Junior Wiskunde Olympiade 2013-2014 FINALE Brussel, woensdag 23 april 2014 Zorg voor beredeneerde antwoorden. Een getal of uitkomst alleen, zelfs juist, is nooit voldoende. Maak je redenering zo duidelijk mogelijk en schrijf ze verzorgd op. Je kunt er een extra prijs mee winnen. 1. Op de zijde [AC] van driehoek ABC ligt een punt D met de volgende eigenschappen: • |BC| = |BD|; [ = 2BAD; [ • ABD [ • BC staat loodrecht op de bissectrice van ABD. Bereken de hoeken van ∆ABC. 2. Van een blad papier met lengte ` en breedte b zo dat b < ` < 2b knipt men langs een rechte lijn een zo groot mogelijk vierkant V1 weg. Van de overgebleven rechthoek knipt men opnieuw langs een rechte lijn een zo groot mogelijk vierkant V2 weg. (a) Bewijs dat de omtrek van de nu overblijvende rechthoek groter is dan een derde van de omtrek van de oorspronkelijke rechthoek. (b) Bewijs dat de oppervlakte van de overblijvende √ rechthoek niet groter is dan deze van de oorspronkelijke rechthoek maal (3 − 2 2). 3. Je beschikt over voldoende muntstukken van 1 cent, 2 cent, 5 cent, 10 cent, 20 cent, 50 cent en 1 euro. Stel dat A en B natuurlijke getallen zijn zodanig dat het mogelijk is om met A van deze muntstukken een bedrag van B cent te betalen. Bewijs dat het dan ook mogelijk is om met precies B van deze muntstukken een bedrag van A euro te betalen. 4. Een fotomodel wil een halssnoer laten ontwerpen dat bestaat uit een sluiting en k gekleurde kralen (zoals in de figuur waar k = 7). Er zijn vijf kleuren ter beschikking. Twee opeenvolgende kralen moeten een verschillend kleur hebben, ook als de sluiting ertussen zit. Hoeveel dergelijke snoeren kunnen gemaakt worden als k = 3, k = 4, k = 5, k = 6 en k = 7? c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw