ゴールデンウィーク課題物理（物理基礎）その1解答解説pgw-1a

SIEG物理　G.W.課題その1（5月1週目まで）
y の平方根｣に比例することがわかるが，物体の質量には無関係なので，この記述は
式を整理すると
誤りである。
0.50=0.50a
(オ)　速度　(カ)　ベクトル　(キ)　等速度運動　(ク)　相対速度
　公式 ② より，落下距離 y は落下時間 t の 2 乗に比例している。
ゆえに　a =1.0 m/s 2
(ケ)　v B - v A
したがって，この記述は正しい。
問 2　降下後の速さを v 2 m/s3 とおいて，等加速度直線運動の式　｢v = v 0 + at｣　より
　水平に投げ出された物体も，鉛直方向の運動だけを見れば，自由落下する物体とま
v =0+1.0 % 1.0=1.0 m/s
x
t
１ s　(ア)　等速直線運動　(イ)　(ウ)　移動距離　(エ)　平均
v-v 0
(ウ)　瞬間　(エ)　メートル毎秒毎秒
２ s　(ア)　加速度　(イ)　t
(オ)　ベクトル　(カ)　同じ向き　(キ)　正　(ク)　逆向き　(ケ)　負
(コ)　等加速度直線運動　(サ)　v 0 + at　(シ)　v 0t +
1 2
at (ス)　v 2 - v 0 2
2
３ s　(ア)　重力加速度　(イ)　質量　(ウ)　9.8
(エ)　gt　(オ)　1 2
1
gt (カ)　v 0 - gt　(キ)　v 0t - gt 2　(ク)　-2gy
2
2
(ケ)　等速直線運動 (等速度運動)　(コ)　自由落下
(サ)　等速直線運動 (等速度運動)　(シ)　鉛直投げ上げ
４ s　問 1　　問 2　　問 3　
解説
ったく同じようにその位置が変化していくので，2 球が床に到達するのも同時になる｡
したがって，この記述は正しい。
解説
　公式 ③ より，物体の速度 v は落下距離 y の平方根に比例することがわかるので，
｢初速度 0 で落下させた｣とあるので，小球の運動は自由落下である。
y が 4 倍になれば v は U 4 倍 =2 倍となる。
高さ h の所にある小球が，自由落下して床まで到達するのにかかる時間を t，重力加
したがって，この記述は正しい。
速度の大きさを g とすると，自由落下の式より
以上より， が正解となる。
h =
６ s　
さを h 1～h 5 とし，落下時間を t 1～t 5 とすると
同時に地面に到達するまでの時間を t とする。
問 1　問題の vt 図で，OA 間は等加速度直線運動であり，直線の傾きから加速度が求め
t 2 =2t 1，t 3 =3t 1，t 4 =4t 1，t 5 =5t 1
1 2
gt ｣で y = h として
2
より
1
h = gt 2 …… ①
2
加速度 = 直線 OA の傾き =
v0
t0
問 2　エレベーターの運動は，vt 図より
OA 間：等加速度直線運動，加速度は正 (加速)
AB 間：等速度運動，加速度は 0
BC 間：等加速度直線運動，加速度は負 (減速)
であることがわかる。
これらの運動は，xt 図 (ht 図) ではそれぞれ
OA 間：下に凸の放物線の一部
AB 間：傾きをもつ直線
1 2
gt
2
すなわち，高さ h は落下時間 t の 2 乗に比例する。いま，小球ア～オの t =0 での高
解説
小物体 A について，｢y =
られる。
９ s　
小物体 B について，｢y = v 0t 0= vt -
h 1：h 2：h 3：h 4：h 5 = t 1 2：0 2t 11 2：0 3t 11 2：0 4t 11 2：0 5t 11 2
=1：4：9：16：25
1 2
gt ｣で y =0 ，v 0 = v として
2
高さ h がこのように変化しているのは，与えられた図から選ぶと  である。
10 s　
1 2
1
gt より　v = gt　…… ②
2
2
解説
]
1
2h
gh
v = g %
2
] g =] 2
① 式より　t =
2h
これを ② 式に代入して
g
初速度 v 0 で鉛直に投げ上げられた小球の速度 v と，地上
v0 2
2g
h
からの高さ h の間には，重力加速度の大きさを g として　v 2 - v 0 2 =-2gh　の関係が成りたつ (鉛直投射の公式)。こ
の式を，h について解くと
７ s　問 1　　問 2　
解説
h =-
1
v 2 - v 0 21
2g 0
2
1 2 v0
v +
2g
2g
BC 間：上に凸の放物線の一部
問 1　グラフより，物体が一定の速さから減速して静止するのは，5 s から 10 s の間で
として表されるので，このような曲線および直線からなるグラフを選べばよい。
ある。この間に，物体の速さは 4 m/s から 0 m/s へと変化しているので，加速度 a
=-
問 3　エレベーターが停止するまでに移動した距離は，vt 図でグラフが t 軸と囲む面積
は
となるので，縦軸に h，横軸に v をとって描いたグラフは，上に凸の放物線になる。
(台形 OABC の面積) から求めることができる。
0 -4
=-0.8 m/s 2
a =
10 - 5
3t 0 間の移動距離=台形 OABC の面積
=
1
AB +OC 1 % v 0
20
1
= 0 t 0 +3t 01 % v 0 =2v 0t 0
2
５ s　
自由落下の公式
v = gt　…… ①
y =
1 2
gt …… ②
2
2
v =2gy　…… ③
を用いて考えてみよう。
　自由落下する物体の速度 v は，公式 ① および ③ から，｢落下時間 t｣と｢落下距離
を求めればよい。
問 1　問題文の図 1 のグラフより，物体が最高点に達するのは，投げ出されてから 1 秒
後であることがわかる。最高点では v =0 であるから，｢v = v 0 - gt｣より初速度 v 0 を
