白柳研究室 5511065 武田未来異なる2つの自然数の組で1と自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう。例(48,75) 48 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 75 75 3 + 5 + 15 + 25 = 48 48 = 48 75 = 75 ゆえに、48と75は婚約数である。未解決問題である婚約数に類似の概念を考え、婚約数を解決する糸口を探す。実験の方法  数式処理システムMaple14を用いて、婚約数の擬似概念を出力する。  便宜上、計算範囲を設定する。 1と自分自身を除いた約数の2乗の総和が互いに他方と等しくなるような数をいう。計算例(36,64) 36 22 + 32 + 42 + 62 + 92 + 122 + 182 ⇒ 614 64 22 + 42 +82 +162 + 322 ⇒ 1364 36 ≠ 1364 64 ≠ 614 ゆえに、36と64は2乗婚約数ではない。出力結果 sagasufunc3(1,100) 0.015 [] //2乗婚約数を探す関数(1~100) //計算時間(sec) //2乗婚約数のリスト(なし) sagasufunc3(1001,2000) 1.404 [] //(1001~2000) //2乗婚約数のリスト(なし) sagasufunc3(9001,10000) //(9001~10000) 1.030 [] //2乗婚約数のリスト(なし) 背理法による。仮に2乗婚約数があるとせよ。 𝑥, 𝑦 ∈ ℕを2乗婚約数とする。この時、2乗婚約数の定義より 𝑥, 𝑦は素数でなく、また𝑥 < 𝑦とする。 𝜎 𝑥 を𝑥の真の約数の2乗和とする。 𝜎 𝑦 を𝑦の真の約数の2乗和とする。この時、2乗婚約数の定義より、𝜎 𝑥 = 𝑦,𝜎 𝑦 = 𝑥である。今、𝑦 = 𝑛1 𝑛2 𝑛1 , 𝑛2 ∈ Ν かつ、1 < 𝑛1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑛2 < 𝑦と表せる。この時、 𝑦 ≤ 𝑛2 2 < 𝑛1 2 + 𝑛2 2 ≤ 𝜎 𝑦 = 𝑥 ∴𝑦<𝑥 これは矛盾 ⇒2乗婚約数は存在しない。約数を降順に並べて和、差、積の順で計算した結果が互いに他方と等しくなるような数をいう。計算例(36,64) 36の約数⇒ 18,12,9,6,4,3,2 18 + 12 ⇒ 30 − 9 ⇒ 21 × 6 ⇒ 126 + 4 ⇒ 130 − 3 ⇒ 127 × 2 ⇒ 254 64の約数⇒ 32,16,8,4,2 32 + 16 ⇒ 48 − 8 ⇒ 40 × 4 ⇒ 160 + 2 ⇒162 36 ≠162 64 ≠ 254 ゆえに、36と64はワルツ婚約数ではない。 search_warutsu_des(1,100) 1.716 [] //ワルツ婚約数を探す関数(1~100) //計算時間(sec) //ワルツ婚約数のリスト(なし) search_warutsu_des(901,1000) 0.031 [] //ワルツ婚約数を探す関数(901~1000) search_warutsu_des(9001,10000) 5.507 [] search_warutsu_des(10001,20000) 656.936 [] //ワルツ婚約数のリスト(なし) //ワルツ婚約数を探す関数(9001~10000) //ワルツ婚約数のリスト(なし) 異なる２つの自然数𝑎, 𝑏の1とそれ自身を除いた約数全体の集合をそれぞれ𝐴, 𝐵とする。このとき、𝐴の各要素から1を引いた数の総和が𝑏になり、かつ、𝐵の各要素から1を引いた数の総和が𝑎になるとき、𝑎, 𝑏のペアをいう。計算例(36,64) 36 2 − 1 + 3 − 1 + 4 − 1 + 6 − 1 + 9 − 1 + 12 − 1 + 18 − 1 ⇒ 47 64 2 − 1 + 4 − 1 + 8 − 1 + 16 − 1 + 32 − 1 ⇒ 57 36 ≠ 57 64 ≠ 47 ゆえに、36と64はアベック数ではない。 search_abec(1,100) 3.370 [] search_abec(901,1000) 51.699 [] //アベック数を探す関数(1~100) //計算時間(sec) //アベック数のリスト(なし) //アベック数を探す関数(901~1000) //アベック数のリスト(なし) search_abec(9051,10000)//アベック数を探す関数(9051~10000) 4222.136 [] //アベック数のリスト(なし) ・2乗婚約数が存在しないという証明ができました・アベック数 ⇒1~10000の範囲でペアを総当たりで計算したが、定義を満たすペアは発見できなかった・ワルツ婚約数 ⇒1~20000の範囲で計算したが、定義を満たすペアなし今後の課題・より実験を増やし、目的のペアを発見する ⇒調べる範囲を広げる(10000,20000以降) ・それぞれ、定義を満たす数のペアが存在しない…?? ⇒証明にチャレンジすることも視野に入れる・プログラムの改良 ⇒効率よく実験を行うためのプログラムを考え、実験すること