Absolute Orientation Absolute Orientationの問題二つの座標系の間における剛体(rigid body)変換を復元する問題である。例えば： 2台のステレオカメラから得られた３次元情報の間の関係を推定する問題。その関係が知れば、すべての３次元情報をひとつの座標系で記述することができる。 pc  ( xc , yc , zc ) は、点Pがカメラ座標系での座標 p a  ( xa , ya , za ) は、点Pがワールド座標系での座標ある点群がそれぞれの座標系での座標は既知とした場合、カメラ座標系とワールド座標系の間の回転行列と平行移動ベクトルを推定する問題。つまり、 p c ,1 , p a ,1 , p c , 2 , p a , 2 ,..., p c ,n , p a ,n  が既知の場合、 p a ,i  Rpc ,i  p c を満たす R と p c を求める問題。ここで、  rxx  R  ryx  rzx  rxy ryy rzy rxz   ryz  rzz   px  p c   p y   p z  p a ,i  Rpc ,i  p c を展開すると、下記の方程式になる。 xa ,i  rxx xc ,i  rxy yc ,i  rxz zc ,i  p x ya ,i  ryx xc ,i  ryy yc ,i  ryz zc ,i  p y z a ,i  rzx xc ,i  rzy yc ,i  rzz zc ,i  p z 座標変換のパラメータは、１２個で、回転行列の要素は９個、並行移動ベクトルは３個である。１対の対応点 p c ,i ,p a ,i  から、上記のように、３個の方程式が得られる。したがって、最低、４対の対応点が必要。たくさんの対応点があれば、最小２乗法を使えば、解の精度を向上することができる。しかし、Rは回転行列であることを無視して、つまり、 RRT  I という拘束条件を無視して、連立方程式として解を計算すれば、得られた答えは、有効な（意味のある）回転行列でない可能性がある。この問題を解決ために１．線形方程式の解として得られた回転行列を、無理やり RRT  I に従うように修正する。たとえば、 rxy v2 yx ryy zx rzy v3 v'1    r  r v1  rxx  r  r  rxz T T yz とすると、 T zz v v v1 v' v' v'2  3 1 v'3  1 2 | v1 | | v 3  v1 | | v'1v'2 | しかし、この方法で得られた結果は最良の近似である保障はありません。２．回転行列の要素を求める代わりに、たとえば、pan, tilt, rollの角度を推定する。しかし、こうすると、方程式は非常に複雑な三角関数の方程式となってしまう。３．RRT  I を考慮して、方程式を解く方法 p a ,i  Rpc ,i  p c (3.1) ３．１点群の重心を求める 1 n p a   p a ,i n i 1 (3.2) 1 n p c   p c ,i (3.3) n i 1 すると、平行移動ベクトルは、下記の式で表現できる。 pc  p a  Rpc (3.4) ３．２各点から、重心の座標を引く p ' a ,i  p a ,i  p a (3.5) p 'c , i  p c , i  p c (3.6) p a , i  p ' a , i p a (3.7) p c,i  p'c ,i p c (3.8) すると、式(3.7),(3.8)を式(3.1)に代入すると、 p'a ,i p a  Rp'c,i Rp c  p c (3.9) p'a ,i p a  Rp'c,i Rp c  p c (3.9) 式(3.4) を式(3.9)に代入すると、 (3.10) p'a ,i  Rp'c ,i p'a,i q Rp'c,i (3.10)が成り立つとき、q = 0 最大になる。  このとき、 p'a ,i  Rp'c ,i  4次元形式で表すと、   p'a,i Rp'c,i   r'a,i  qrc,iq*  qr 'c,i  qr 'a,i  (3.9) したがって、回転行列を推定するために、下記の関数F(q) を最大にするqを求めれば良い。 F (q)   qr 'c ,i  qr 'a ,i    N c ,i q  N a ,i q  n n i 1 i 1 n   qT NTc ,i N a ,i q i 1 n   T T  q   N c ,i N a ,i q  i 1   qT Nq T  xc ,i  y c ,i N c ,i  0 x c ,i    yc ,i   z c ,i 0  z c ,i y c ,i z c ,i 0  xc ,i  xa , i  y a ,i N a ,i  0 x a ,i    y a ,i   z a ,i 0  z a ,i z a ,i 0 y a ,i  xa , i ここで、  z c ,i    yc ,i  xc ,i   0   z a ,i    y a ,i  xa , i   0  そして、  S xx  S yy  S zz  S S yz zy N  S zx  S xz   S xy  S yx S yz  S zy S xx  S yy  S zz S zx  S xz S xy  S yx S xy  S yx  S xx  S yy  S zz S zx  S xz S yz  S zy S xy  S yx   S zx  S xz   S yz  S zy   S xx  S yy  S zz  n n n i 1 i 1 i 1 n n n i 1 i 1 i 1 n n n i 1 i 1 i 1 S xx   xc ,i xa ,i S xy   xc ,i ya ,i S xz   xc ,i za ,i S yx   yc ,i xa ,i S yy   yc ,i ya ,i S yz   yc ,i z a ,i S zx   zc ,i xa ,i S zy   zc ,i ya ,i S zz   zc ,i za ,i 関数F(q)はqに関する２次形式であり、そしてqの長さが1である。「２次形式の微分と極値」で説明したように、 F(q)の最大値 N の最大固有値であり、 F(q)を最大にするqは N の最大固有値に対応する固有ベクトルである。従って、 q = N の最大固有値と対応している固有ベクトル