電気回路学
Electric Circuits
コンピュータサイエンスコース、
ナノサイエンスコース4セメ開講
等価電源の定理
山田 博仁
等価電源の定理
a
I
I
Z0
VZ00
V0
Z
V0
Z0 Z
(鳳-)テブナンの定理
ヘルムホルツの定理
参) 鳳秀太郎（ほう ひでたろう、元東京大
b
学工学部教授で与謝野晶子の実兄
a
V
I0
YI00
Y0
b
Y V
I0
Y0 Y
ノートンの定理
Y0
1
Z0
I0
V0
Z0
電圧源と電流源の間の等価な変換
Z0
J
E
電圧源
電圧源と電流源との間に、 Y0
Y0
電流源
1
E
, J
の関係がある時、
Z0
Z0
その電圧源と電流源は等価である。
E, Jが直流電圧源および電流源、Z0, Y0 が抵抗およびコンダクタンスの場合は、
p.11の図1.15で学習済
等価電源
例題8.5
下の回路と等価な電源を求めよ
6W
6V
6W
3W
2W
6A
2W
または、
12V
5A
6V
1A
1A
6W
3W
6W 3W
5A
5A
等価電源
例題8.6
下の回路と等価な電源を求めよ
Y1
Y2
Yl
I1+I2+‥ +Il
V0
E1
E2
El
V0
I1
I1=Y1E1
Y1
Y1+Y2+‥ +Yl
I2
I2=Y2E2
Y2
Il
Il=YlEl
Yl
I1 I 2 I l
Y1 Y2 Yl
Y1 E1 Y2 E2 Yl El
Y1 Y2 Yl
帆足-ミルマンの定理
V0
等価電源
演習問題(8.9)
I
Z1
V1
Z1
V1
V2
重ね合わせの原理を適用
V2 を殺し、V1 のみの場合
I1
Z1
V1
Z2
Z2 V
2 Z
2
Z1
Z2
V1
V
V2 Z
2
テブナンの定理
I1
V1
Z1 Z 2
V1 を殺し、V2 のみの場合
I2
V2
Z1
I I1 I 2
V1 V2
Z1 Z 2
V V1 Z1 I V1 Z1
V2
I2
Z1 Z 2
Z 2V1 Z1V2
Z1 Z 2
V1 V2
Z1 Z 2
等価電源
演習問題(8.10)
I
Y1
Y1
I1
I2
I1
Y2
Y2
Y1
I2
V
I1
Y2
I2
重ね合わせの原理を適用
I2 を殺し、I1 のみの場合
ノートンの定理
Y1
I1
Y2
V1
V1
I1
Y1 Y2
I1 を殺し、I2 のみの場合
Y1
V2
Y2
I2
V V1 V2
I1 I 2
Y1 Y2
I I1 Y1V I1 Y1
V2
I2
Y1 Y2
Y2 I1 Y1 I 2
Y1 Y2
I1 I 2
Y1 Y2
等価電源
演習問題(8.12)
下のようなブリッジにおいて、I5を求める問題
A
Z1
Z3
→ 閉路方程式により解く場合 式(7.39)
テブナンの定理を利用して解く場合
端子A-Bから左を見た回路の内部
インピーダンスZinは
Zin
Zin
I5
Z in
V 0 I5
Z5
端子A-B間の開放電圧V0は
V0
Z2
Z4
E1
Z5
Z1 Z 3
Z Z
2 4
Z1 Z 3 Z 2 Z 4
B
Z3
Z4
E
V0
Z1 Z 3 Z 2 Z 4
テブナンの定理により
I5
V0
Z in Z 5
補償定理
電流 Ik が流れている線形回路網中の任意の枝にインピーダンス dZk を挿入する
とき、挿入により生ずる回路中の各節の電圧、各枝の電流の変化量は、回路中
の電源を全て殺し、インピーダンス dZk を挿入した状態において dZk に直列に Ik
と逆向きに電圧 -dZk Ik なる補償電圧源を加えた場合の電圧、電流に等しい。
V1 + dVV11
dV1
I1 +I1dI1
Jn
dI1
dZkIk
V2 +Vd2 V2
dV2
dZk
E1
I2 +I2dI2
Vq + dVVq q
Em
-dZkIk
dI2
Iq +IqdIq
線形回路網
dVq
dIq
補償電圧源の印加
補償定理の証明
インピーダンス dZk を挿入する前の線形回路網に対しては、以下の式が成り立つ
E1 Z11 Z12
E Z
2 21 Z 22
Ek Z k 1 Z k 2
Eq Z q1 Z q 2
Z1q I1
Z 2 q I 2
Z kq I k
Z qq I q
Z1k
Z 2k
Z kk
Z qk
(1)
また、電流 Ik が流れている枝にインピーダンス dZk を挿入すると、
