Calcolo delle probabilità 1. Gli eventi

Calcolo delle probabilità
1. Gli eventi - definizioni propedeutiche
2. La probabiltà nella concezione classica
3. La probabiltà nella concezione frequentista
4. La probabiltà nella concezione soggettiva
5. La probabiltà nell’impostazione assiomatica
6. Formule del calcolo delle probabilità
a) Probabilità dell’evento complementare
b) Probabilità della somma logica
c) Probabilità condizionata ed eventi dipendenti e indipendenti
d) Probabilità composta o del prodotto logico
e) Probabilità totale o completa
f) Probabilità nello schema di Bernoulli delle prove ripetute
g) Teorema di Bayes
h) Probabilità nel continuo
7. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità
8. Esercizi
1. Gli eventi - definizioni propedeutiche
Ad ogni prova o esperimento o fenomeno, reale o concettuale (lancio di un dado,
estrazione di una carta, di un numero del lotto, di un pezzo prodotto da un amacchina, ecc.)
si può associare un insieme U, detto universo o spazio dei campioni o spazio
degli eventi, i cui elementi sono tuti i possibili risultati dell’esperimento o
prova o fenomeno.
1
Esempio
Per l’esperimento “lancio di un dado”, l’universo è U={1, 2, 3, 4, 5, 6},
sono eventi, per esempio:
A: “la faccia che compare è un numero primo”, A={2, 3, 5}
B: “la faccia che compare è un numero pari”, B={2, 4, 6}
C: “la faccia che compare è un numero dispari”, C={1, 3, 5}
in particolare:
Φ: l’evento impossibile corrisponde all’insieme vuoto (compare un numero > 6)
U: l’evento certo corrisponde all’insieme universo (compare un numero < 7)
Evento contrario o complementare
Se A è un evento, con A ⊆ U , il suo contrario o complementare è A¯ , l’evento
che si verifica se e solo se non si verifica A, con A ∪ A¯ = U .
Esempio
Per l’esperimento “lancio di un dado”, si ha:
universo U={1, 2, 3, 4, 5, 6}
evento A: “la faccia che compare è un numero primo”, A={2, 3, 5}
evento contrario o complementare A¯ : “la faccia che compare non è un numero
primo”, A¯ ={1, 4, 6}
A ∪ A¯ = U={1, 2, 3, 4, 5, 6} .
Eventi compatibili e incompatibili
Due eventi A e B si dicono incompatibili se i loro sottoinsiemi sono disgiunti,
cioè se A ∩ B = Φ.
Esempio
2
Per l’esperimento “estrazione di una carta da un mazzo da 40 carte”, si ha:
universo U={x/x è una delle 40 carte del mazzo}
e consideriamo i seguenti eventi:
A: “compare una carta di spade”, A={x/x è una delle 10 carte di spade}
B: “compare una carta di denari”, A={x/x è una delle 10 carte di denari}
C: “compare una figura”, C={x/x è una delle 12 figure}
avremo che:
A e B sono eventi incompatibili, A ∩ B = Φ.
A e C o B e C sono coppie di eventi compatibili, A ∩ C Φ e B ∩ C Φ.
2. La probabiltà nella concezione classica
(Pierre-Simon Laplace - Beaumont-en-Auge 1749 - Parigi 1827)
La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto fra il numero k dei
casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili,
giudicati egualmente possibili:
k
P (E) = n
con 0 6P (E) 6 1 ,
P(E) ǫQ
P(E)= 0 significa evento impossibile, P(E) = 1 significa evento certo.
Esempi
1. In un contenitore ci sono 14 biglie, delle quali 7 bianche, 4 rosse e 3 nere;
qual è la probabilità P(E) che estraendone una, essa sia bianca?
1
7
P (E) = 14 = 2
3
[50%]
2. Qual è la probabilità P(E) di vincere il terno, giocando tre numeri al lotto
su di un’unica ruota?
(Si estraggono per
ogni
ruota 5 dei primi 90 numeri interi; gli eventi possibili
90
sono quindi n= 5 , mentre quelli favorevoli sono pari al numero delle
cinquine che contengono i tre numeri giocati, assieme ad altri due qualsiasi
degli 87 numeri rimanenti, quindi sono
tanti quante le combinazioni di 87
87
numeri presi 2 alla volta, cioè k= 2 ) .
87
2
1
P (E) = 90 = 11748
5
3. Nel lancio di un dado calcolare la probabilità di ottenere un numero dispari:
P(E) = 3/6 .
4. Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte, calcolare la probabilità di
ottenere una figura: P(E) = 12/40 .
5. Si lanciano due dadi, calcolare la probabilità di avere due numeri uguali:
′
i casi possibili sono D6,2 = 62 = 36 ;
i casi favorevoli sono 6, quindi P(E) = 6/36 = 1/6.
6. Si lanciano due dadi, calcolare la probabilità di avere 5 come somma delle
due facce:
′
i casi possibili sono D6,2 = 62 = 36 ;
i casi favorevoli sono 4: (1;4), (4;1), (2;3), (3;2), quindi P(E) = 4/36 =1/9.
7. Si lanciano 3 monete; calcolare la probabilità di avere due teste e una croce:
′
i casi possibili sono D2,3 = 23 = 8, (T;T;T), (C;C;C), (T;T;C), (T;C;T), (C;T;T),
(C;C;T), (C;T;C), (T;C;C);
i casi favorevoli sono 3, (in grassetto), quindi P(E) = 3/8 .
8. Un’urna contiene 5 palline rosse e 10 palline nere tutte uguali fra loro,
distinguibili solo per il colore. Si estraggono contemporaneamente 2 palline.
4
Calcolare:
a) la probabilità di estrarre 2 palline rosse;
b) la probabilità di estrarre 1 pallina rossa e 1 pallina nera.
I casi possibili sono C15,2 =
15
2
5
2
a) casi favorevoli : C5,2 =
= 105.
