心理統計学 II 第７回 (11/13) 授業の学習目標相関係数のまとめと具体的な計算例の復習  相関係数の実習  ２変数間の直線的な関係の有無を簡単に数値で表す方法  ２変数間に直線的な関係があるかどうかを簡単に数値で表すのが、第６章で学ぶ相関係数 (Pearson’s product-moment coefficient of correlation、略して correlation) である。相関係数の性質－１（１）２つの変数 x と y の相関係数は、しばしば、つぎのように書かれる： rxy (2) 相関係数は、マイナス１の値からプラス１の値までの範囲の値を取る： 1  rxy  1 相関係数の性質－２  相関係数が、負の場合負の相関、ゼロの場合無相関、正の場合正の相関がある、という。・・。・・・・・・負の相関・・・・・・・・・・・無相関・・・・・・・・正の相関相関係数の定義とその性質  ピアソンの相関係数は、テキスト p.29 の（6.1）式に示したように、共分散と２つの変量それぞれの標準偏差を用いて表される共分散 rxy  sxy sx s y 標準偏差の積共分散の定義と計算式共分散は、テキスト p.29 の (6.2) 式に示したように、次式で定義される： N 1 s xy   ( xi  x)( yi  y ), N i 1 1  x1 y1  x2 y2    xN y N   x y. N 相関係数の計算の手順－その１  定量的２変数データが、つぎの５名の被験者の (x, y)=（抑うつ性、気分の変化）の得点であるとする：  (18, 15), (3, 5), (10, 13), (12, 8), (8, 7) 相関係数の計算の手順－その２上記５名の（抑うつ性、気分の変化）データ (18, 15), (3, 5), (10, 13), (12, 8), (8, 7) で、まず、抑うつ性の平均値は、 x  (18  3  10  12  8) / 5  10.2 また、気分の変化の平均値は、 y  (15  5  13  8  7) / 5  9.6 相関係数の計算の手順－その３抑うつ性の得点の分散は、 s  (18  3  10  12  8 ) / 5  10.2 , 2 x 2 2 2  128.2  104.04,  24.16 そこで、標準偏差は、 sx  24.16  4.92 2 2 2 相関係数の計算の手順－その４気分の変化の得点の分散は、 s  (15  5  13  8  7 ) / 5  9.6 , 2 y 2 2 2  106.4  92.16,  14.24 そこで、標準偏差は、 s y  14.24  3.77 2 2 2 相関係数の計算の手順－その５最後に、両変数の共分散は、上記データ (18, 15), (3, 5), (10, 13), (12, 8), (8, 7) から、まず得点の積和の平均を計算すると、 1 x1 y1  x2 y2    xN yN  N 1  (1815  3  5  1013  12 8  8  7) 5 1  (576)  113.4 5 相関係数の計算の手順－その６つぎに、２変数の平均値の積を計算すると、 x  y  10.2  9.6  97.92 そこで、２変数の共分散は、 1 s xy  x1 y1  x2 y2    xN y N   x y N  113.4  97.92  15.48 相関係数の計算の手順－その７そこで、相関係数は、２変数の標準偏差が sx  4.92, s y  3.77　であったことに注意すれば、 rxy  s xy sx s y 15.48 15.48    0.83 4.92 3.77 18.55 相関係数の有意性検定の方法（1）   ここで得られた相関関係は、あくまでも上記５名の標本についての抑うつ性と気分の変化の２変数間のデータ (18, 15), (3, 5), (10, 13), (12, 8), (8, 7) に関するものでしかない。一方、多くの場合我々の関心はこの特定の５名の標本に関する当該２変量間の相関関係にあるのではなく、この５名の標本が得られたもとの集団、すなわち母集団における相関関係にある。相関係数の有意性検定の方法（2）   通常、われわれの母集団における相関関係に対する関心は、「母集団での相関係数、即ち母相関係数がゼロ（無相関）かどうか」にある。これに関する帰無仮説（母相関係数がゼロ）は、テキスト p.29 の最後の行にあるもので、つぎのように書く： H0 :   0  この帰無仮説が正しいかどうかを、標本で計算された標本相関係数をもとに検定するのが、相関係数の有意性検定と呼ばれるものである。相関係数の有意性検定の方法（3）相関係数を計算したら、テキスト p.30 の (6.3) 式、すなわち t r N 2 1 r 2 , に、相関係数 r およびサンプル数 N を代入し t を求める。相関係数の有意性検定の方法（4）これを、うえの具体例の場合に当てはめると、 R=0.83, N=5 なので、 0.83 5  2 0.831.732 t  , 2 1  0.6889 1  0.83 1.4376   2.58 0.3111 相関係数の有意性検定の方法（5）検定には、うえの t が、母相関係数がゼロなる帰無仮説のもとで、自由度 ν=N-2 なる t 分布に従うことを利用する（テキスト p.30）。  うえの例では、t-分布の自由度は、 ν= N – 2 = 5 – 2 = 3  相関係数の有意性検定の方法（6）つぎに、岩原テキストの p.434 の t 分布表のν=3, P=0.05 に対応する棄却点の値 3.182 を読み取る。  一方、先程計算した t =2.58 を思い出そう。  この時、t=2.58 < 3.182 なので、このような場合、我々は、帰無仮説（母相関係数がゼロ）を採択する。  相関係数の有意性検定の方法（7）相関係数についての帰無仮説が採択される時、われわれは「相関係数は有意でない」という。  一方、もし標本から計算された t 値が、棄却点の値 3.182 以上ならば、我々は帰無仮説（母相関係数がゼロ）を棄却する。  この時われわれは、「相関係数は５%水準で有意である」という。  相関係数の計算と検定の実習     岩原テキスト末尾の乱数表から、各自のデータを抽出し、相関係数の計算と検定をおこなってみよう。今日は、標本数は１０とし、各自の学籍に対応する岩原テキストの乱数の位置から数えて６つ下から始まるデータを用いよ。データは１０対の (x, y) の値である。すなわち (x1, y1), (x2, y2), … , (x10, y10)。ｘに対応する１０個は p.４４５から、y に対応する１０個はp.４４６の同位置から取り出し、それぞれうえから順に対データとみなすこと。検定の全体的危険率 α＊は、０．０５とせよ。