3/7/2014 Bart Zevenhek De wiskundedocent en de universiteit • Wiskundedocent aan het Barlaeusgymnasium • 2006‐2008 Leraar in onderzoek bij Hendrik Lenstra (universiteit Leiden) • 2007‐2010 Werkgroep wiskunde‐C VWO en syllabuscommissie. • Oktober 2013 steunpuntcoördinator wiskunde Steunpuntcoördinator Doelstellingen • Itsacademy: http://www.itsacademy.nl/ • Betapartners: 35 scholen in Noord Holland • Algemene doelstelling steunpuntcoördinator: bruggen slaan tussen wiskundedocenten / leerlingen van middelbare scholen en universiteiten / hogescholen. • Organisatie netwerk‐ en nascholings‐ bijeenkomsten. • Gastlessen van universitaire docenten bij bijv. wiskunde‐D. • Promotie van activiteiten zoals ‘leve de wiskunde’, webklassen ed. 1 3/7/2014 Persoonlijke doelstellingen • Tot stand brengen van individuele contacten tussen wiskundedocenten en universitaire docenten. • Stimulering van wiskundige activiteit bij wiskundedocenten Voorbeelden van wiskundige activiteiten • Het rechts‐om‐probleem • Priemgetallen en de rij van Fibonacci • Som van een reeks binomiaalcoëfficiënten Het rechts‐om‐probleem Waar of niet waar? Je stapt op een willekeurige plaats op aarde je hotel uit , gaat naar rechts en vervolgens ga je bij iedere kruising de eerste straat naar rechts. Bij een doodlopende weg keer je op je schreden terug. Kom je altijd bij je hotel terug? • Bewijs dat je op deze manier altijd bij je hotel terugkomt of zoek een tegenvoorbeeld. • Aan welke voorwaarden moet het wegennet voldoen? • Na vijf minuten proberen door de deelnemers wordt ‘een bewijs’ uitgedeeld en besproken. 2 3/7/2014 Een opgave uit het tijdschrift Pythagoras: De rij van Fibonacci, waarvan de elementen genoteerd worden met , wordt als volgt geconstrueerd: 0 0, 1 1, en verder geldt: 1 2 . Bewijs dat er voor elk positief geheel getal n oneindig veel getallen in de rij van Fibonacci zijn die een veelvoud zijn van n. Een spectaculair vermoeden Het bewijs van de opgave • Om dit te bewijzen bekijk je de rij modulo n, oftewel je kijkt naar de resten die je krijgt als je een getal uit de rij deelt door n. Als je, bij gegeven n, kijkt naar deze resten, blijken ze een periodieke rij te vormen. • Neem bij wijze van voorbeeld n = 8. Dan krijg je de rij: 0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,3,5,……. Je ziet dat de rij na 12 stappen repeteert. • Omdat F0 = 0 en de rij periodiek is zijn er dus oneindig veel veelvouden van n! Controleer dit vermoeden! Een positief geheel getal n ongelijk aan 1 of 5 is een priemgetal dan en slechts dan als Fn‐1 of Fn+1 een veelvoud is van n. Een positief geheel getal n ongelijk aan 1 of 5 is een priemgetal dan en slechts dan als Fn‐1 of Fn+1 een veelvoud is van n. i 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 34 10 55 11 89 12 144 13 233 14 377 3 3/7/2014 Som van een reeks binomiaalcoëfficiënten Waar of niet waar? Aanleiding onderzoek bij Hendrik Lenstra. De ene kant op is waar en te bewijzen. De andere kant op is helaas niet waar. Het kleinste tegenvoorbeeld is 323 ( = 17 ×19). Deze is namelijk een deler van F324 . • Fibonacci‐pseudopriemgetallen • • • • Het bewijs • Met inductie naar n. • Met complexe getallen: Bart de Smit, universiteit Leiden Bewijs: 1 4 1 2 3 7 ⋯ 2 cos 2 3 Tenslotte • Geïnteresseerd? Neem contact op via Itsacademy of mail [email protected]. • Dank voor uw aandacht 4
© Copyright 2024 ExpyDoc
