PROBABILIT`A E PROCESSI STOCASTICI

` E PROCESSI STOCASTICI
PROBABILITA
A. Tancredi
Prova scritta del 4-6-2014
A Mario va a correrere con frequenza irregolare ma i suoi allenamenti sono sempre di 5,6,7
o 8 km. Indichiamo con Xn i km percorsi durante l’ennesimo allenamento. Sappiamo
che Mario adotta il seguente schema per decidere quanti chilometri correr`a
– Se i giorni passati dall’ultimo allenamento sono pi`
u di 6 far`a 5 km
– Se i giorni passati dall’ultimo allenamento sono al massimo 6 far`a un km in pi`
u
dell’ultima volta (se ha corso 8 km allora rifar`a 8 km)
Sappiamo anche che i giorni passati tra un allenamento e l’altro sono indipendenti e
identicamente distribuiti come una Geometrica
P (T = k) = (1 − p)k−1 p k = 1, 2, . . . ,
dove p = 0.235
1. Trovare la matrice di transizione P associata alla catena di Markov {Xn }
2. Sapendo che oggi Mario ha corso 5 km, calcolare la probabilit`a che nei prossimi
due allenamenti far`a in totale 13 km e la probailit`a che al secondo allenamento
far`a almeno 6 km.
3. Stabilire se la catena ha una distribuzioni limite e in caso determinarla
4. Se la catena converge, trovare limn→∞ E(Xn ) e limn→∞ V ar(Xn )
B Sia (X, Y ) una variabile normale bivariata
(
)
1
1
exp
(x2 − 2ρxy + y 2 )
f (x, y) = √
2
2(1 − ρ2 )
2π 1 − ρ
√
Sia Z = (Y − ρX)/ 1 − ρ2
1. Determinare la legge di Z
2. Stabilire se X e Z sono dipendenti o indipendenti
3. Trovare P (X > 0, Y > 0)
C Sia Sn = Sn−1 + Xn una passeggiata aleatoria semplice (Xn ∼ {−1, 1; (1 − p), p}) con
barriere assorbenti in 0 ed in N . Sia W l’evento corrispondente al raggiungimento della
barriera in 0 prima di quella di N . Sia pk = P (W |S0 = k)
1. Trovare P (X1 = 1|W, S0 = k) per 0 < k < N
1
2. Sia Jk la durata media della passeggiata condizionata a W e a S0 = k. Dimostrare
che Jk soddisfa la seguente relazione
ppk+1 Jk+1 − pk Jk + (pk − ppk+1 )Jk−1 = −pk
3. Calcolare J0
D Mario torna a casa con il 310. Il tempo di attesa dell’autobus `e Esponenziale con
media di 10 minuti se non c’`e traffico ed Esponenziale con media di 20 minuti con il
traffico. Inoltre la probabilit`a che ci sia traffico `e pari a 0.25. Sia T il tempo di attesa
dell’autobus e Z la variabile che assume il valore 1 in caso di traffico e 0 altrimenti
– Calcolare E(T ) e V ar(T )
– Calcolare P (T > 10)
– Calcolare P (Z = 1|T = t)
– Francesco torna a casa con l’88 e il tempo di attesa dell’autobus X `e Esponeziale
con media di 15 minuti ed indipendente da T . Calcolare P (X > T )
E Consideriamo un’urna con n palline nere e b palline bianche. Si estrae casualmente
una pallina e si nota il suo colore. Se la pallina `e bianca si ripone la pallina nell’urna
insieme ad una nuova pallina bianca. Se la pallina `e nera si ripone la pallina nell’urna
insieme ad una nuova pallina nera. La procedura si ripete infinite volte. Sia Xi = 1 se
la pallina estratta all’iesima estrazione `e nera e Xi = 0 se `e bianca
1. Dimostrare che Xi non `e una catena di Markov
2. Calcolare P (X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0, X4 = 1)
3. Calcolare P (X3 = 1)
4. Calcolare P (X1 = 1|X3 = 1)
5. Calcolare P (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1, X4 = 1). Rispetto al punto 2 `e stato ottenuto un risultato uguale o diverso? Provare a generalizzare il risultato ottenuto
2

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