= 10 , quindi P(E)=10/105=2/21;
b) casi favorevoli : 5 · 10 = 50, quindi P(E)=50/105=10/21.
3. La probabiltà nella concezione frequentista
Non è sempre possibile applicare la definizione classsica di probabilità, come
per esempio quando i casi possibili e quelli favorevoli sono molto numerosi o
addirittura infiniti, oppure quando si devono calcolare probabilità di eventi
quali la probabilità che una persona di 50 anni raggiunga l’età di 70, che da
una macchina esca un pezzo difettoso in un determinato intervallo di tempo,
che un farmaco dia esiti positivi nella cura di una patologia, ecc.
Questi eventi sono trattati mediante la concezione frequentista che si
può applicare quando si possono eseguire tante prove (esperimenti), oppure
quando sono disponibili tavole di rilevazioni statistiche.
La concezione frequentista è basata sulla definizione di frequenza relativa di
un evento.
Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate
nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero k delle prove nelle
quali l’evento si è verificato ed il numero n delle prove effettuate:
f=
k
n
con
06f 6 1 , f ǫQ
Nel contesto frequentista non si può più parlare di evento impossibile, se f
= 0, o di evento certo, se f =1, ma, fatto importante, che il rapporto f tende
a stabilizzarsi, se il numero di prove n è sufficientemente alto.
Per eventi, per i quali è possibile calcolare la probabilità secondo la concezione
classica, viene enunciata la
legge empirica del caso: in una serie di prove, ripetute un gran numero
di volte, eseguite nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad assumere
valori prossimi alla probabilità dell’evento e, generalmente, l’approssimazione
è tanto maggiore quanto più grande è il numero delle prove eseguite.
Dalla legge empirica del caso segue la definizione frequentista di probabilità:
5
la probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di
prove ritenuto sufficientemente elevato.
Esempio
Dalle tavole demografiche maschili 1970-1972 si rileva che 88.867 uomini di 50
anni, 59.690 ragiungono i 70 anni, dalle tavole demografiche femminili 19701972 si rileva che di 93.039 donne di 50 anni 75.923 raggiungono i 70 anni.
Calcolare per gli uomini e per le donne di 50 anni la probabilità di raggiungere
i 70 anni.
59.690
F 0, 67168, cioè circa il 67% .
88.867
75.923
Pdonne = fd =
F 0, 81603, cioè circa l’ 82% .
93.039
Puomini = fu =
4. La probabiltà nella concezione soggettiva
Il calcolo delle probabilità effettuato mediante i criteri oggettivi delle concezioni classica e frequentista non è applicabile in molti contesti, per i quali si
può procedere solo con criterio soggettivo, come, per esempio, per rispondere
ai seguenti quesiti:
· qual è la probabilità che la squadra di calcio X vinca lo scudetto?
· qual è la probabilità che il nuovo modello di automobile Y incontri il favore
del pubblico ?
In questi casi si stima la probabilità in base allo stato di informazione:
la probabilità P(E) di un evento E è la misura che un individuo coerente
attribuisce, in base alle sue informazioni ed alle sue opinioni, al verificarsi
dell’evento E.
L’individuo “coerente" deve attribuire lo stesso valore di probabilita’ a fenomeni simili (il
tifoso non sempre è coerente).
P (E) = attribuzione soggettiva
con 0 6P (E) 6 1 ,
P(E) ǫR
P(E)= 0 significa evento giudicato impossibile,
P(E) = 1 significa evento giudicato certo.
Esempio
Un imprenditore può attribuire una valutazione prudente del 40% al successo
del nuovo modello di automibile Y, un altro imprenditore, con le stesse informazioni, può azzardare una probabilità di successo più ardita, del 60%.
5. La probabiltà nell’impostazione assiomatica
6
Nella sua accezione più generale la probabilità rappresenta una misura della
possibilità di realizzazione di un evento E ⊆ U e si esprime mediante un
rapporto.
Il modo in cui vengono determinati i valori di probabilità dipende dalla
natura del fenomeno aleatorio studiato (ambito classico, frequentista, soggettivo), tuttavia, qualunque sia il modo in cui viene valutata la probabilità,
essa gode di alcune proprietà che possono essere formalizzate e generalizzate
utilizzando il linguaggio della matematica e, più in particolare il linguaggio
degli insiemi. Questa formalizzazione è detta probabilità assiomatica.
Gli assiomi
La probabilità P(E) di un evento E ⊆ U è una funzione che associa ad ogni
evento dell’universo un numero reale, in modo che siano soddisfatti i seguenti
assiomi:
I. P(E)>0
II. P(U)=1
III. Se E1 ed E2 sono incompatibili, ossia E1 ∩ E2 =∅, si ha
P(E1 ∪ E2)=P(E1 ) + P(E2)
Le proprietà
Dagli assiomi si deducono (si dimostrano) le seguenti proprietà:
a) L’evento impossibile φ ha probabilità zero:
P(φ)=0
b) Probabilità dell’evento contrario o complementare E¯ :
¯ )=1-P(E)
P(E
c) Dall’assioma I e dalla precedente si deduce che la probabilità è un
numero compreso fra zero e uno:
06P (E) 6 1
d) Generalizzazione dell’asioma III: se E1 , E2 ,..., En sono incompatibili
a due a due, ossia Ei ∩ E j = ∅ ∀i, j 6 n con i j , si ha
P (E 1 ∪ E 2 ∪
. ∪ En) = P (E 1 )+P (E 2) + ... + P (E n)
7
e) Se E1 , E2 ,..., En sono n eventi elementari, incompatibili a due a due,
e se la loro unione è l’universo, cioè se
Ei ∩ E j = ∅ ∀i, j 6 n con i j , e E 1 ∪ E 2 ∪
. ∪ En =U, si ha
P (E 1 ∪ E 2 ∪
. ∪ En) = P (E 1 ) + P (E 2) + ... + P (E n) = P (U ) = 1
Osservazione
La probabilità secondo la concezione classica è un caso particolare della probabilità
assiomatica, infatti se si agggiunge l’ipotesi che gli eventi siano equiprobabili,
1
ciascun evento avrà probabilità P(Ei)= (i=1,2,...,n) e se E è un evento unione
n
m
di m eventi elementari, si avrà P(E)= .
