有効座席(出席と認められる座席) 左列中列右列前で4章宿題、アンケートを提出し、 4章小テスト問題、5章講義レポート課題を受け取り、直ちに小テストを書き始めてください。第5章エネルギー講義目次力と仕事仕事ページ 1 2 操作法進むにはキー Enter 又は、マウス左クリック戻るにはキー又は仕事 (力が変化する場合) 3 エネルギー 4 力の場 5 エネルギーの諸形態 6 各ページ右下目をクリック仕事率 7 各章のファイルはスライド「第5章エネルギー」要点 8 フォルダから開いてください。例題1 9 例題2 10 終了にはキー Esc 又はマウス右メニューで終了を選ぶ Back space を押すページに跳ぶにはをクリック各ページからここに戻るには力と仕事てこ： 3 3:1のてこを使うと 3 1 1： 1/3 力は 33倍 × 動く距離は 1/3 力×動く距離は同じ 1：斜面 1 mg sin q q mg sinq 斜度qの斜面を使って持ち上げると力は sin q 倍 × 動く距離は 1 / sin q mg 力×動く距離は同じ力×動く距離 = 仕事目 1 仕事 F F θ 仕事には平行成分のみ寄与 Fs Fs =Fcosθ s F//sなら物体が力 F を受けて s 変位するとき力 F がする仕事(物体が受取る仕事) Fs : Fのs方向成分仕事W = Fs s = F s cosq = Fs θ: Fとsのなす角目 2 F =20N 仕事 F =20N o F =20N q =30 s =10m Fs =Fcosq 物体が力 F を受けて力 F がする仕事(物体が受取る仕事) 仕事W = Fs s = F s cosq = Fs 例 F=20Nで水平方向に s =10m 引く W =Fs s = 20N×10m = 200Nm = 200J Fs : Fのs方向成分 θ: Fとsのなす角仕事の単位 Nm=J (ジュール) 例 F=20Nで水平面となす角θ=30oの方向に s =10m 引く Fs = F cosθ = 20N×√ 3/2 =17.3N ∴W=Fs s = 173Nm =173J 例 F=20Nで後方に引いたのに s =10m 前進した Fs =F cosθ= 20N×(–1) = –20N ∴ W=Fs s = –200J 目 2 仕事 (力が変化する場合) s：経路に沿った座標 F sa si = si  si 1  si 力Fがする仕事は W = lim 例 F i // si  si = sb  sa F//ds W =  0 1 2 kx 2 kxdx = 誤った考え W = kx  x = kx 2 sb Fi// C 分割する F// W? si ばねをのばすための仕事のび x のときの力 F = kx x Fi s (k:バネ定数) 正誤目 3 仕事 (力が変化する場合) s：経路に沿った座標 F sa si = si  si 1  si 力Fがする仕事は W = lim 例 F i // si  si = sb  sa F//ds W =  0 1 2 kx 2 kxdx = 力Fがする仕事 W = sb  sa sb Fi// C 分割する F// W si ばねをのばすための仕事のび x のときの力 F = kx x Fi s (k:バネ定数) 正 F//ds (s：経路に沿った座標) 目 3 エネルギー系がなし得る仕事の量運動エネルギー運動によるエネルギー質点の質量をm、時間をt とする。 ds sは経路に沿った長さであ速度 v = る。 dt s f i 始、終の量をそれぞれ添字i, f で表す。 d 2s 運動方程式 F// = m 2 dt dv ニュートンの運動の第２法則 dt v stff d 2s d 2s ds 仕事 W =  F//ds =  m 2 ds =  m 2 ds dt 置換積分 si si stii dt dt dt 置換積分 tf tf vf dv 1 1 1 2 2 2  m v v dt dv m = v mv = = t = mv f  mv i   i i dt 2 2  ti 2 sf 力Fがする仕事 W = sf sb  sa F//ds (s：経路に沿った座標) 目 4 エネルギー系がなし得る仕事の量運動エネルギー運動によるエネルギー質点の質量をm、時間をt とする。 ds sは経路に沿った長さである。速度 v = dt s f i 始、終の量をそれぞれ添字i, f で表す。 d 2s 運動方程式 F// = m 2 dt ニュートンの運動の第２法則 stff d 2s d 2s ds 置換積分仕事 W =  F//ds =  m 2 ds =  m 2 dt si si stii dt dt dt 置換積分 tf tf vf dv 1 1 1 2 2 2  m v v dt dv m = v mv = = t = mv f  mv i   i i dt 2 2  ti 2 Kとおく Kf Ki W=(Kの増加) W = Kf Ki 1 2 mv ：運動エネルギー K = 加えた仕事 sf sf = 運動エネルギーの増加 2 目 4 力が位置座標のみの関数 F (r ) 仕事が始点と終点のみで決まり経路によらな保存力い。