数理論理学第2回

数理論理学第5回
茨城大学工学部情報工学科
佐々木稔
前回までのあらすじ




命題論理の公理系
形式的証明
演繹定理
完全性定理
 配布資料は以下からダウンロードできます
http://sas.cis.ibaraki.ac.jp/logic/
前回の問題1
 P ⇒ Q , (P ⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ P)├ P ⇔ Q
公理1より、
(P ⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ (P ⇒ Q))
よって、
Q ⇒ (P ⇒ Q)
公理2より、
(Q ⇒ (P ⇒ Q)) ⇒ ((Q ⇒ P） ⇒ (Q ⇒ Q))
=Q⇒P
よって、逆も成り立つ（証明終わり）
前回の問題2
 ～(～P ∧ ～Q) , ～P├ Q
ド・モルガンの定理より
～(～P ∧ ～Q) = ～(～P) ∨ Q
=(～P) ⇒ Q
～P、(～P) ⇒ Q から推論規則より、
Q （証明終わり）
前回の問題3
 ├ ～P ⇒ (P ⇒ Q)
～P├ (P ⇒ Q)
公理1より、
～P ⇒ (～Q ⇒ ～P)
よって、
～Q ⇒ ～P
対偶を取って、
P ⇒ Q (証明終わり)
今週のお題
 命題論理と推論
 肯定式
 否定式
命題論理と推論
 これまでは…
 命題を変数として論理の構造を分析
 今回は
 自然言語での推論と命題論理の推論を比較
肯定式（前件肯定）
 妥当な推論形式のひとつ
 「もし P ならば、Q である。かつ、 P である。
ゆえに、 Q である」
 表現形式
P⇒Q
P
Q
 ((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q
肯定式の例1
 前提
 「もし暴風警報が発令されたら、学校は休みであ
る。」
 「暴風警報が発令された。」
 結論
 「学校は休みである。」
肯定式の例2（1/2）
 前提
 「今日は水曜日、または木曜日である。」
 「今日は水曜日ではない。」
 結論
 「今日は木曜日である。」
 形式化
 p：「今日は水曜日である。」
 q：「今日は木曜日である。」
肯定式の例2（2/2）
 証明したい論理式
 p ∨ q, ～p├ q
 証明
 p ∨ q = ～（～p） ∨ q = （～p） ⇒ q
 ～p であるから、肯定式より、q が成り立つ
後件肯定
 妥当でない推論形式のひとつ
 「もし P ならば、Q である。かつ、 Q である。
ゆえに、 P である」
 表現形式
P⇒Q
Q
P
 ((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P
後件肯定の例
 前提
 「もし彼女が月でダンスしていれば、彼女は生きて
いる。」
 「彼女は生きている。」
 結論
 「彼女は月でダンスをしている。」
アインシュタインの予測
 「もし重力によって光の道筋が曲げられるとす
ると、他の真なる物理的事実と合わせることに
より、ある星の像が日食時に太陽近くのある
位置に見える」という予測
 実験により、「ある星の像が日食時に太陽近く
のある位置に見える」ことが示された
 結論
 「重力によって光の道筋が曲げられる」
 これって正しい？
否定式（後件否定）
 妥当な推論形式のひとつ
 「もし P ならば、Q である。しかし、 Q ではない。
ゆえに、 P ではない」
 表現形式
P⇒Q
～Q
～P
 ((P ⇒ Q) ∧ ～Q) ⇒ ～P
否定式の例1(1/2)
 前提
 「コイルに電流が流れていれば磁界ができる。」
 「磁界ができない。」
 結論
 「コイルに電流が流れていない。」
 形式化
 p：「コイルに電流が流れている。」
 q：「磁界ができる。」
否定式の例1(2/2)
 証明したい論理式
 p ⇒ q, ～q├ ～p
 証明
 p ⇒ q = ～q ⇒ ～p
 ～q であるから、肯定式より～p が成り立つ
否定式の例2
 前提
 「もし暴風警報が発令されたら、学校は休みであ
る。」
 「学校は休みではない。」
 結論
 「暴風警報は発令されていない。」
前件否定
 妥当でない推論形式のひとつ
 「もし P ならば、Q である。かつ、 P ではない。
ゆえに、 Q でもない。」
 表現形式
P⇒Q
～P
～Q
 ((P ⇒ Q) ∧ ～P) ⇒ ～Q
前件否定の例
 前提
 「もしAさんが日立市民であれば、Aさんは人間で
ある。」
 「Aさんは日立市民ではない。」
 結論
 「Aさんは人間ではない。」
 これって正しい？
前件否定の例
 前提
 「もし東京で大地震が起きれば、東京で多数の死
者が出る。」
 「東京で大地震は起こっていない。」
 結論
 「東京で多数の死者はでていない。」
 これって正しい？
前件否定の例
 前提
 「もし私がアメリカ合衆国の大統領であれば、議会
の議決を拒否できる。」
 「私はアメリカ合衆国の大統領ではない。」
 結論
 「私は議会の議決を拒否できない。」
 これって正しい？

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