3 二次方程式

３二次方程式
１章二次方程式
§１二次方程式とその解き方
（３時間）
§１二次方程式とその解き方
《パンの半径を求める》
ここに、50.24cm3のパン生地(材料)がある。
このパン生地から厚さ１cmの丸いパンを作りたい。
パンの半径を何cmにすればいいだろうか。
ただし、円周率は3.14とする。
円柱の体積は、V＝πr 2h の式で求められるので、
半径を x cmとすると、次の方程式が成り立つ。
50.24＝3.14×x 2×1
3.14 x 2＝50.24
x 2＝16
x 2＝16 にあてはまる x の値４と－4である。
よって、パンの半径は４cmである。
は、
《ドーナッツ型パンの幅を求める１》
次は、同じ体積のパン生地から厚さ１cm、半径
５cmの丸いドーナッツ型パンを作りたい。ドーナッ
ツの矢印の生地の幅を何cmにすればいいだろうか。
ただし、円周率は3.14とする。
幅を x cmとすると、次の方程式が成り立つ。
(3.14×52×1)－{3.14×(5－x)2×1}＝
2
78.5－(78.5－31.4
x＋3.14
x
)＝50.24
50.24
－3.14 x 2＋31.4 x＝50.24
x 2－10 x＝－16
x 2－10 x＋16＝0
しかし、この形の方程式はまだ解けないの
《ドーナッツ型パンの幅を求める２》
中空部分の半径を x cmとすると、次の方程式が成
り立つ。
(3.14×52×1)－(3.14×x 2×1)＝50.24
78.5－3.14 x 2＝50.24
－3.14 x 2＝－28.26
x 2＝9
３と－3である。
x 2＝9 にあてはまる x の値は、
よって、中空部分の半径は３cmなので、
ドーナッツの生地の幅は２cmである。
x 2－10 x＋16＝0 に x＝2 を代入すると、
22－10×2＋16＝ 0
《二次方程式》
3.14 x 2＝50.24
x 2＝16
x 2－10 x＋16＝0
3.14 x 2－50.24＝0
x 2－16＝0
ax 2＋bx＋c＝0
移項して整理すると、x の二次式が 0 に等しいと
いう形になる方程式を、x についての二次方程式とい
う。
方程式の解
二次方程式にあてはまる文字の値
二次方程式を解く解をすべて求めること
二次方程式 x 2－16＝0 の解は、４と－4である。
これを、x＝±4 と書いてもよい。
《P58 解答 ②》
x 2－5 x＋6＝0
《 x 2＝k の解き方》
平方根の意味にもと
づいて解く。
x 2＝k
x＝± k
《例１》
2 x 2＝50
1 x 2＝25
x＝± 25
x＝±5
3 x 2＝9
1 x 2＝3
x＝± 3
《 ax 2＝b の解き方》
両辺を a でわり、x 2＝
k の形に変形して解く。
b2
x ＝―
ax＝± b
a
《P59 解答 ③》
(1 2 x 2＝18
)
(2 5 x 2＝35
)
《例２》
3 x 2－24＝0
3 x 2＝24
x 2＝8
x＝± 8
x＝±2 2
4 x 2－3＝0
4 x 2＝3
3
x ＝―
4
2
3
x＝±
4
3
x＝± 2
《P60 解答 ④》
(1 2 x 2－36＝0
)
(2 9 x 2－2＝0
)
《 ( x＋m) 2＝n の解き方》
x＋m を１つのものとみて、これを X とおくと、
X 2＝n となり、解くことができる。
《例３》
( x＋1) 2＝36
x＋1＝X とおくと、
X 2＝36
これから、
X＝±6
X をもとにもどして、 x＋1＝±6
x＋1＝6 から、
x＝5
x＋1＝－6 から、
x＝－7
よって、
x＝5 , －
(7x＝5 , x＝
《P60 解答 ⑤》
(1 ( x－2) 2＝9
)
(2 ( x＋3) 2－25＝0
)
《例４》
( x－3) 2＝7
x－3＝± 7
x＝3± 7
《P60 解答 ⑥》
(1 ( x－1) 2＝5
)
(2 ( x＋5) 2＝27
)
《 x 2＋bx＋c＝0 の解き方》
(1 x 2＋6 x－1＝0
) －1 を移項して、
x 2＋6 x＝1
左辺を ( x＋m) 2 の形にするために、
x
x
3
3
6
《 x 2＋bx＋c＝0 の解き方》
(1 x 2＋6 x－1＝0
) －1 を移項して、
x 2＋6 x＝1
左辺を ( x＋m) 2 の形にするために、
x の係数の半分の２乗を両辺に加える。
x 2＋6 x＋32＝1＋32
( x＋3) 2＝10
x＋3＝± 10
x＝－3± 10
《P61 練習解答 ①》
(1 x 2＝64
)
(2 2 t 2＝14
)
(3 5 x 2－60＝0
)
(4 4 x 2－11＝0
)
《P61 練習解答 ②》
(1 ( x＋1) 2＝49
)
(2 ( x－5) 2－5＝0
)
《P61 練習解答 ②》
(3 x 2－10 x＋16＝0
)
《 ax 2＋bx＋c＝0 の解き方》
(2 ax 2＋bx＋c＝0
) c を移項して、
ax 2＋bx＝－c
b
両辺を左辺を a でわる。 c 2
x ＋― x＝－―
a
2
a
左辺を ( x＋m) の形にするために、
x の係数の半分の２乗を両辺に加える。
b
b
c2
b
2
x ＋―
x＋(
―
)
＝－―＋
2
(―)
a
2a
2a
a
b
b
c2
b
2
x ＋―
x＋(
―
)
＝－―＋
2
(―)
a2
b 2a
c a
2a
b
2
( x＋― ) ＝－―＋
――
b
－4a
2
22a
4a
ac＋b
( x＋― )2＝
―――――
2
2ab
－
4
a
c
＋
b
2
4a x＋― ＝
±
4 a2
2a
b
b2－4 ac
x＋― ＝±
2a
2a
b b2－4 ac
x＝－― ±
2a 2 a
－b b2－4 ac
x＝
2a
END

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