統計学第３週（第４回） 10/15（月）鈴木智也 1 今日の講義の位置づけ • この講義全体の構成 ①記述統計 ← データの規則性を記述一変数の規則性の数値化度数分布の利用二変数の規則性の数値化 ← 今はここ ②確率論 ← 推測統計への橋渡し ③推測統計 ← データから全体像を推測 2 なぜ二変数の関係が重要か？ • 経営者の立場：自社製品の「価格」を上げれば、「収入」は増えるのか？ • 経済政策決定の立場：「公共投資」をすれば、どのくらい「ＧＤＰ」は増えるのか？ • 投資家の立場：どの株とどの株を組み合わせれば、リスクを減らせるのか？ 3 二変数分析の第一歩（散布図）二つの変数（ＸとＹ）のデータを取る。 ⇒Ｘの値とＹの値の組合せをグラフ化する。 ⇒これを「散布図」という。例：（株）トヨタ自動車と（株）デンソーについて、株価の動きを月次データで調べてみる。 4 2005/1 2005/2 2005/3 2005/4 2005/5 2005/6 2005/7 2005/8 2005/9 トヨタ自動車 4030 4070 3990 3840 3860 3970 4250 4500 4500 デンソー 2690 2675 2670 2495 2470 2525 2715 2795 2860 5 散布図の例株価の連動（2005年１月～９月） 2900 デンソー 2800 2700 2600 2500 2400 3800 3900 4000 4100 4200 4300 トヨタ自動車 4400 4500 4600 6 散布図から次のステップ • トヨタ自動車の株価が上れば、デンソーの株価も上る傾向にある。 ⇒こういった二変数の連動傾向が散布図から、一目瞭然である。 ⇒次は、その連動傾向を数値化する。 7 重要語句：復習をかねて • 平均：データの代表値 • 分散＆標準偏差：データの散らばり具合 ☆今日の重要語句：共分散＆相関係数 ⇒二変数の結びつきの強さを測る指標注）共分散を出してから、相関係数を出す。 8 復習 ☆分散（変数Ｘのデータについて） 2 2 ( X  X )    ( X  X ) 1 2 1 m sX   m m 1 where X  m m  ( X i  X )2 , i 1 m X . i i 1 各々の観測値が平均値からどのくらい離れているかの平均（散らばり具合の指標） 9 復習（２） ☆標準偏差（変数Ｘのデータについて） s X  s X2 これも散らばり具合を表す指標。注：分散は二乗を取って計算しているので、元の単位（例：兆円）とは異なる。 ⇒分散の平方根を取って、標準化し、元の単位に戻す。 10 共分散二変数間の関係の強さを表す指標 2 s XY 1  m m (X i  X )(Yi  Y ), i 1 1 where X  m m  i 1 1 X i and Y  m m Y . i i 1 ↑これを用いて、相関係数をはじき出す。 11 重要：相関係数 • 共分散を標準偏差で割って算出。 rXY 2 s XY  , where  1  rXY  1. s X sY • 相関係数の重要な性質 Xと Yが同方向に動く　 rXY  1. Xと Yが逆方向に動く　 rXY  1. Xと Yがばらばらに動く　 rXY  0. 12 応用例：投資リスクと相関係数 • 株などへの投資にはリスクがつきもの。 • 株価は上ることも下がることもある。 • 複数銘柄に投資し、ある銘柄の株価が下がっても、別の銘柄の株価が上れば、損失は防げる。 ⇒相関係数が－1に近い株同士を組み合わせれば、投資のリスクを回避できる。 13 注意点：相関係数 ☆相関係数は因果関係（原因と結果）について何も語らない。 • 二変数ＸとＹに相関関係が見られたとしても、どちらが原因でどちらが結果なのかについては、相関係数だけでは判別不能。 14 例1：相関係数と因果関係身長の高い人ほど体重が重い傾向にある ⇒身長と体重は正の相関関係では、体重を増やせば、身長は伸びるか？ ⇒Ｎｏ！ 15 例2：相関係数と因果関係暑い日ほどアイスクリームがよく売れる。 ⇒日中最高気温とアイスクリーム売上は正の相関関係では、アイスクリーム売上を減らせば、日中最高気温を低くできるのか？ ⇒Ｎｏ！ 16 例3：相関係数と因果関係 • 天気予報が雨ならば、実際に雨の降る日が多い。 ⇒天気予報の降水確率と実際の降雨量に正の相関では、天気予報士に「雨が降る」と言わせれば、雨で水不足を解消できるか？ ⇒Ｎｏ！ 17 例4：相関係数と因果関係 • 1990年代末、我が国では、不良債権が増加し、同時に、景気が悪化していた。 ⇒不良債権と景気指標は負の相関関係。・「銀行の不良債権が増えたから、景気が悪化した」ので、不良債権問題を解決すれば景気は上向く？・「景気が悪化したから、不良債権が増えた」ので、景気が上向けば、自然に不良債権問題は解決する？ 18