;
5.
A ¼ A ( proprieta` di involuzione).
2.
A \ A ¼ x;
3. E ¼ x;
4. x ¼ E;
ESEMPI
1. fa, b, cg fa, bg ¼ fcg;
2. f1, 2, 3, 4g f1, 3g ¼ f2, 4g
d
fa, b, cg fa, b, cg ¼ x;
f1, 2g x ¼ f1, 2g.
e f1, 2, 3, 4g f2, 4g ¼ f1, 3g.
Prodotto cartesiano di due insiemi
Dati due insiemi non vuoti A e B, che consideriamo, rispettivamente, come primo e secondo insieme, possiamo formare delle coppie ordinate di elementi, prendendone il primo elemento in A e il secondo elemento in B.
Se x 2 A e y 2 B, tutte le coppie ordinate del tipo ðx; yÞ sono elementi di un
nuovo insieme, detto prodotto cartesiano di A per B.
Si da`, cioe` la seguente:
DEFINIZIONE
Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama prodotto cartesiano di A per B, nell’ordine scritto, l’insieme di tutte le coppie ordinate ðx, yÞ con x 2 A e y 2 B.
Questo insieme si indica con il simbolo:
A B , e si legge: «A cartesiano B».
Possiamo quindi scrivere:
A B ¼ fðx, yÞ j x 2 A e y 2 Bg.
ESEMPI
Siano:
A ¼ f1, 2g
e
Si ha allora per definizione:
A B ¼ fð1, aÞ, ð1, bÞ, ð1, cÞ, ð2, aÞ, ð2, bÞ, ð2; cÞg;
e
B A ¼ fða, 1Þ, ða, 2Þ, ðb, 1Þ, ðb, 2Þ, ðc, 1Þ, ðc, 2Þg.
B ¼ fa, b, cg.
4
4
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
Dall’esempio dato si vede che:
A B 6¼ B A,
cioe`: il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprieta` commutativa. Questo perche´ ogni coppia e` ordinata, e quindi, ad esempio, ð1; aÞ 6¼ ða; 1Þ.
Nel caso, poi, che almeno uno dei due insiemi sia vuoto, allora non e` possibile
formare alcuna coppia, perche´ l’insieme vuoto e` privo di elementi.
In questo caso, si pone per definizione:
A x ¼ x A ¼ x;
x x ¼ x:
Valgono le seguenti proprieta` che si possono verificare su esempi.
1. A ðB [ CÞ ¼ ðA BÞ [ ðA CÞ.
2. A ðB \ CÞ ¼ ðA BÞ \ ðA CÞ.
Verificare queste proprieta`, utilizzando, ad esempio, gli insiemi:
A ¼ fa; bg; B ¼ f1; 2g; C ¼ f1; 3g.
3. Se A B ¼ x, allora A ¼ x, oppure B ¼ x, oppure A ¼ B ¼ x, e viceversa.
4. Se A B 6¼ x, allora A 6¼ x e B 6¼ x.
Se A ¼ B, invece di A A, si usa anche scrivere A2 .
Si chiama diagonale di A2 l’insieme delle coppie ða, aÞ, con a 2 A.
5
SAPER FARE
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
4.3
Ripasso punto per punto
Completare le seguenti frasi, inserendo termini appropriati al posto dei puntini.
1.
Alcune operazioni tra insiemi sono:
a) Intersezione: A \ B ¼ fxjx 2 A ..... x 2 Bg.
b) Unione: A [ B ¼ fxjx 2 A ..... x 2 Bg.
c) Differenza complementare: A ¼ E A ¼ fxjx 2 E e x:::::Ag, con A ::::: E.
d) Prodotto cartesiano: A B ¼ fðx; yÞjx 2 A e y 2 Bg.
Elencare le principali proprieta` di queste operazioni (con A; B; C EÞ:
Per iniziare
2.
Completare con la definizione la tabella di figura 1.13 e poi colorare, in ogni caso, l’insieme indicato.
a)
b)
A
B
A
B
A[B
A\B
B[C
B\C
A
A
C
c)
A
B
A
B
C
A[C
A\C
A
C
d)
B
B
C
B
A[B[C
C
A\B\C
A
B
C
Figura 1.13
6
4
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
Esercizi
Determinare l’intersezione e l’unione delle seguenti coppie di insiemi.
3.
a) A ¼ f7, 0, 6, 2, 3g;
B ¼ f0, 2, 3, 5g.
b) A ¼ f0, 2g;
B ¼ f2, 0g.
4.
a) A ¼ x;
B¼f
b) A ¼ fxg;
B ¼ f0g.
5.
a) A ¼ fa, b, c, dg;
B ¼ fb, dg.
b) A ¼ f1, 2, 3, 4g;
B ¼ f3, 4, 5g.