n
f) Se E1 ⊂ E2 allora la probabilità della differenza fra E1 ed E2 è uguale
alla differenza delle probabilità:
P(E1\E2) = P (E1) − P(E2)
6. Formule del calcolo delle probabilità
Dagli assiomi e dalle proprietà da essi dedotte nel n.5 si ottengono le seguenti
formule-teoremi per il calcolo delle probabilità.
a) Probabilità dell’evento complementare (o contrario)
P (A¯ )=1-P(A)
Esempio: nel lancio di un dado considero l’evento
A: “ si presenta un numero maggiore di 4 ”
l’evento contrario è
A¯ : “ si presenta un numero non maggiore di 4 ”
¯ = {1, 2, 3, 4}
risulta: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A = {5, 6}; A
P (A¯ )=1 - P(A)=1 -
2
6
4
2
=6=3 .
b) Probabilità della somma logica
Si definisce somma logica o unione di due eventi A e B, l’evento
A ∪ B che si verifica quando si verifica uno degli eventi A o B.
La probabilità della somma logica di due eventi è uguale alla
somma delle probabilità dei due eventi diminuita della probabilità della intersezione dei due eventi.
P (A∪B)=P(A)+P(B) − P(A ∩ B)
8
In particolare, se gli eventi sono incompatibili A ∩ B = φ, quindi
P (A∪B)=P(A)+P(B)
In generale per più di due eventi:
P (A∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B)−P (A ∩ C) − P(B ∩ C)+P(A ∩ B ∩C)
Esempio 1
Nel lancio di un dado considero gli eventi
A: “ si presenta un numero maggiore di 3 ”
B: “ si presenta un numero primo ”
l’evento somma logica o unione è
A ∪ B : “ si presenta un numero maggiore di 3 o un numero primo ”
risulta: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A = {4, 5, 6}; B = {2, 3, 5}
3
3
P (A∪B)=P(A)+P(B) - P(A ∩ B)= 6 + 6 -
1
6
5
=6
Esempio 2
Estraendo una carta da un mazzo da 40, considero gli eventi
A: “ si presenta una carta di coppe ”
B: “ si presenta una figura (fante, cavallo, re) di spade o di bastoni ”
l’evento somma logica o unione è
A ∪ B : “ si presenta una carta di coppe o una figura di spade o di
bastoni ”
risulta: U = {40 carte}; A = {10 carte di coppe}; B={6 figure di spade
o di bastoni}
10
6
16
P (A∪B)=P(A)+P(B) - P(A ∩ B)= 40 + 40 - 0 = 40
Probabilità condizionata ed eventi dipendenti e indipendenti
9
in questo caso P (A∪B)=P(A)+P(B)
A ∩ B = φ , gli eventi A e B sono incompatibili, quindi gli insiemi A
e B sono disgiunti.
Esempio 3
Un’urna contiene 50 palline numerate, si estrae una pallina. Calcolare
la probabilità che sia un numero pari, o un numero divisibile per 5 o
un numero maggiore di 30:
A: “ si estrae un numero pari ”
B: “ si estrae un numero divisibile per 5 ”
C: “ si estrae un numero maggiore di 30 “
l’evento somma logica o unione è
A ∪ B ∪ C : “ viene estratto un numero pari, o un numero divisibile
per 5 o un numero maggiore di 30 ”
risulta:
U = {50 numeri}; A = {25 numeri pari}; B = {10 numeri divisibili per 5}
C = {20 numeri maggiori di 30}
P (A∪B ∪ C)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C)+P(A ∩ B ∩C)
P (A∪B ∪ C)=
25
50
10
5
20
10
4
2
38
+ 50 + 50 − 50 − 50 − 50 + 50 = 50
10
Esempio 4
Si lanciano 2 dadi, calcolare la probabilità che si presenti la faccia 4
almeno su un dado ( P (A ∪ B) ).
Considera i seguenti eventi:
A: “ esce 4 sul primo dado e un qualunque numero sul secondo ”
B: “ esce 4 sul secondo dado e un qualunque numero sul primo ”
A ∩ B: “ esce 4 su entrambi i dadi ”
A ∪ B: “ esce 4 su almeno un dado ”
6
6
1
=
e P (A ∩ B) =
′
36
36
D6,2
6
6
1 11
P (A∪B)=P(A)+P(B) - P(A ∩ B) =
+
− =
36 36 6 36
con P(A) = P(B) =
′
oppure P(A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B )=1 −
D5,2
′
D6,2
=1−
25 11
=
36 36
c) Probabilità condizionata ed eventi dipendenti e indipendenti
Si definisce probabilità di un evento A condizionata
dall’evento B (si indica P(A/B) ), la probabilità del verificarsi di A nell’ipotesi che B si sia verificato.
Se B non si verifica, l’evento A/B non è definito.
P(A/B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Si possono presentare i seguenti casi:
P(A/B)<P(A) ⇒ gli eventi A e B sono dipendenti, correlati negativamente, cioè l’informazione ha diminuito la probabilità di A;
P(A/B)>P(A) ⇒ gli eventi A e B sono dipendenti, correlati positivamente, cioè l’informazione ha aumentato la probabilità di A;
P(A/B)=P(A) ⇒ gli eventi A e B sono stocastimente indipendenti, l’informazione non ha modificato la probabilità di A.
La relazione di indipendenza stocastica è simmetrica, cioè se A è indipendente da B, anche B è indipendente da A.
Esempio 1
11
Un’urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Si estrae una pallina;
calcolare la probabilità che esca un numero divisibile per 5 subordinatamente all’ipotesi che sia uscito un numero pari.
