I 2

電気回路学Ⅰ
コンピュータサイエンスコース
知能コンピューティングコース
ナノサイエンスコース
山田博仁
連絡事項
1. 教科書および参考書
1) 大学課程電気回路(1) (第3版) 大野克郎、西哲生共著、オーム社
2) 電気回路 - 三相、過渡現象、線路 - 喜安善市、斉藤伸自著、朝倉書店
3) 電気・電子工学基礎シリーズ電気回路山田博仁著、朝倉書店
2. 成績評価
・授業点と定期試験を勘案して行う
・授業点は、毎回の講義時間内に行う演習をもって評価する
・定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となる
(再試は行なわないかも知れない)
3. オフィスアワー
随時、場所: 2号館203号室 (事前にアポをとって来ることをお勧めします)
E-mail: [email protected]、電話(内線): 7101
4. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/
5. 講義に関するご意見やご質問などは、
ブログ「講義の落書き帳」: http://kougi.at.webry.info/
Twitter「講義のつぶやき」: @yamada_hirohito
Skype名: hirohito__yamada
講義日程と内容
日程 (回目)
講義内容
教科書、参考書の章との対応
1)
2)
3)
8.1
5.1, 5.2
8.2, 8.3
5.3～5.5
10/10 (第1回) 重ね合わせの理
10/17 (第2回) 双対回路と相反定理
10/24
休講
10/31 (第3回) 等価電源と補償定理
8.4, 8.5
11/7 (第4回) 供給電力最大の法則
8.6
11/14 (第5回) Y行列、 Z行列
9.1～9.3
11/21
休講
11/28 (第6回) F行列、諸行列間の関係
9.4, 9.7
12/5 (第7回) Y-D変換、伝送的性質
9.8, 10.1, 10.2
12/12 (第8回) 円線図
10.7
12/19 (第9回) 線路の方程式、縦続行列
8.1～8.4
1/9 (第10回) 波の反射
8.5～8.6
1/16 (第11回) 理想線路、無歪線路、複合線路
8.8, 9.1
1/23 (第12回) 無損失線路と反射波
9.2
1/??
まとめ
1月下旬
定期試験
5.6, 5.7
3.4e
6.1～6.3
6.4, 6.6
6.7, 6.8
3.5c
7.1～7.5
7.6～7.8
7.9, 7.10
7.11
線形回路
実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流 I の関数になっている (非線形素子)
V = R(I) I
RR
(I)
I
V
つまり、V と I は比例関係にない
しかし、電流がごく小さい範囲では、R =一定とみなせる (線形近似)
V=RI
R が線形素子なら、
つまり、V と I は比例
(重ね合わせ)
R (I1+I2) = R I1 + R I2
R が線形でなければ、 R(I1+I2) (I1 + I2) ≠ R(I1) I1 + R(I2) I2
である
(重ね合わせ)
R が線形であれば重ね合わせが可能で、素子に I1 のみが流れている状態と、
I2 のみが流れている状態を重ね合わせると、 I1 と I2 が同時に流れている状態
に等価となる
実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似的に
線形素子として扱える場合を対象にしている
重ね合わせの理
複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその位置
に存在するときの分布の総和に等しい。
I1
I
V
E1 のみ存在
V1
E1
J1
E1
その他の電源
は殺す
電圧源→短絡
E2
電流源→開放
J2
複数の電源を含む回路網
In
Vn
V = V1 + V2 + ‥ + Vn
I = I1 + I2 + ‥ + In
J1
J1 のみ存在
その他の電源
は殺す
重ね合わせの理
例題8.1
I
E1のみ
3R
E1 6R
J
E2
E
I1  1
7R
I1
3R
E1 6R
12R
12R
E2のみ
重ね合わせの理
E
I2   2
21R
I2
3R
E2
6R
12R
I  I1  I 2  I 3
J のみ
I3  
4J
7
I3
3R
6R
J
12R
重ね合わせの理
例題8.2
E1のみ
E2
R1
R1
R3
R2
I
E1
I1
E1
I1 
J
E2のみ
重ね合わせの理
J のみ
E2
I  I1  I 2  I 3
R1
R1
R2
E1
R1
R3
I3
I2
E
I2   2
R1
J
I3  J
重ね合わせの理
演習問題(8.1)
I
E1のみ
I1
I1 
E1
4R
重ね合わせの理
E2のみ
I2
I2
I2 
E2
R
J のみ
I3
I3  
J
4
演習問題
本演習問題は、本日の授業点となります。
以下の回路において、電流 I を求めよ。ただし、E と J、E0 と I0 とは同相とする。
R1
R2
R
E
2R
J
2E
R3
I
2R
E
R4
(a)
(b)
jX1
I
R
I
−jX2
I0
(c)
I0
−jX2
+
+
−
E0
J
jX1
E0
(d)
−
I
演習問題解答
問(c)
2. 次に電流源を開放除去する.
このとき回路に流れる電流 I3は、
1. まず電圧源を短絡除去する.
回路の左半分に流れる電流を I1、
右半分に流れる電流を I2とすると、
I3 
I1  I 2  I 0
E0
R  j X 1  X 2 
I1 : I 2  R  jX 2 : jX1
以上より、求めるべき電流は、
これらより、
I  I 2  I3
jX1 I 0
I2 
R  j X1  X 2 
jX1