6.
a) A ¼ f2, 5, 7, 9g;
B ¼ x.
b) A ¼ f0, 2, 4, 6g;
B ¼ f1, 3, 5g.
a) A ¼ fx j x e` parig;
B ¼ fx j x e` disparig.
b) A ¼ fx j x e` multiplo di 3g;
B ¼ fx j x e` multiplo di 2g.
a) A ¼ fx j x 2 N e x < 16g;
B ¼ fx j x 2 N e x < 21g.
b) A ¼ fx j x 2 N e x þ 5 ¼ 0g;
B ¼ fx j x 2 N e 2x ¼ 0g.
a) A ¼ fx j x 2 N e x 3g;
B ¼ fx j x 2 N e x 7g.
b) A ¼ fx j x 2 N e x < 3g;
B ¼ fx j x 2 N e x 4g.
10.
A e` l’insieme dei divisori di 18;
B e` l’insieme dei divisori di 24.
11.
Siano:
A ¼ insieme dei rombi;
7.
8.
9.
g.
B ¼ insieme dei quadrati;
C ¼ insieme dei rettangoli;
determinare:
a) D [ C;
D [ B;
C [ A.
c) D \ C;
D \ B;
D ¼ insieme dei parallelogrammi,
C \ A.
Sapendo che A ¼ fx, y, z, vg, B ¼ fz, u, v, wg,
b) A [ D;
A [ B;
B [ C.
d) A \ D;
A \ B;
B \ C.
C ¼ fx, v, r, sg, determinare gli insiemi:
12.
ðA [ BÞ [ B;
ðA \ BÞ [ C;
ðA \ CÞ [ B.
13.
ðA [ BÞ \ C;
ðA [ BÞ [ C;
ðA [ CÞ \ C.
14.
ðA \ BÞ [ ðA \ CÞ;
ðB [ CÞ \ ðB [ AÞ.
15.
Sia A un sottoinsieme dell’insieme E; determinare il risultato di ciascuna delle seguenti operazioni:
a) A [ A ¼ :::;
b) A \ A ¼ :::;
c) A [ x ¼ :::;
d) A \ x ¼ :::;
e) A [ E ¼ :::;
f) A \ E ¼ :::;
g) ðA [ AÞ \ A ¼ :::;
h) A [ ðA [ AÞ ¼ :::;
i) ðA \ EÞ [ A ¼ :::;
7
l) ðA [ EÞ \ A ¼ ::: .
SAPER FARE
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
16.
Determinare E A nei seguenti casi:
a)
b)
c)
d)
e)
17.
E ¼ fa; b; c; dg,
E ¼ f1; 2g,
E ¼ fxjx 2 N e x < 7g,
E ¼ fx punti di un pianog,
E ¼ fx punti di un cerchiog,
A ¼ fa; bg,
A ¼ f1; 2; 3g,
B ¼ fb; cg;
B ¼ f4g.
Sia E l’insieme dei triangoli di un piano, A l’insieme dei triangoli isosceli, B l’insieme dei triangoli rettangoli. Definire, con linguaggio comune, i seguenti insiemi:
A;
19.
A ¼ fa; dg;
A ¼ f1g;
A ¼ fxjx 2 N e x < 3g;
A ¼ fx punti di un semipiano di Eg;
A ¼ fx punti interni a Eg.
Verificare che: se A; B E, allora: A \ B ¼ A [ B e A [ B ¼ A \ B, nei seguenti casi:
a) E ¼ fa; b; cg,
b) E ¼ f1; 2; 3; 4g,
18.
4.3
B;
A [ B;
A \ B;
A \ B;
A [ B;
A [ B;
A \ B;
A \ B:
Siano dati gli insiemi: A ¼ fp; q; r; sg; B ¼ fu; vg.
Costruire il prodotto cartesiano A B e darne una rappresentazione grafica.
20.
Siano dati gli insiemi: A ¼ fa; b; cg; B ¼ fug.
Costruire il prodotto cartesiano A B, e darne una rappresentazione grafica.
21.
Essendo: A ¼ fr; s; tg; B ¼ x, qual e` il prodotto cartesiano di A per B?
22.
Siano dati gli insiemi: A ¼ fa; b; cg; B ¼ f2; 3; 5g.
Costruire graficamente A B e B A, verificando che A B 6¼ B A, ma che A B e B A
hanno lo stesso numero di elementi.
23.
Si sa che: A B ¼ fð0; 1Þ; ð0; 2Þ; ð0; 3Þ; ð1; 1Þ; ð1; 2Þ; ð1; 3Þg. Determinare A e B.
24.
Determinare la «diagonale» del prodotto cartesiano A2 con A ¼ f1; 2; 3g.
25.
Dati gli insiemi A ¼ f1; 2g; B ¼ fag; C ¼ fp; q; rg, verificare che risulta:
a) A ðB \ CÞ ¼ ðA BÞ \ ðA CÞ:
b) A ðB [ CÞ ¼ ðA BÞ [ ðA CÞ.
c) A B 6¼ B A.