Soluzione
Considero gli eventi
A: “ esca un numero divisibile per 5 ” ; P (A) =
18
1
=
90
5
45
B: “ esca un numero pari ” ; P (B) =
90
9
P (A ∩ B) =
90
P(A/B) =
P (A ∩ B)
=
P (B)
9
90
45
90
=
9
45
=
1
5
In questo caso P(A)=P(A/B) ⇒ gli eventi A e B sono stocasticamente
indipendenti.
Esempio 2
Si lanciano 2 dadi e, considerati gli eventi A e B indicati sotto, calcolare P(A/B) e P(B/A).
Soluzione
Considero gli eventi
A: “ la somma dei punti è 8 ” ; P (A) =
5
36
{(2; 6), (6; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 4)}
B: “ almeno su un dado è uscito il numero 6 ”; P (B) =
11
6
6
1
+ − =
36 36 36 36
(vedi esempio 6.b.4)
P (A ∩ B) =
P(A/B) =
2
36
{(2; 6), (6; 2)}
P (A ∩ B)
=
P (B)
2
36
11
36
2
P (A ∩ B)
; P(B/A) =
=
11
P (A)
=
2
36
5
36
=
2
5
In questo caso P(A/B)>P(A) e P(B/A)>P(B) ⇒ gli eventi A e B sono
dipendenti, correlati positivamente, cioè l’informazione ha aumentato
le probabilità di A e di B.
Esempio 3
Un’urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Si estrae una pallina;
calcolare la probabilità che esca un numero divisibile per 5 subordinatamente all’ipotesi che sia uscito un numero minore di 25.
Soluzione
Considero gli eventi
12
A: “ esca un numero divisibile per 5 ” ; P (A) =
18
1
=
90
5
24
B: “ esca un numero minore di 25 ” ; P (B) =
90
4
P (A ∩ B) =
90
P (A ∩ B)
P(A/B) =
=
P (B)
4
90
24
90
=
4
24
=
1
6
In questo caso P(A/B)<P(A) ⇒ gli eventi A e B sono dipendenti,
correlati negativamente, cioè l’informazione ha diminuito la probabilità di A.
d) Probabilità composta o del prodotto logico
La probabilità dell’evento composto, o del prodotto logico
A ∩ B, è uguale al prodotto della probabilità di uno dei due
eventi per la probabilità dell’altro condizionata al verificarsi
del primo.
P (A ∩ B) = P (A) · P (B/A)
oppure P (A ∩ B) = P (B) · P (A/B)
Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti si ha:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Esempio 1
Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5; si estraggono successivamente due palline rimettendo la prima estratta nell’urna.
Calcolare la probabilità che si estraggano due numeri dispari.
Soluzione
Gli eventi sono logicamente e quindi anche stocasticamente indipendenti
( evento logicamente indipendente ⇒ evento stocasticamente indipendente )
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) ;
A: “ il primo numero estratto è dispari ” ; P (A) =
3
5
3
B: “ il secondo numero estratto è dispari ”; P (B) =
5
3 3
9
P (A ∩ B) = · =
5 5 25
Esempio 2
13
Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5; si estraggono successivamente due palline senza rimettere la prima estratta nell’urna.
Calcolare la probabilità che si estraggano due numeri dispari.
Soluzione
Gli eventi sono stocasticamente dipendenti
P (A ∩ B) = P (A) · P (B/A)
A: “ il primo numero estratto è dispari ” ; P (A) =
3
5
3
2 1
B: “ il secondo numero estratto è dispari ”; P (B) = ; P (B/A) = =
5
4 2
3 1
3
P (A ∩ B) = · =
.
5 2 10
e) Probabilità totale o completa
Consideriamo una partizione di un universo U di eventi costituita da
n eventi Ei non impossibili, incompatibili a due a due e tali che la
loro somma logica sia l’evento certo U.
Su questa partizione valutiamo la probabilità di un evento A :
P (A) =
n
P
P (Ei) · P (A/Ei)
i=1
fig.e1
Esempio 1
Si hanno tre urne:
1^ urna: contiene 12 palline rosse e 8 palline verdi
2^ urna: contiene 10 palline rosse e 15 palline verdi
3^ urna: contiene 9 palline rosse e 6 palline verdi
Si getta un dado e, detto n il numero uscito, si considerino i seguenti
eventi:
E1 : se n < 4 si estrae una pallina dalla prima urna; P (E1) =
14
3
6
E2 : se n > 4 si estrae una pallina dalla seconda urna; P (E2) =
E3 : se n = 4 si estrae una pallina dalla terza urna; P (E3) =
2
6
1
6
Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia rossa.
Soluzione
A: viene estratta una pallina rossa
12
10
P (A/E1) =
;
P (A/E2) =
;
20
25
P (A) =
3
P
P (Ei) · P (A/Ei) =
i=1
P (A/E3) =
9
15
8
3 12 2 10 1 9
·
+ ·
+ ·
=
6 20 6 25 6 15 15
Esempio 2
Si hanno tre macchine che producono lo stesso oggetto, con le seguenti
caratteristiche:
1^ macchina: produce 30 pezzi all’ora con il 6% di pezzi difettosi
2^ macchina: produce 45 pezzi all’ora con il 10% di pezzi difettosi
3^ macchina: produce 25 pezzi all’ora con il 4% di pezzi difettosi
Scelto a caso un pezzo dal magazzino, qual è la probabilità che sia
difettoso ?
