Mathematics that the professor loved 徳山豪東北大学 “ＰＩ” that professors love 博士たちの愛する円周率円周率 • π＝３．１４１５９２６５３５８９……. – 無理数、超越数 – 古代からの不思議 – 数学のあらゆる場で出てくる数 • 今日のテーマ：円周率四方山話 – ビュホンの針 – 有理数でないことの証明 – 不思議な等式たち • 気楽に聞いてください円周率 • 半径1の円の面積は、周長は？球の体積は、球の表面積は？ • 単位円の面積＝単位円の周長/２ – – – • 古代ギリシャ以前に既知証明してみてください同様に、表面積と体積の関係は？単位球の体積＝単位円の面積＊４/3 – – – これは簡単ではない？？ピタゴラス＋天才アルキメデスだれか、証明を知ってますか？円周率を計算しよう：１ • 実験による計算：モンテカルロ法 • Ｂｕｆｆｏｎの針 • 幅１の間隔で横線を引く • 長さ１の『針』を落とす • 針が横線と交わる回数からπが計算できる演習 • • • 幅１の間隔で横線を引く長さ１の『針』を落とす針が横線と交わる確率を求めよエレガントな解法 • • • • • 『確率』の代わりに、『交点数の期待値』を考察長さaの『針』での期待値ｆ(a) f(a) +f(b) = f(a+b) 長さ1/nの針を正ｎ角形に並べるｎを無限大にすると、円周になる円周率の性質 • 無理数である – 証明は易しくないが、初等的に出来る – 証明には2000年以上掛かった • アリストテレスからＬａｍｂｅｒｔ（１７６６）まで – 講義ではやらない（ＰｒｏｏｆｏｆｔｈｅＢｏｏｋ参照） • 超越数である（代数方程式の解にならない） – 証明は易しくない – Ｌｉｎｄｅｒｍａｎｎの定理（１８８２）面白い等式  (2)  1 / n  / 6 2 2 n1 •オイラーの等式 •超越数の理論の出発になった等式  (2k )  1 / n Ak 2k n1 2k 面白い等式  (2)  1 / n  / 6 2 n1 • 証明のアウトライン •下記の積分を2通りに計算する 1 1 1 I   dxdy 1  xy 0 0 2 等式から求める円周率  (2)  1 / n  / 6 2 2 n1 • この公式から円周率（の２乗）を計算できるはず。 •大きいｎまで計算して、誤差は1/n程度 •1兆桁まで計算するのは不可能 • よりよい等式を利用する •逆正接関数を用いた式（オイラー以来たくさん） • 計算法について、調べてみてください。