x 2y 3 0 lxz 9 0

Oefening 90:
Gegeven de rechten l door A(9,6,0) en B(3,3,6) en m door C(1,-4,-5) en D(0,-3,-5).
1. Toon aan dat l en m kruisend zijn.


AB  6, 3, 6    2,1, 2  en DC 1, 1, 0   l en m niet evenwijdig (geen evenredige
stellen richtingsgetallen)
We zoeken een mogelijk snijpunt.
x  r

m   y  3  r
z   5

 x  2y  3  0
l
x  z  9  0
r  6  2r  3  0

r  5  9  0


r  3

r  14
Het stelsel is strijdig, dus hebben l en m geen gemeenschappelijke punt, dus zijn l en m
kruisend.
2. Bepaal een stelsel cartesiaanse vergelijkingen van de rechte p die l en m snijdt
en evenwijdig is met de rechte n 
 x  9  2s

l  y  6  s
z  2s

x y z
  .
2 2 3
zodat L  9  2s,6  s, 2s   l en M  r, 3  r, 5   m

 LM  r  2s  9, r  s  9, 5  2s 
LM = p moet evenwijdig zijn met n
r  2s  9  2k
r  1


 r  s  9  2k  ...  s  2
5  2s  3k
k  3


zodat L  5, 4, 4  en M  1, 2, 5  en p  LM 
x  y  1  0
of p  
3y  2z  4  0
x 1 y  2 z  5


2
2
3
3. Zoek een stelsel cartesiaanse vergelijkingen van de rechte q die l en m snijdt
en door Q(1,1,0) gaat.
Eerste manier: (met vlakken)
q is de snijlijn van   vl  Q,l  en   vl  Q,m 
Om  en  te vinden werken we best met vlakkenwaaiers:
Vlakkenwaaier door l:

r  x  2y  3   s  x  z  9   0
Het vlak hiervan door Q(1,1,0):
r 1  2  3   s 1  0  9   0  r  4s
zodat   5x  8y  z  3  0
Vlakkenwaaier door m:

r  x  y  3  s  z  5   0
Het vlak hiervan door Q(1,1,0):
r 1  1  3   s  0  5   0  r   s
zodat   x  y  z  2  0
5x  8y  z  3  0
x  y  z  2  0
Besluit: q  
Tweede manier: (met rechten)
We zoeken de snijpunten van de rechte q met de rechte l en de rechte m, nl. L en M.
We kennen de vorm van L en M, nl. L  9  2s,6  s, 2s   l en M  r, 3  r, 5   m

 LM  r  2s  9, r  s  9, 5  2s 
De rechte LM is de gezochte rechte q die zowel l en m snijdt (en door Q gaat). We stellen
een parametervergelijking op deze rechte LM = q door gebruik te maken van richtingsvector
 x  r   r  2s  9  k

LM en steunpunt M:   y  3  r   r  s  9  k

z  5   5  2s  k

Het punt Q behoort tot q dus voldoet aan deze vergelijking:
1  r   r  2s  9  k
1  r  rk  2sk  9k 1 


 1  3  r   r  s  9  k  4  r  rk  sk  9k  2 


3
5  5k  2sk
0  5   5  2s  k
Het mag duidelijk wezen dat deze manier (in dit geval) niet te verkiezen valt en veel meer
rekenwerk vraagt dan de manier met vlakkenwaaiers !!
1   2  : 5  3sk  18k
en
3
5  5k  2sk  3sk  18k  5k  2sk  s  
13
5
k  0 
 19 17 26 
L  9  2s,6  s, 2s   L  , , 
 5 5 5 
25
51
 3
5  5k  2sk  k  
2
4  r  rk  sk  9k  r 1  k   4  sk  9k  
44
51
r
22
13
 22 17

M  r, 3  r, 5   M  
,  , 5 
 13 13

Hiermee vinden we (na nog wat rekenwerk) een vergelijking van rechte LM = q …
4. Bepaal een cartesiaanse vergelijking van het vlak  dat door P(1,1,1) gaat en
evenwijdig is met l en m.
 heeft dezelfde richtingsgetallen als l en m:
 2,1, 2 
en 1, 1,0 
 x  1  2r  s

Zodat    y  1  r  s
of   2x  2y  3z  7  0
z  1  2r

5. Bepaal een cartesiaanse vergelijking van het vlak  dat door l gaat en
evenwijdig is met m en van het vlak  dat door m gaat en evenwijdig is met l.
 en  zijn evenwijdig met  zodat hun vergelijking van de vorm 2x  2y  3z  k  0 is.
 gaat door A(9,6,0) zodat 18 + 12 + k = 0  k  30 zodat   2x  2y  3z  30  0
 gaat door D(0,-3,-5) zodat -6 – 15 + k’ = 0  k '  21 zodat   2x  2y  3z  21  0

Download Report