例地表付近の重力力の場仕事 mgh mg sin q q mg 仕事 mgh 仕事 mgh h mg 経路が曲線の場合でも細分すればほぼ直線とみなせる。１つの部分の高さの差をhとするとその部分の仕事はmghとなり、全部合計すると仕事はmghとなる。このように重力がする仕事は経路によらない。従って、重力は保存力である。目 5 力の場力が位置座標のみの関数 F (r ) 保存力仕事が始点と終点のみで決まり経路によらない。例地表付近の重力仕事 mgh mg sin q mg q 仕事 mgh 仕事 mgh h mg 位置(ポテンシャル)エネルギー U 保存力がなし得る仕事一様重力の位置エネルギー U = mgh 弾性力の位置エネルギー h:高さm:質量 U = kx2/2 x:のび,k:バネ定数力学的エネルギー= 運動エネルギー+位置エネルギー力学的エネルギー保存の法則 K i U i = K f U f 系全体の力学的エネルギーの総和は変化しない目 5 エネルギーの諸形態力学的エネルギー (巨視的)運動エネルギー K (巨視的)位置エネルギー U 化学的エネルギー、電気的エネルギー、・・・・熱エネルギー = 無秩序な微視的エネルギー微視的に見れば全てのエネルギーは力学的エネルギーエネルギー散逸Q 摩擦力などによって巨視的力学的エネルギーが熱エネルギーになる。 Ki U i = Kf U f  Q エネルギーの供給E エネルギー保存の法則他の形態のエネルギーが巨視的力学的エネルギーになる。 Ki U i  E = Kf U f エネルギー保存の法則目 6 仕事率単位時間当たりの仕事を仕事率という。 W dW = 仕事をW、時間をtとすると仕事率は P = lim t 0 t dt Fs 力をF、変位をΔs、速度をvとすると P = lim = Fv t 0 t t =40s間 F =20N s =100m 例そりをF=20Nで前方にt =40sの間、s =100m 引いた。速度は一定だったとする。力 Fのする仕事の仕事率は? 仕事率は P = 20N  100m = 50 J/s = 50 W 40s 仕事率の単位 J/s=W (ワット) 目 7 「第5章エネルギー」要点単位 Nm=J sf 仕事 W = Fss =Fscosθ = Fs W =  Fsds (ジュール) si F：力, s：変位, Fs：Fのs方向成分, θ：Fとsのなす角仕事率 P = dW / dt = Fv v：速度, 単位 J/s=W (ワット) エネルギー系がすることのできる仕事 1 2 mv (mは質量) 運動エネルギー K = 2 位置エネルギー U = (言葉) 保存力がすることのできる仕事地表付近重力による位置エネルギー U = mgh (h は高さ) 力学的エネルギー保存の法則 K i U i = K f U f エネルギーは熱、化学エネルギー等に他の形に変換される。微視的には全てのエネルギーは力学的エネルギーである。目エネルギー保存の法則全エネルギーは保存する。 8 例題１滑り台質量m=40.0kgのひとが高さ h=2.50mの斜度が一定でない滑り台を滑り降りる。地上を基準とする。力学的エネルギーはいくらか。 θ 終の速さvはいくらか。解始めの高さ h = 2.50m 始めの速さ 0 1 2 m 0  mgh = (40)(9.8)(2.5)J = 980J 力学的エネルギーは 2 終りの高さ 0 終りの速さ v(未知) 1 2 mv  mg 0 終りの力学的エネルギーは 2 力学的エネルギー 1 1 2 2 m 0  mgh = mv  mg 0 保存の法則 2 2 ∴mgh = mv2 /2 ∴v = 目 2gh = 2(9.8m/s )(2.5m) = 7.0m/s 9 2 例題2 滑り台質量m=40.0kgのひとが斜度=30.0°長さs=5.00mの滑り台を滑り降りた。地上を基準とする。終の速度はv=5.00m/sだった。失われた力学的エネルギーQはいくらか。また、動摩擦係数m kを求め θ よ。解始めの高さ h = s sinθ = 2.50m 始めの速さ 0 1 1 2 エネルギー保存の法則 m 0  mgh = mv 2  mg 0  Q 2 2 1 Q = mgh  mv 2 = 980 J  500 J = 480 J 2 動摩擦力をf kとすると Q = f ks = (m k mg cosθ)s ∴ m k= Q/ mgs cosθ = 0.28 目 10 第5章エネルギー講義終り前で5章講義レポートを提出し、 6章講義レポート課題(本日提出) 5章宿題課題(明日提出) 6章宿題課題(5月10日提出) 返却物を受け取ってください。目