20150528
信号処理システム特論
本日の内容
○ 適応フィルタ（時間領域）
・ 適応アルゴリズム
（ＬＭＳ，ＮＬＭＳ，ＲＬＳ）
○ 適応フィルタの応用例
適応処理
非適応処理 ： 状況によらずいつでも同じ処理
適応処理 ： 状況に応じた適切な処理
【高度な適応処理の例】
雑音抑圧，音響エコーキャンセラ，騒音制御など
時間領域の適応フィルタ
与えられた手順に従ってフィルタ係数を更新し、
自動的に所望の信号を得るフィルタ。
誤差信号 ek
が小さくなるようにフィルタ係数を更新
所望信号
xk
適応フィルタ
yk
＋
－
+
dk
誤差信号
ek
適応フィルタの内部構成
xk
yk
フィルタ部
フィルタ係数
適応アルゴリズム
ek
フィルタ部（ＦＩＲフィルタの場合）
xk
a2
a1
a0
+
+
aM
+
+
フィルタ係数 {a0 , a1 , a2 ,..., aM }は時間によって変化
yk
最適性基準
誤差パワー の最小化
J = E[e ] = E[{d k − yk } ]
2
k
E[⋅ ] ：期待値
2
所望信号
適応フィルタ
の出力信号
出力信号のベクトル表記
yk = a Tk x k
a Tk = [a0 a1 a2 ... aM ]
T
x k = [ xk xk −1 xk − 2 ... xk − M +1 ]
誤差パワーＪ は係数に関する２次関数
評価関数Ｊ （誤差パワー）
J = E[ek2 ] = E[{d k − yk }2 ]
yk = a Tk x k
M+1次元空間
J
a1
â1
â0
評価関数 J のイメージ
・ 唯一の最適解が存在
・ 解析的に求めることが可能
a0
Ｗｉｅｎｅｒ解
J = E[ | ek |2 ] = E[(d k − a Tk x k )(d k − a Tk x k )T ]
= E[ d k d kT ] − a Tk E[ x k d kT ] − E[ d k x Tk ]a k + a Tk E[ x k x Tk ]a k
σ d2 := E[d k d kT ], Rxx := E[ x k x Tk ],
入力の自己相関行列
rdx := E[d k x Tk ], rxd := E[ x k d kT ]
入力と所望信号の相互相関ベクトル
J = σ d2 − a Tk rxd − rdx a k + a kH Rxx a k
∂J
= −rxd + Rxx a k = 0
∂a k
a k = Rxx−1rxd
正規方程式を解くことで解を得ることが可能
反復近似解法
正規方程式を解く方法：
自己相関行列を解くのは演算量大⇒計算資源の問題
定常性の仮定も必要⇒通常の用途では非定常信号を扱う
解決策
反復近似＝係数を少しづつ更新して，最適解を得る
代表的なもの：
LMSアルゴリズム(Least Mean Square)
NLMSアルゴリズム（Normalized LMS)
ＲＬＳアルゴリズム（Recursive Least Square)
最急降下アルゴリズム
a k = a k −1 + ∆a
更新量
J
【更新量の決定法】
∂J (a k −1 )
勾配ベクトル：
= − rxd + Rxx a k −1
∂a k −1
a1
â1
a0
â0
更新は勾配と逆方向
評価関数 J のイメージ
∆a = − µ (− rxd + Rxx a k −1 )
µ：ステップサイズ
係数更新式
傾きの符号と逆
の方向に更新
J
a k = a k −1 + µ (rxd − Rxx a k −1 )
a k = a k −1 + µE[ x k (d k − x Tk a k −1 )]
ek = d k − a x k
T
k-1
a k = a k −1 + µE[ x k ek ]
â0
a
<m >
0
a0
更新の方向
係数更新のイメージ
ＬＭＳとNLMSアルゴリズム
○ LMSアルゴリズム：期待値の代わりに瞬時値を利用
係数更新式
a k = a k −1 + µx k ek
0 < µ < 2 / λmax
λmax：入力の自己相関行列
Rxx の最大固有値
○ NLMSアルゴリズム：LMSを入力信号の平均電力で正規化
1
a k = a k −1 + µ '
x k ek
2
( M + 1)σ
0 < µ'< 2
σ 2：入力信号の分散
⇒ステップサイズの設定がLMSより簡単
RLＳアルゴリズム
○ 現在までの入力サンプルの情報を用いて，
逆行列計算を逐時的に行う
○ ステップサイズが自動的に決まる
初期値：
P0 = α −1 I
α : 任意の大きな整数
係数ベクトルの更新： a k = a k −1 + g k ek
T
−1
g
=
P
x
(
1
+
x
P
x
)
ゲインベクトル： k
k −1 k
k k −1 k
T
=
−
e
d
a
事前推定誤差： k
k
k-1 x k
自己相関行列の逆行列の更新：
Pk = ( I − g k xkT ) Pk −1
各種適応アルゴリズムの特徴
アルゴリズム
特徴
演算量
（タップ数：N=M+1）
LMS
•演算量は少ない
•ステップサイズに収束特性が大きく影響
2N
NLMS
•有色信号で収束速度が低下
•LMSよりもパラメータの設定が簡単
3N
RLS法
•有色信号に対して白色雑音と同等の収
束速度
•演算量の関係から高次のタップ数が必
要な音響用途の応用が困難
2N2
適応フィルタの参考書）
Ali H. Sayed, Adaptive Filters, Wiley.