E1 Z11 Z12
E Z
2 21 Z 22
Ek Z k 1 Z k 2
Eq Z q1 Z q 2
Z1k
Z 2k
Z kk dZ k
Z qk
Z1q I1 dI1
Z 2 q I 2 dI 2
Z kq I k dI k
Z qq I q dI q
(2)
補償定理の証明
計算を簡単にするために、
E1
E
2
: E
Ek
Eq
I1
I
2
: I
I k
I q
dI1
dI
2
: dI
dI k
dI q
0
0
0
0
と置くと、
Z11 Z12
Z
21 Z 22
Z k1 Z k 2
Z q1 Z q 2
0
0
0
0
0 dZ k
0
0
Z1k
Z 2k
Z kk
Z qk
0
0
: dZ
0
0
Z1q
Z 2 q
: Z
Z kq
Z qq
補償定理の証明
(2)式は以下のように書ける
E Z dZ I dI
従って、
E Z dZ I Z dZ dI
Z I dZ I Z dZ dI
(1)式の関係 [E] = [Z][I] を用いると上式は、
dZ I Z dZ dI
行列の全成分を表示して書くと上式は、
0 Z11 Z12
0 Z
Z 22
21
d
Z
I
k k
Z k1 Z k 2
0
Z q1 Z q 2
Z1k
Z 2k
Z kk dZ k
Z qk
Z1q dI1
Z 2 q dI 2
Z kq dI k
Z qq dI q
(3)
補償定理の証明
0 Z11 Z12
0 Z
Z 22
21
d
Z
I
k k
Z k1 Z k 2
0 Z q1 Z q 2
Z1k
Z 2k
Z kk dZ k
Z qk
Z1q dI1
Z 2 q dI 2
Z kq dI k
Z qq dI q
(3)
この(3)式が表していることは、先の線形回路網において、回路中の全ての電圧
源を殺し、電流 Ik が流れていた枝にインピーダンス dZk と電圧源 –dZkIk を挿入し
たとき、各枝には各々 dI1, dI2, ‥‥, dIq の電流が流れるということである。
これは正しく、補償定理を表している
補償定理
演習問題(8.13)
ブリッジが平衡しているので
Z1
Z3
I4
E
Z2 Z4
補償定理を利用
R
I=?
I=0
I4
Z2
I
dZ
dZ I4
Z4
Z4 +dZ
dZ « Z4
E
Z4 +dZ
dZ I 4
Z2
Z1Z 2 Z 3
ZZ
Z 4 dZ
Z2 1 3
Z1 Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 1
Z1 Z 3
今、dZ « Z4なので
I
I
R
dZ I4
Z2
dZ Z 2 ( Z1 Z 3 ) E
( Z 4 dZ ){( Z1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z1 ) Z1Z 2 Z 3}(Z 2 Z 4 )
Z1
Z3
dZ Z 2 ( Z1 Z 3 ) E
Z 4 {( Z1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z1 ) Z1Z 2 Z 3 }(Z 2 Z 4 )
従って、I はdZ に比例する
演習問題
演習問題(8.14)
ヒント: 500Wの電熱器(電球)→100Vの電圧をかけた時5Aの電流が流れるので、
使用時の抵抗値が20Wとなるよう設計してある
ri
100V
80V
ri=5[W]
20W
演習問題(8.16)
J1
J2
J3
I
Z1J1
Z1
Z1
Z2J2
Z2
Z2
Z3J3
Z3
Z3
Z
V
I
Z1 J 1 Z 2 J 2 Z 3 J 3
Z Z1 Z 2 Z 3
出席レポート
10/15の出席レポート問題は、演習問題(8.15)
回路中のインピーダンス z1に電流 I1が流れている。z1に直列に z2を入れると
電流 I2がとなるならば、 z1に並列に z2を入れると、 z1にどんな電流が流れるか。
ヒント: 等価電源の定理を使う
※ 次回の講義(10/22)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
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