jX1
R
I1
I2
I3
R
E0
－
jX2
+
I0
jX 1 I 0  E0
R  jX1  X 2 
jX2
演習問題解答
問(d)
1. まず電流源を開放除去する.
I1
jX1
2. 次に電圧源を短絡除去する.
I2
 jX2
+
I0
jX2
jX1
E0
－
このときインダクタに流れる電流 I1は、
I1 
E0
j X1  X 2 
このときインダクタに流れる電流 I2は、
電流の分配則より、
I2 
 jX 2 I 0
j X1  X 2 
従って元の回路の求めるべき電流Iは、
I  I1  I 2 
E 0  jX 2 I 0
j X1  X 2 
双対性
電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして現れる。
例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそれに当たり、この
ような対応関係にある概念は双対といわれる。
双対関係にある素子などの例
双対関係にある概念の例
電圧 V
電流 I
直列接続
並列接続
インピーダンス Z
アドミタンス Y
短絡
開放
抵抗 R
コンダンタンス G
閉路
カットセット
Y型接続
D型接続
キルヒホッフの
第2法則
キルヒホッフの
第1法則
インダクタンス L キャパシタンス C
リアクタンス X
サセプタンス B
電圧源 E
電流源 J
双対回路
ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧と電
流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するような電気回路が
あるとき、このような2つの回路を互いに双対な回路という。
双対回路
I
I
E
J
V
R
E=RI
E
G
J = GV
J
上の2つは双対回路
V
L
E = jw L I
C
J = jw C V
上の2つも双対回路
双対回路の作り方
双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グラフの枝
とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えればよい。
Z
q
1
E
q
J
p
原グラフ
双対なグラフ
電源など、極性のある素子の扱い
(a) 電圧源 → 電流源
原回路で点 p を囲んで時計回りに
電圧が上昇(降下)する電圧源なら、
新回路では点 p の方向(点 p から出
る方向)に電流を流す電流源になる
E
J
Y
2’
p
双対回路
2
原回路
1’
p
双対回路の作り方
(b) 電流源 → 電圧源
原回路で点 p を囲んで時計回りに
(反時計回りに)電流を流す電流源な
ら、新回路では点 p の方向に電圧
が上昇(降下)する電圧源になる
J
p
E
(c) ダイオード → ダイオード
原回路で点 p を囲んで時計回りに
順方向(逆方向)のダイオードなら、新
回路では p の向きに順方向(逆方向)
のダイオードとなる
p
以下の回路と双対な回路を求めよ
Z1
E1
Z3
Z2
E2
J
L
C
G
双対回路の作り方
Z1
E1
Z3
Z2
E2
原回路
原グラフ
Y3
Y1
Y2
J1 Y 1
Y3
J2
p
Y2
q
J1
J2
r
双対回路
双対なグラフ
双対回路の作り方
4
J1
2
1
J2
原回路の電源 E1が
閉路3と同じ向きな
ので、節点3に向か
うように J1=E/K を入
れる
E2
E1
3
原回路の電源 J2が
閉路2と同じ向きな
ので、節点2に向か
うように E2=K J2 を
入れる
逆回路
逆回路とは
2つの二端子回路があり、そのインピーダンスを
Z1, Z2 とするとき、その積が周波数 w に関係なく
Z1 Z2 =K2 (K は正定数)となるならば、二つの回
路は K に関して互いに逆回路であるという。
Z1
逆回路
逆回路の作り方
D=1/C
K2
R1
R2
L1
Z2
K2
R2
K2
L
D
K2
R3
D
R1
K2
Z2 
Z1
R3
K2
D1 
L1
ただし、D1=1/C1
逆回路
演習問題(8.2)
以下の回路の K に関しての逆回路を求めよ
L1
D1
L1
L3
L2
R1
R2
(a)
D4
D2
R
D1
L2
L3
D3
D2
(b)
L4
(c)
逆回路
演習問題(8.2)
Kに関しての逆回路を求めよ
L1
D1
K2
D1 
L1
R1
R2
K2
L1 
D1
逆回路
K2
R1
K2
R2
上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は Z1 Z2 =K2 の関係を満たし
ていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路が存在する
逆回路
演習問題(8.2)の解答
Kに関しての逆回路は、
K2
L1 
D1
K2
D2 
L2
K2
D1 
L1
K2
D3 
L3
K2
L2 
D2
K2
L4 
D4
K2
R
K2
D2 
L2
K2
L2 
D2
K2
D3 
L3
K2
L3 
D3
K2
D4 
L4
定抵抗回路
インピーダンスが周波数 w に依存しない二端子回路を定抵抗回路という
下の回路のインピーダンスはいずれも R となり、w に依存しない
Z
Z
R
R
R
R2
Z
Z
R
R
Z
R2
Z
R2
Z
Z
or
R2
Z
R
R2
Z
Z
R2
Z
逆回路を組み合わせると定抵抗回路が実現できる
上記回路のインピーダンスがいずれも R となることを確かめよ
R
R2
Z
R
Z
定抵抗回路
演習問題(8.4)
R1
R2
L
C
インピーダンス
 w 2 LCR1 R2  jw ( LR1  LR2 )  R1 R2
Z (w ) 
 R0
 w 2 LCR2  jw ( L  CR1 R2 )  R1
この式が、周波数 w の値に関係なく成立するためには、分母と分子の各項
の係数の比が R0 に等しくなければならない
つまり、
従って、
LCR1 R2 L( R1  R2 ) R1 R2