Soluzione
Considero gli eventi
30
100
45
M2 : pezzi prodotti dalla 2^ macchina; P (M2) =
100
25
M3 : pezzi prodotti dalla 3^ macchina; P (M3) =
100
D: viene scelto un pezzo difettoso
1, 8
4, 5
1
P (D/M1) =
;
P (D/M2) =
;
P (D/M3) =
30
45
25
M1 : pezzi prodotti dalla 1^ macchina; P (M1) =
P (D) =
3
P
P (Mi) · P (D/Mi) =
i=1
45 4.5
25 1
7, 3
30 1, 8
·
+
·
+
·
=
100 45 100 25 100
100 30
f) Probabilità nello schema di Bernoulli delle prove ripetute
(Jakob Bernoulli - Basilea 1654 -1705)
15
Lo schema di Bernoulli può in generale essere descritto mediante la
seguente definizione:
si dice esperimento di Bernoulli una sequenza di n prove (eventi) con le
seguenti caratteristiche (per es. una serie di lanci di una moneta, con p=1/2):
1) il risultato di ogni prova può essere solo successo o fallimento;
2) il risultato di ciascuna prova è indipendente dai risultati delle
prove precedenti;
3) la probabilità p di successo, e quindi la probabilità contraria
q = 1 - p di fallimento, sono costanti in ciascuna prova.
Consideriamo due casi particolarmente interessanti di calcolo delle
probabilità nell’ambito dello schema di Bernouilli, che si risolvono
mediante le formule binomiale e geometrica.
f.1) Formula binomiale
Si vuole calcolare la probabilità Pk che, su n prove, k diano esito
positivo.
Supponiamo che abbiano dato esito positivo le prime k prove, allora
per il principio della probabilità composta si ha:
Pprime k = p1 · p2 · . · pk · q1 · q2 · . · qn−k = pk · q n−k
Poichè le k prove ottenute con successo si possono raggruppare con le
n!
altre n-k in Cn,k combinazioni (Cn,k = Pnk,n−k =
), si ottiene:
k!(n − k)!
Pk =
n
k
pk · q n−k
06k 6 n
Esempio 1
Si lancia 8 volte una moneta. Calcolare la probabilità di avere:
a) per 5 volte testa
b) almeno per 5 volte testa
Soluzione
Risposta a)
8
5 3
8·7·6·5·4
56
1
7
1
1
8
·
=
=
·
=
P5 = 5 ·
5!
256 32
2
2
2
Risposta b)
16
E : almeno per 5 volte testa ⇔ per 5 volte testa o per 6 o per 7 o per 8 volte
P (E)=P5 + P6 + P7 + P8
P5 =
56
;
256
P6 =
8
6
P7 =
8
7
P8 =
8
8
P (E) =
6 2
1
28
1
·
=F
;
·
2
256
2
7 1
1
8
·
·
=
;
2
2
256
8
1
1
=
;
·
256
2
28
8
1
93
56
+
+
+
=
256 256 256 256 256
Esempio 2
Una macchina produce pezzi con tasso di difettosità del 10%.
Su un campione di 10 pezzi, qual è la probabilità che, al massimo, vi
sia un pezzo difettoso ?
Soluzione
Considero gli eventi
E : al massimo un pezzo è difettoso ⇔ nessun pezzo è difettoso o un pezzzo è
difettoso
P (E)=P0 + P1
0 10 10
9
9
1
10
·
=
;
P0 F 0, 3487 ( 34,87 % )
P0 = 0 ·
10
10
10
1 9 9
1
9
9
P1 = 10
·
·
=
;
P1 F 0, 3874 ( 38,74 % )
1
10
10
10
10 9 9 9
9
9
19
P (E)=
+
=
F 0, 7361 (73, 61%)
10
10
10
10
f.2) Formula geometrica
Si vuole calcolare la probabilità P(n) che il primo evento favorevole
(successo) in una sequenza bernoulliana avvenga alla n-esima prova.
P (n) = q n−1 · p
infatti, se che hanno dato esito negativo (fallimento) le prime n-1 prove,
allora per il principio della probabilità composta si ha:
17
P (n) = q1 · q2 · . · qn−1 · p = q n−1 · p
Osservazione
Al variare di n si ottiene una sequenza (distribuzione) di probabilità
che costituisce una progressione geometrica di ragione q; da qui il
termine formula geometrica :
3
4
2
2
q·p q ·p q3·p
n
1
P(n) p
5
P (n + 1)
= q (ragione)
...
4
P (n)
q ·p
Esempio 1
Una coppia di dadi viene lanciata ripetutamente finchè non compare
una coppia di “ 3 ”.
Calcolare:
a) la probabilità che compaia al secondo lancio (n=2);
b) il minimo numero di n lanci richiesti perchè la probabilità sia
minore di 0,024.
Soluzione
Risposta a)
1
; probabilità che compaia una coppia di “ 3 “
36
35
q= ; probabilità che non compaia una coppia di “ 3 “
36
35 1
35
quindi P(2)=q · p =
·
=
F 0, 027 .
36 36 1296
p=
Risposta b)
P (n) < 0, 024 ⇒ q n−1p<0,024;
n−1>log 35 (0, 024 · 36) ;
36
n−1>log q
0, 024
p
;
n>1+ ln (35/36) F 6, 2; ,
ln (0, 864)
quindi il minimo numero di lanci richiesti è n=7 .
g) Teorema di Bayes
(Thomas Bayes - Londra, 1702 -1761)
Dal teorema della probabilità composta (5d) e considerando gli eventi
A ed E, si può scrivere
P (A ∩ E) = P (A) · P (E/A) =P (E) · P (A/E) , si ottiene
18
P (E/A) = P (E) ·
P (A/E)
P (A)
relazione di Bayes per un solo evento E.
La formula generale del teorema di Bayes si ottiene considerando la
situazione di figura e1 per la probabilità totale:
poichè
P (A) =
n
P
P (Ei) · P (A/Ei) , si ricava
i=1
P (Ei/A) = P (Ei) · P
n
P (A/Ei)
P (Ei) · P (A/Ei)
i=1
Esempio 1
Riprendiamo l’esempio (1e) e, nell’ipotesi che sia uscita la pallina
rossa, calcoliamo la probabilità che questa provenga dalla prima urna.