26.
Determinare il prodotto cartesiano A B nei seguenti casi:
a) A ¼ fa; b; cg;
27.
28.
B ¼ x.b) A ¼ x;
B ¼ f1; 3g:c) A ¼ x ¼ B:
L’insieme A B consta di 7 elementi. Quanti possono essere gli elementi di A e quelli di B?
Stesso problema precedente nel caso che A B abbia 8 elementi.
8
4
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
Problemi vari
29.
Sia S l’insieme degli studenti di una scuola composta da quattro classi A, B, C, D. Siano M ed N i sottoinsiemi di S composti dagli studenti iscritti rispettivamente a un gruppo ricreativo
e al cine-club. Questa situazione puo` essere illustrata dal grafico della fig. 1.14? Se sı`, quali ulteriori informazioni sono deducibili da esso?
½Nessun alunno di A e` iscritto al ...; tutti gli alunni di D ...;
nessun alunno di B e` iscritto sia ...
Figura 1.14
30.
In una classe di 24 alunni, 10 seguono un corso pomeridiano di inglese, 12 un corso di francese e 5 non seguono alcun corso. Visualizzare tale situazione mediante i diagrammi di VENN e
dedurre quanti allievi seguono entrambi i corsi.
½3
31.
In un gruppo di 18 amici, 10 giocano a tennis e 8 corrono in bicicletta. Di questi ultimi 4 giocano anche a tennis. Quanti non praticano nessuno dei due sport indicati? (Spiegare la risposta).
½4
32.
In un gruppo di 38 stranieri, 18 sono inglesi e 20 tedeschi. Di questi, 10 conoscono l’inglese.
Quanti fra questi turisti non conoscono ne´ l’inglese ne´ il tedesco? (Spiegare la risposta).
½0
33.
In un palazzo di 30 famiglie, 20 trascorrono le vacanze al mare, 5 in montagna e 10 al lago. Di
queste ultime, 3 vanno anche al mare e 2 sia al mare che in montagna. Quante famiglie restano a casa?
½0
34.
In una scuola europea di 100 alunni si possono frequentare, al massimo, due corsi di lingue.
28 imparano lo spagnolo, 30 il tedesco, 42 l’inglese, 8 lo spagnolo e il tedesco, 10 lo spagnolo
e l’inglese, 5 il tedesco e l’inglese.
Quanti allievi non imparano nessuna lingua. Quanti ne imparano una sola?
35.
In una scuola europea di 100 alunni: 15 imparano solo il tedesco, 21 il tedesco ma non lo spagnolo,
9 il tedesco e l’inglese, 30 il tedesco, 49 l’inglese, 25 lo spagnolo e l’inglese, 55 lo spagnolo.
Quanti alunni non imparano alcuna lingua?
36.
Risolvere con diagrammi di EULERO-VENN il seguente problema.
L’insegnante di Educazione Fisica fa una indagine fra i suoi alunni per sapere quali sport pratichino.
29 si dedicano al nuoto;
30 al calcio;
15 al tennis.
Di questi gruppi:
7 ragazzi praticano sia nuoto sia calcio;
5 sia nuoto sia tennis;
3 sia calcio sia tennis;
4 praticano tutti e tre gli sport.
Quanti sono, in tutto, i ragazzi? Quanti alunni praticano solo il nuoto? Solo il calcio? E solo il tennis?
9
SAPER FARE
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
4.3
37.
In un paese vengono venduti tre giornali A, B, C. In un certo giorno 26 persone acquistano i
giornali A e B; 50 B e C; 38 A e C; 11 persone comperano tutti e tre i giornali. Se di ogni giornale risultano vendute 200 copie, quante persone hanno acquistato uno o piu` giornali?
½464
38.
L’insieme A e` formato da una giubba nera, da una giubba bianca e da una giubba verde che indichiamo, rispettivamente, con le lettere a, b, c. L’insieme B e` formato da un paio di pantaloni
grigi, da un paio di neri, da uno di bianchi e da uno di rossi, che indichiamo rispettivamente
con p; q; r; s. Una persona vuol vestirsi prendendo una giubba dall’insieme A e un paio di pantaloni dall’insieme B. Qual e` l’insieme che rappresenta tutte le possibilita` di questa persona? Illustrare la risposta con una rappresentazione geometrica.
39.
Un ragazzo per andare a scuola puo` servirsi della bicicletta o farsi accompagnare in macchina
dal papa`. Per andare a scuola ci sono tre itinerari: a, b, c che sono circa della stessa lunghezza.
Rappresentare in modo opportuno tutte le possibilita` di scelta di quel ragazzo. Da quale prodotto cartesiano potrebbe essere individuato il numero di tutte le possibilita`?
10

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