 R0
LCR2
L  CR1 R2
R1
R1 R2  R0
L
 R02
C
定抵抗回路
演習問題(8.6)
I1+I2
I1
Z
R02
Z
V
R02
ZI1 
I 2  E (1)
Z
R02
R0 ( I1  I 2 )  ZI1 
I2  0
I2
Z
R0
E
I2
R02
Z
I1- I2
Z
I1+I2
I1 
E
R0  Z
I2 
Z
E
R0 R0  Z
I1

 Z

R  Z
 0
R02
( R0  Z ) I1  ( R0  ) I 2  0
Z
 ( 2)

  I1   E 
 
2 

R
I
0
 ( R0  0 )  2   
z 
R02
Z
2
2

 E 
R
R
0
0
 I1 
1

(
R

)

0

 
I  
Z
Z
2
2
 0 
 2   Z ( R  R0 )  R0 ( R  Z )   ( R0  Z )
Z

0
0
Z
Z
∴ I1  I 2 
E
R0
また、 V  R0 ( I1  I 2 ) 
R0  Z
E
R0  Z
相反定理
Ip’
Ep
JpVp’
p
Iq
相反回路
Black
Box
Black Box
相反回路
q
Eq’
Ep Ip’= Eq’Iq の関係が成り立つ時
VqJq’
Jp Vp’= Jq’ Vq の関係が成り立つ時
演習問題
問1. 右の(a)、(b)の回路で、
端子間のインピーダンス
が周波数に依らず一定
の R0 となる条件を求め
よ。
L
R
R
C
L
R
C
R
(a)
(b)
問2. 図(a)に示す回路網のインピーダンス Z1 に直列に電圧 E1  100[V]を加えたとき、
Z2 には I 2  5[A] の電流が流れた。次に、図(b)に示すように電圧源 E1 を取り除い
て Z1 に I'1  3[A] の電流を流すためには、 Z2 に直列にいくらの電圧 E2 を加えれ
ばよいか。
I2
Z1
回路網
Z2
I1’
Z2
Z1
回路網
E1
E2
(a)
(b)

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