Mathrace 2014 Opgave 1 - Uitwerking Bekijk bovenstaande figuur. We weten dat EF horizontaal loopt, en GF verticaal. Dus is EG de middellijn van de cirkel met middelpunt H die door E, G en F gaat (omgekeerde stelling van Thales). Hieruit kunnen we concluderen dat EG een rechte lijn is, en dus EH en EG evenwijdig zijn. De truc is nu om deze evenwijdigheid “door te zetten” naar AD en DC. Dit doorzetten doen we door handig lijnstukken te tekenen tussen de middelpunten van de cirkels. Alle groene lijnstukken in de figuur op de volgende pagina zijn even lang (tweemaal de straal van de identieke cirkels). Dus alle vierhoeken die zijn ontstaan door deze lijnen, zijn parallellogrammen. Uit deze parallellogrammen blijkt dat EH evenwijdig is aan IJ, en dus aan AD. Op dezelfde manier blijkt dat HG evenwijdig is aan DC. Uit de evenwijdigheid van EH en HG, kunnen we nu concluderen dat ook AD en DC evenwijdig zijn. Mathrace najaar 2014 - Opgave 1 1 Mathrace 2014 Omdat DA = DC = DB liggen de punten A, B en C op een cirkel met middelpunt D. Nu we weten dat AD en DC evenwijdig zijn, weten we ook dat A,D en C op ´e´en lijn liggen, dus AC is een middellijn van de cirkel door de punten A,B en C. Volgens de stelling van Thales is hoek ABC dan een rechte hoek! Omdat AB verticaal loopt, zal dan BC exact horizontaal lopen. Dit bewijs is exact te spiegelen, om te bewijzen dat ook LC horizontaal loopt. De drie cirkels liggen dus op een horizontale lijn, en we hebben in ons bewijs geen gebruik gemaakt van de positie van de middelste cirkel in de onderste rij, dus dat is onafhankelijk van het resultaat. Mathrace najaar 2014 - Opgave 1 2