Soluzione
Considero gli eventi
E1: la pallina rossa proviene dalla prima urna; P (E1) =
3
6
A: è stata estratta una pallina rossa;
P (A) =
3
P
P (Ei) · P (A/Ei) =
i=1
P (A/E1) =
8
15
12
20
Probabilità che la pallina rossa estratta provenga dalla prima urna:
12
3 20
9
P (E1/A) = ·
=
.
6 8
16
15
Esempio 2
Riprendiamo l’esempio (2e) e, nell’ipotesi che sia uscito un pezzo
difettoso, calcoliamo la probabilità che questo provenga dalla seconda
macchina.
Soluzione
19
Considero gli eventi
M2: il pezzo difettoso proviene dalla seconda macchina; P (M2) =
45
100
D: è stato estratto una pezzo difettoso;
P (D) =
3
P
P (Mi) · P (D/Mi) =
i=1
P (D/M2) =
7, 3
100
4, 5
45
Probabilità che il pezzo difettoso uscito provenga dalla seconda mac4, 5
1 7 140 49 45
45 45
·
= ·
·
=
.
china: P (M2/D) =
99 73
100 7, 3 2 10 99
100
h) Probabilità nel continuo
Se l’insieme U è continuo, per esempio, segmento, arco di circonferenza, superficie, ecc., la funzione che viene assunta come probabilità
è la misura, soddisfacente agli assiomi del n.5 (concezione assiomatica),
sull’insieme U, assunto come unità di misura.
Esempio
Scelti a caso due numeri x, y compresi fra 0 e 1, calcola la probabilità
P che la somma dei loro quadrati sia non superiore a 1.
Soluzione
L’insieme universo è costituito dalle coppie (x, y) di numeri reali tali
che 0 6 x 6 1 e 0 6 y 6 1.
π


 x2 + y 2 6 1
area settore OAC
π
Deve essere  0 6 x 6 1
P=
=4=
 06y61
area quadrato OABC 1 4
7. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità
Una variabile casuale X o aleatoria o stocastica, è una funzione dello spazio
U degli eventi che associa ad ogni evento Ei, appartenente ad una partizione
di U, un numero rale xi, al quale corrisponde la probabilità pi dell’evento
stesso e si scrive:
20
P (X = xi) = pi
Si definisce distribuzione di probabilità della variabile X o, semplicemente, distribzione della variabile aleatoria X, l’insieme dei valori pi .
Esempio 1
Si lancia tre volte una moneta; l’insieme universo è formato da 8 eventi:
U={TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC}
Consideriamo la variabile casuale X=”il numero di teste che si possono presentare”;
X può assumere i valori x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 0 , con probabilità
1
3
3
1
p(x1) = , p(x2) = , p(x3) = , p(x4) = .
8
8
8
8
3 2 1 0
Valori xi di X
1 3 3 1
Probabilità pi di xi 8 8 8 8
Esempio 2
′
Si lanciano due dadi; l’insieme universo è formato da D6,2 = 62 = 36 eventi:
U={(1,1), (1,2), (1,3), ... , (6,5), (6,6)}
21
Consideriamo la variabile casuale X=”somma dei punti”;
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Valori xi di X
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
Probabilità pi di xi 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Esempio 3
Si esegue un controllo di qualità sulla produzione di un componente elettronico esaminando un campione di 5 elementi scelti a caso. Sapendo che il tasso
di difettosità della produzione è del 20%, studiare la variabile aleatoria
X= “numero di pezzi difettosi del campione”:
La variabile casuale può assumere uno dei 6 valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, con le
probabilità calcolate con la formula binomiale delle prove ripetute:
Pk =
5
k
· 0, 2k · 0, 85−k
Valori xi di X
0
1
2
3
4
5
Probabilità pi di xi 0, 32768 0, 40960 0, 20480 0, 05120 0, 00640 0, 00032
8. Esercizi
Esercizio 1
22
Scegliendo a caso due numeri reali x e y, tali che |x| + |y | 6 1,
determia la probabilità P che la loro somma sia maggiore di 1/4.
Soluzione
Il luogo dei punti che soddisfano alla relazione |x| + |y| 6 1
è il quadrato ABCD
di area A=2, mentre il luogo dei punti che soddisfano


1

 x+y>
alla relazione  |x| + |y|46 1 è il rettangolo EBCF di area A1=


3
,
4
3
A1 4 3
quindi P= = = .
A
2 8
Esercizio 2
Un insetticida uccide una specie di insetti con probabilità del 99,9% e le loro
uova con probabilità del 99%. Se in una casa ci sono un centinaio di tali insetti
e un centinaio di loro uova, qual è la probabilità che l’insetticida risolva il
problema?
Soluzione
Considero gli eventi
I: “ viene ucciso un insetto ”; P(I)=0,999;
U: “ viene ucciso un uovo ”; P(U)=0,99;
per 100 insetti e per 100 uova si ha: (prob. composta o del prodotto logico per
eventi indipendenti)
P (I100) = 0, 999100 ;
P (U100) = 0, 99100
(I100∩U100): “ vengono uccisi tutti gli insetti e tutte le uova”;
(ancora prodotto logico per eventi indipendenti)
P(I100∩U100)=P (I100) · P (U100) =0,999100·0, 99100 F 0, 3312
23
(F 33 %).
Esercizio 3
Si lanci più volte un dado le cui facce sono numerate da 1 a 6 e si calcoli:
a) la probabilità che il 3 esca al 4o lancio;
b) il minimo valore di n affinchè la probabilità che il 3 esca all’n-esimo lancio
sia minore di 0,02.
