opgaven

Toegepaste Elasticiteitsleer (4A450)
Deel 1 : Theorie
Faculteit
Datum
Tijd
:
:
:
Werktuigbouwkunde
7 april 2014
14.00 - 17.00 uur
Dit tentamendeel bestaat uit 3 opgaven, die nagenoeg even zwaar beoordeeld zullen worden.
Het gebruik van boeken, laptop, rekenapparaat, gsm, dictaat en aantekeningen is niet toegestaan.
Na inleveren van de uitwerkingen van dit eerste tentamendeel, wordt het
tweede tentamendeel (numerieke opgave(n)) uitgereikt. De benodigde tijd
voor het maken van deel 1 wordt ingeschat op 2 uur.
De antwoorden worden na het tentamen gepubliceerd op
www.mate.tue.nl/∼piet/ → ”Elasticiteitsleer” → ”Tentamens”.
Succes !!!!!!
Opgave
1
Gegeven is dat de deformatie van een constructieonderdeel leidt tot een verplaatsing die in
een punt P met oorspronkelijke positievector ~x0 = x01~e1 + x02~e2 + x03~e3 gegeven is als
~u = x02 x03~e1 + x03 x01~e2 + x01 x02~e3
a.
Bereken de deformatietensor F in punt P
b.
Bereken de lineaire rektensor ε in punt P
Het isotroop lineair elastisch materiaalgedrag wordt beschreven door de vierde-orde stijfheidstensor 4 C :
σ = 4C : ε
c.
met
4
C = c0 II + c1 4 I
Bereken de spanningstensor σ.
Na substitutie van de co¨
ordinaten van punt P luidt de spanningstensor :
σ = c1 {(~e2~e3 + ~e3~e2 ) + 2(~e1~e3 + ~e3~e1 )}
d.
Bereken de spanningsvector op een vlakje met normaalvector m
~ = 2~e1 + 2~e2 + ~e3 .
e.
Bereken de normaalspanning op dat vlakje.
Opgave
2
In een punt P op de wand van een dunwandige constructie worden rekken gemeten met behulp
van rekstrookjes.
De richtingen waarin de rekken worden gemeten worden aangegeven met de hoek ten opzichte
van de x-as, zoals in onderstaande figuur is getekend.
y
c
z
θ = 0o
→
ε = εa
;
b
45o
P a
θ = 45o
x
→
ε = εb
;
θ = 90o
→
ε = εc
De z-as is de richting loodrecht op de wand. Aangenomen mag worden dat er in de wand een
vlakspanningstoestand heerst waarbij geldt σzz = 0.
a.
Bepaal de componenten van de lineaire rekmatrix in het punt P .
Druk ze uit in εa , εb en εc .
Het lineair elastisch matreiaalgedrag wordt beschreven met twee materiaalparameters : elasticiteitsmodulus E en dwarscontractieco¨effici¨ent ν.
b.
Geef de 3 × 3 compliantiematrix S die het verband beschrijft tussen
en σxx σyy σxy .
c.
Hoe groot is de rek εzz ? Druk het antwoord uit in E en ν en de spanningscomponenten.
εxx εyy εxy
Inverteren van bovenstaande compliantiematrix resulteert in de stijfheidsmatrix C, waarmee
de spanningscomponenten kunnen worden bepaald. Voor E = 240 GPa en ν = 13 en met
εa = 0.001, εb = 0.002 en εc = 0.001 is dan de spanningsmatrix te berekenen.


36 18 0
σ =  18 36 0  × 10−2 GPa
0 0 0
d.
Bepaal de hoofdspanningen σ1 , σ2 en σ3 .
e.
Bereken de equivalente Von Mises spanning σV M .
Opgave
3
Een dikwandige buis wordt belast met een inwendige druk p. De axiale deformatie is niet verhinderd. De binnendiameter is a en de buitendiameter is b. Het materiaalgedrag is isotroop
lineair elastisch met elasticitieteitsmodulus E en dwarscontractieco¨effici¨ent ν.
De spanningen in de wand van de buis zijn gegeven :
σrr =
a.
p a2
p a2 b2 1
−
b2 − a2 b2 − a2 r 2
;
σtt =
p a2
p a2 b2 1
+
b2 − a2 b2 − a2 r 2
;
σzz = 0
Hoe groot is de axiale rek εzz ?
Door in axiale richting een belasting aan te brengen kan de axiale rek nul worden gemaakt.
b.
Hoe groot is de axiale spanning σzz waarmee dit gerealiseerd kan worden ?
De buis wordt nu in onvervormde toestand bevestigd tussen twee starre wanden, zodat axiale vervorming verhinderd is. Radiale vervorming is nergens verhinderd. Daarna wordt de
inwendige druk p aangebracht.
c.
Hoe groot is de axiale spanning σzz in de buiswand ?
De buis wordt vervolgens in onvervormde toestand afgesloten met twee deksels. Daarna wordt
de druk p weer aangebracht.
d.
Hoe groot is de axiale spanning σzz in de buiswand ?

Download Report