7 Extra opgaven 2014 Opgave 7.1 Hoofdstelling van de algebra. Doel van deze opgave is een bewijs te geven van de hoofdstelling van de algebra. Stelling Zij p(z) = a0 + . . . + an z n een veelterm van de graad n ≥ 1, i.e., an 6= 0. Dan bestaat er een w ∈ C met p(w) = 0. Bewijs: Veronderstel dat zo’n w niet bestaat. Hieruit zullen we een tegenspraak afleiden. Definieer de functie f : C → C door f (z) = 1/p(z). (a) Bewijs dat er een R > 0 bestaat zo dat |z| > R ⇒ |z n f (z)| < 2/|an |. (b) Toon aan dat f : C → C een complex differentieerbare functie is en dat de complexe afgeleide f 0 een continue functie is. (c) Schrijf z = x + iy en bewijs dat ∂ 1 ∂ f (ez ) = f (ez ), ∂x i ∂y (z ∈ C). (d) Bewijs dat de functie F : R → C, gedefinieerd door Z 2π F (x) := f (ex eiy )dy 0 constant is. (e) Bewijs dat voor alle r ≥ 0 geldt Z 2πf (0) = 2π f (reiy )dy. 0 (f) Bewijs dat f (0) = 0 en voltooi het bewijs. Opgave 7.2 Definieer de re¨eelwaardige functie f op R \ Z = {x ∈ R | x ∈ / Z} door middel van f (x) = ∞ X π2 1 − . 2 sin (πx) k=−∞ (x − k)2 P Hierbij heet een P reeks functies P van de vorm k∈Z gk (puntsgewijs of uniform) convergent indien beide reeksen k≥0 gk en k≥1 g−k (puntsgewijs, resp. uniform) convergent zijn. Bovendien noteren we ∞ ∞ ∞ X X X gk (x) := g−k (x) + gk (x). k=−∞ k=1 37 k=0 (a) Ga na dat voor iedere 0 < < continu is op R \ Z. 1 2 de reeks uniform convergeert op [, 1 − ]. Concludeer dat f (b) Bewijs met Taylor-ontwikkeling van de functie x 7→ sin(π x) in het punt 0 dat lim x→0, x6=0 ∞ X 1 π2 −2 . f (x) = 3 n2 n=1 Bewijs dat voor iedere x ∈ R \ Z en iedere l ∈ Z geldt dat f (x + l) = f (x). Bewijs dat f kan worden voortgezet tot een functie, die we ook f noemen, die continu is op R. Concludeer dat de aldus gedefinieerde f : R → R een continue periodieke functie is, en dat f bijgevolg begrensd op R is. (c) Toon aan dat f x 2 +f x+1 2 x ∈ R. = 4f (x), Bewijs hiermee dat voor iedere x ∈ R geldt dat |f (x)| ≤ 41 sup |f | + 14 sup |f |, en daarmee dat sup |f | ≤ 12 sup |f |. Concludeer dat f ≡ 0 op R, m.a.w., voor iedere x ∈ R \ Z geldt dat ∞ X π2 1 = . 2 sin (πx) k=−∞ (x − k)2 Bewijs dat f (0) = 0, resp. f (1/2) = 0 leiden tot ∞ X 1 π2 = , n2 6 resp. n=1 ∞ X k=1 1 π2 = . (2k − 1)2 8 (d) Bewijs dat voor iedere gehele n ≥ 1 geldt dat π dn dxn tan(π x) = n! ∞ X k=−∞ 1 k− 1 2 −x n+1 . (e) De z`eta-functie van Riemann is gedefinieerd door ζ(s) := ∞ X 1 , ns Re s > 1. n=1 Bewijs dat ζ(s) = ∞ X k=1 1 + 2−s ζ(s). (2k − 1)s Bewijs dat voor iedere m ∈ Z>0 geldt dat π 2m tan(2m−1) (0) = (2m − 1)! 22m 1 − 2−2m 2 ζ(2m). Door tan(n) voor n = 1, 2, 3, 4, 5, . . . achtereenvolgens te bepalen, kan ζ(2m) voor m = 1, 2, 3, . . . achtereenvolgens bepaald worden. Bereken ζ(2), ζ(4), ζ(6). 38