Soluzione
Risposta a)
Considero gli eventi
(prove ripetute bernoulliane - formula geometrica 6.f.2)
1
E: “ esce il numero 3 da un lancio ”; P(E)= ;
6
5
E¯ : “ non esce il numero 3 da un lancio ”; P(E¯ )= ;
6
3
5
1
125
o
3
¯
la probabilità che il 3 esca al 4 lancio è: P=P(E ) ·P (E) =
· =
6
6 1296
Risposta b)
sia P< 0,02, quindi
n−1
1
ln (0, 12)
5
· ⇒ n−1> log 5 (6 · 0, 02)=
0,02 >
F 11, 63
6
ln (5/6)
6
6
n >11,63+1=12,63
⇒
nminimo=13 .
Esercizio 4
Sapendo che in un lancio di 3 dadi si è totalizzata la somma 6, qual è la
probabilità che uno almeno dei tre numeri apparsi sia 3 ?
Stabilire inoltre come gli eventi sono fra loro correlati.
Soluzione
24
Considero gli eventi relativi al lancio di tre dadi
A: “ si è totalizzata la somma 6 ” ; P (A) =
10
10
= 3
′
6
D6,3
B: “ almeno uno dei tre numeri apparsi sia 3 ” ; P (B) =
"
′
53
125
91
P (B) = 1 − P (B¯ ) = 1 − ′ = 1 − 3 = 1 −
=
6
216 216
D6,3
D5,3
91 91
=
F 0, 42
63 216
#
A ∩ B: ”si è totalizzata la somma 6 ed è apparso almeno un 3 ” ;
P (A ∩ B) =
6
63
B/A: “ almeno uno dei tre numeri apparsi sia 3, sapendo che si è totalizzata
6
P (A ∩ B)
3
6
3
la somma 6 ” : P(B/A) =
= 610 = 10 = = 0,6
P (A)
5
63
In questo caso P(B/A)>P(B) ⇒ gli eventi B e A sono dipendenti, correlati
positivamente, cioè l’informazione ha aumentato la probabilità di B.
Esercizio 5
Un’urna contiene 5 palline bianche e 7 nere. Calcola la probabilità P che
estraendone 3 insieme
a) non siano tutte dello stesso colore
b) siano tutte dello stesso colore.
Soluzione
Risposta a)
Considera gli insiemi di eventi
U: Universo o spazio degli eventi di cardinalità C12,3 (numero di eventi possibili)
A: “ le tre palline estratte non siano tutte dello stesso colore “ di cardinalità
7C5,2 + 5C7,2 (numero degli eventi favorevoli), dove
7C5,2 è il numero
di estrazioni possibili senza avere 3 palline bianche, 5C7,2 è il numero di
estrazioni possibili senza avere 3 palline nere.
Quindi P =
7C5,2 + 5C7,2 7 · 10 + 5 · 21 175 35
=
=
=
.
C12,3
220
220 44
Risposta b)
L’evento “le tre palline estratte siano tutte dello stesso colore” è l’evento
contrario o complementare dell’evento A, quindi
9
35
= .
P (A¯ ) = 1 − P (A) = 1 −
44 44
25
Esercizio 6
Studiando l’andamento in Borsa di un titolo T, si osserva che se un giorno il
valore di T
−
aumenta, c’è la probabilità di 3/4 che aumenti anche il giorno successivo;
−
diminuisce, c’è la probabilità di 1/10 che aumenti anche il giorno
successivo.
Se lunedì il valore di T è aumentato, qual è la probabilità che giovedì
aumenti ?
Soluzione
Considero gli eventi elementari
E : “ ieri il valore di T è aumentato ”
¯ : “ ieri il valore di T è diminuito ”
E
1
3
A: “ oggi il valore di T aumenta ”, P(A)= P (E) + P (E¯ )
10
4
quindi si ha
Martedì
Mercoledì
Giovedì
1
3
3
·0=
P(A)= · 1 +
10
4
4
3 3 1 1
9
1
47
P(A)= · + · =
+
=
4 4 10 4 16 40 80
771
3 47 1
47
=
P(A)= · + · 1 −
= 0, 481875 (F 48%).
1600
4 80 10
80
Esercizio 7
Un’azienda produce articoli con probabilità di difetto del 2%. Ogni articolo
passa al collaudo che ha la probabilità del 92% di rilevare il difetto; in tal caso
l’articolo viene scartato. Può accadere che l’ispettore rilevi con probabilità
0,1% dei difetti inesistenti. Calcolare la probabilità che:
a) l’articolo sia scartato
b) l’articolo sia scartato per sbaglio
c) l’articolo difettoso superi il collaudo.
Soluzione
Considero gli eventi
26
D: “ viene prodotto un pezzo difettoso ”; P(D)=2%
S/D: “ un pezzo difettoso viene rilevato e scartato ”; P(S/D)=92%
S¯ /D: “ un pezzo difettoso non viene rilevato e scartato ”; P(S¯ /D)=8%
¯ : “ un pezzo non difettoso viene rilevato e scartato”; P(S/D
¯ ) = 0,1%
S/D
Risposta a)
La probabilità che il pezzo sia difettoso e venga scartato è
P(D ∩ S)=P(D)·P (S/D) = 0, 02 · 0, 92 = 0, 0184
la probabilità che il pezzo non sia difettoso e venga scartato è
P(D¯ ∩S)=P(D¯ )·P (S/D¯ ) = 0, 98 · 0, 001 = 0, 00098
la probabilità che il pezzo venga scartato è la somma logica (di due eventi
incompatibili)
P[(D ∩ S)∪(D¯ ∩S)]=P(D ∩ S) +P(D¯ ∩S)=0, 0184 + 0, 00098 = 0, 01938 (1, 938%)
Risposta b)
La probabilità che il pezzo non sia difettoso e venga scartato è
P(D¯ ∩S)=P(D¯ )·P (S/D¯ ) = 0, 98 · 0, 001 = 0, 00098
(0,098%)
Risposta c)
La probabilità che il pezzo difettoso superi il collaudo (cioè che il pezzo sia
difettoso e non venga scartato) è
P(D ∩ S¯ ))=P(D)·P (S¯ /D) = 0, 02 · 0, 08 = 0, 0016
(0,16%)
Esercizio 8
Un sacco contiene 4 gettoni rossi, numerati da 1 a 4 e 3 gettoni azzurri,
numerati da 5 a 7. Si estraggono a caso due gettoni.