その他の代表的な適応アルゴリズムの特徴
アルゴリズム
特徴
J-FHF
•収束速度が速い
（J-ユニタリアレイ
•有色信号で収束性能が高い
形式を導入したJ•並列化可能なアルゴリズム
高速H∞フィルタ）
FDAF
（周波数領域
LMS）
演算量
（タップ数：N）
7N
有色信号を擬似的に白色化し収束性能を向
上
2N + N log2N
連続的な動作と収束の安定性が両立しにくい
FFTと逆FFTの演算量（N log2N）が必要
高次の射影次数に対する演算量を削減
FAP
従来のAP法の特性を保持
（高速アフィン射
誤差累積による性能劣化防止など安定性の
影法）
改善が課題
2N + 20Np
（Np：射影次数）
適応フィルタの応用例
応用１） システム同定
特性の分かっていない伝達系に既知の信号を入力し，
その入力信号に対する出力信号から
その伝達系がどのような特性であるかを推定する技術。
Unknown System
dk
ek
xk
Adaptive filter
yk
xk : 入力 yk :フィルタ出力
d：システム出力
ek : 誤差信号
k
システム同定のシミュレーション
Unknown System
dk
xk
δk
ek
Adaptive filter
yk
δ k : 外乱
シミュレーション結果
MSE
各種法の収束特性
Ｔｉｍｅ k
応用2) 音響エコーキャンセラへの応用
音響エコーキャンセラ
携帯電話や固定電話のハンズフリー使用やインターネットによ
るWeb会議システムで使われているスピーカとマイクロホンを
利用した双方向通信では音響エコーを抑制、除去する機能
マイク
マイク
もしも～し・・・
音響エコー
もしも～し・・・
もしも～し・・・
もしも～し・・・
伝送路
応用2) 音響エコーキャンセラへの応用
伝送路
マイク
音響エコー
マイク
もしも～し・・・
はいは～い・・・
もしも～し・・・
はいは～い・・・
もしも～し・・・
xk
入力信号
適応フィルタ
ek
yk
－
+
所望信号
＋
dk
エコーキャンセラのシミュレーション結果
応用3) 胎児心電図の信号分離への応用
所望信号
（母体心電信号）
腹部からの測定信号
（母体＋胎児の心電）
xk
適応フィルタ
yk
＋
－
dk
誤差信号
ek
抽出できるか？
胎児の心電信号の抽出結果
応用4) マイクロホン・アレー技術
複数のマイクロホンを用いて，特定方向の 音を選択的に取り出し
たり（目的音抽出），特定方向の音源の音を抑圧したり （雑音除去），
音源の方向を推定（音源定位）する技術。
目的音
観測音
目的音
（雑音含む）
抽出音
雑音のみ
（目的音なし）
応用5) アクティブノイズコントロールへの応用
アクティブノイズコントロール(Active Noise Control, ANC)
ノイズの逆位相の音を予測，生成して制御用スピーカから
発生させ，ノイズをキャンセル消音する技術
＊ただし、スピーカーから誤差検出マイクまでの伝達特性は既知である必要がある
ANCの基本構成例
ノイズ
dk
（未知経路）
C (z )
騒音検出
xk マイク
Cˆ ( z )
適応フィルタ
適応
アルゴリズム
yk
誤差検出
マイク
ek = d k + yk
まとめ
適応フィルタ：状況の変化に応じて適切な処理を実現
⇒ ・システムの高性能化に不可欠
・さまざまな分野で期待大
【適応フィルタに要求される性能・課題】
良好な収束性能：
動作開始後、短時間での性能発揮
高速サンプリングレート：
広帯域信号処理への対応
短い出力滞在時間：
出力を得るまでの時間・応答性
小規模化：
小規模ＬＳＩで実装可能（低コスト化）
低消費電力：
スマホ・携帯電話など小型端末でも長時間使用が可能
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