Calcola la probabilità che
a) i gettoni siano dello stesso colore
b) la somma dei due gettoni sia dispari
c) la somma dei due gettoni sia dispari nel caso in cui si estraggono
gettoni dello stesso colore.
27
Soluzione
Considero gli eventi
R: “ vengono estratti due gettoni rosssi ”; P(R)=
6
2
C4,2
=
=
C7,2 21 7
A: “ vengono estratti due gettoni azzurri ”; P(A)=
C3,2
3
1
=
=
C7,2 21 7
Risposta a)
La probabilità P(C) che i gettoni siano dello stesso colore (cioè o due rossi o due
azzurri) è la somma logica du due eventi incompatibili:
P(C)=P(R∪A)=P(R) +P (A) =
2 1 3
+ = .
7 7 7
Risposta b)
Le coppie di gettoni che possono dare per somma un numero dispari sono 4
dispari per 3 pari = 12, quindi:
D: “ la somma due gettoni sia dispari”; P(D) =
12 4
12
=
= .
C7,2 21 7
Risposta c)
considero gli eventi
C: “ i due gettoni estratti hanno lo stesso colore “; P(C)=
3
7
C/D: “estraggo due gettoni dello stesso colore nell’ipotesi che la loro somma
sia dispari”;
P(C/D)=P((R/D) ∪ (A/D))= P(R/D)+P(A/D)=
4
2
1
+
=
12 12 2
D/C: “estraggo due gettoni dispari nell’ipotesi di aver estratto
due gettoni dello stesso colore”; per il teorema di Bayes si ha
1
P (C/D) 4 2 4 1 7 2
P(D/C)=P(D)
= · = · · = .
P (C)
7 3 7 2 3 3
7
In questo caso P(D/C)>P(D) ⇒ gli eventi D e C sono dipendenti, correlati
positivamente, cioè l’informazione ha aumentato la probabilità di D.
Esercizio 9
28
Consideriamo due urne A e B di cui:
A contiene 7 palline rosse e 3 palline nere;
B contiene 5 palline rosse e 2 palline nere;
Si sceglie a caso una delle due urne, con P(A)=P(B)=1/2, e si estrae una
pallina.
Calcola la probabilità che
a) esca una pallina rossa e provenga da A;
b) esca una pallina rossa e provenga da B;
c) esca una pallina rossa;
d) provenga da A, sapendo che è rossa.
Soluzione
Risposta a)
Considero gli eventi
R: “esce una pallina rossa”
RA=R∩A : “esce una pallina rossa e proviene da A”;
1 7
7
P(RA)=P(R∩A)=P(A)·P (R/A)= ·
=
.
2 10 20
Risposta b)
Considero gli eventi
R: “esce una pallina rossa”
RB =R∩B : “esce una pallina rossa e proviene da B”;
5
1 5
.
P(RB )=P(R∩B)=P(B)·P (R/B)= · =
2 7 14
Risposta c)
Considero l’evento
R: “esce una pallina rossa”; (esce una pallina rossa o da A o da B)
cioè R=RA∪RB ; P(R)=P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB )=
Risposta d)
29
7
5
99
+
=
.
20 14 140
Considero l’evento
A/R: “provenga da A, sapendo che è rossa”;
7
P (R/A) 1 10
1 7 140 49
P(A/R)=P(A)·
= ·
= ·
·
=
(formula di Bayes)
P (R)
2 99
2 10 99
99
140
7
7 140 49
P (R ∩ A) 20
=
=
·
=
.
o anche P(A/R)=
99
20 99
99
P (R)
140
Esercizio 10
Quante volte bisogna lanciare un dado perchè la probabilità di avere almeno
un “due” sia del 99% ?
Soluzione
Considero gli eventi:
E : “ esce il “due” con il lancio di un dado” ; P(E)=
1
6
5
E¯ : “ non esce il “due” con il lancio di un dado” ; P(E¯ )=
6
Dopo n lanci la probabilità P che il “due” sia comparso almeno una volta è:
P=
n
n
cioè P =
quindi
1
6
n 0 5
·
+
6
1 5
+
6 6
n
−
n
n−1
n
0
1
6
n−1 5
·
+
6
n
n−2
1
6
n−2 2
5
·
+
.+
6
n
1
1
6
n−1
5
·
6
n
0 n
5
1
5
= 1−
,
·
6
6
6
n
5
ln (0, 01)
1−
=0,99 ⇒ n =
F 25, 26, cioè n=26.
6
ln (5/6)
Secondo metodo:
più semplicemente possiamo considerare la probabilità P che in n lanci
il “due” non compaia mai :
n
ln (0, 01)
5
= 0,01 ⇒ n =
P=
F 25, 26, cioè n=26.
ln (5/6)
6
Esercizio 11
Un concorso prevede che si risponda a un questionario costituito da 10
domande ognuna delle quali prevede 5 risposte, una sola delle quali è corretta.
a) Qual è la probabilità di rispondere correttamente a tutte le domande?
30
b) Qual è la probabilità di vincere il concorso se basta rispondere esattamente
a 7 domande?
Soluzione
Risposta a)
A: “ rispondo correttamente alla domanda “; P(A)=
1
5
4
A¯ : “ non rispondo correttamente alla domanda “; P(A¯)=
5
La probabilità di rispondere correttamente a tutte le domande è
10
1 10 4 0
1
=
P10= 10
10
5
5
5
Risposta b)
La probabilità P di rispondere correttamente ad almeno 7 domande è
8 2
1 7 4 3
1
4
10
P =P7 +P8 + P9 + P10 = 7
+ 10
+
8
5
5
5
5
10 0
1 9 4 1
1
4
10
+ 10
.
9
10
5
5
5
5
31

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