1
3 +101 % 4=26 m
20
求めると
0= v 0 -9.8 % 1
８ s　問 1　　問 2　
より　v 0 =9.8 m/s
解説
問 1　棒に手が触れているので，おもりの運動は自由落下ではない。初速度が 0 m/s，
1.0 秒間の移動距離が 0.50 m であるから，落下の加速度の大きさを a 2m/s 3 とおき，
2
0.50=0 % 1.0+
11 s　問 1　　問 2　
解説
問 2　10 s 間の物体の移動距離 x は，グラフの線と横軸とで囲まれた部分の台形の面積
等加速度直線運動の式　｢x = v 0t +
v0 v
v　鉛直に投げ上げられた小球は，最高点で速度が 0 になるから，～ はすべて
であるから，その絶対値が答えとなる。
解説
O
誤りである。
物体が減速しているので，a は負の値となる。求められているのは a の｢大きさ｣
x =
-v 0
1 2
at ｣　より
2
1
% a % 1.0 2
2
よって，｢y = v 0t -
1 2
gt ｣より，最高点の高さ y は
2
y =9.8 % 1-
1
% 9.8 % 1 2 =4.9 m
2
問 2　火星上で，初速度 v 0 で鉛直方向に投げ上げられた物体が，再び火星表面へ落下し
てくるまでの時間を t - とする。表面へ落下するときの速度は，初速度と同じ大きさで
-1-
向きが逆であるから v =-v 0 である。g =3.7 m/s 2 として，｢v = v 0 - gt｣より
水平方向の移動速度は机の上でも空中でも等しいので，机を離れてから衝突するまで
-v 0 = v 0 -3.7t -
T
である。
に要する時間は
2
より　3.7t - =2v 0
よって　t - =
解説
床がなめらかであれば，棒の下端がすべって倒れてしまうはずである。棒が倒れない
a
2 % 9.8
>2.0 s
3.7
a
a
のは，下端が右へすべるのを摩擦力 R が妨げているからと考えれば，R の向きは左向き
D
であることがわかる。また，なめらかな面上では摩擦力がはたらかないので，その面に
C
E
また，最高点の高さ y - は，｢v 2 - v 0 2 =-2gy｣
F
接触する物体には，面に垂直な抗力だけがはたらく。したがって，壁から受ける力 F は
より　0 2 - v 0 2 =-2 % 3.7 % y よって　y - =
壁に垂直である。
9.8 2
>4.9 m
2 % 3.7
以上より，答えは  となる。
a
2
となって，t - および y - の値はいずれも図 1 のグラフで示された運動の場合より大き
v　面からの抗力は垂直抗力と摩擦力との合力に等しい。なめらかな面では摩擦力が
a
2
はたらかないので，抗力の向きは面に垂直となる。したがって，壁が棒を押す力F が，
くなる。したがって，この運動を表すグラフは  である。
12 s　問 1　　問 2　
解説
， のようになることはない。
14 s　(ア)　運動の状態　(イ)　力　(ウ)　ベクトル　(エ)　作用点
21 s　
(オ)　作用線　(カ)　大きさ　(キ)　N (ニュートン)
問 1　｢y = v 0t -
1 2
gt ｣で，y = h，v 0 = V 0 ，t = T として
2
h = V 0T -
1
gT 2 …… ①
2
よって
h
1
V 0 = + gT
T
2
解説
15 s　(ア)　重力　(イ)　mg　(ウ)　張力
おもりの質量をm，重力加速度の大きさを g とする。ばねが自然の長さより d だけ伸
(エ)　垂直抗力　(オ)　摩擦力 (静止摩擦力)　(カ)　抗力
びて静止しているとき，おもりには，鉛直上向きに弾性力 kd，鉛直下向きに重力 mg が
(キ)　弾性力　(ク)　比例　(ケ)　フック　(コ)　kx
はたらいている。よって，力のつりあいより
16 s　(ア)　0　(イ)　x 成分　(ウ)　y 成分
kd - mg =0 …… ①
17 s　(ア)　作用反作用
手で引き下げて静止しているとき，おもりには，鉛直上向きに弾性力 k0 d + x 1 ，鉛直下向
きに重力 mg と手が引く力 F がはたらいている。同様に，力のつりあいより
解説
問 2　窓の下端を始点と考えると，小物体は時間 T + T - 後に窓の上端に再び現れる。こ
k0 d + x 1 - mg - F =0 ……②
① 式より　mg = kd
のときの小物体の変位は h であるから，① 式と同様の式
h = V 00 T + T - 1 -
1
g T + T - 1 2 …… ②
2 0
が成りたつ。① 式と ② 式より
V 0T -
1
1
gT 2 = V 00 T + T - 1 - g0 T + T - 1 2
2
2
これを整理すると
V 0T - =
1
g T + T - 1 2 - T 27
2 60
1
= g 0 T - 2 + 2T -T1
2
1
g T - +2T 1
2 0
移項して整理すると
T - =
18 s　
これを ② 式に代入して
k0 d + x 1 - kd - F =0
解説
おもりとばねにはたらく力は図 a のようになる。
よって
この図から，ばねはおもりにはたらく重力と等しい
F = kx
大きさの力で両側に引かれていることがわかる。ま
張力
た，一端を固定し，他端におもりをつるした場合，
重力
おもりとばねにはたらく力は図 b のようになり，ば
図a
弾性力
kd
ねは，おもりにはたらく重力と同じ大きさの力で両
d
側から引かれていることになる。
x
質量 m のおもりをつるしたとき，ばねが l だけ伸
よって
V 0 =
20 s　
2V0
-2T
g
v　時間 T - は｢小物体が窓の上端を通過してから再び上端に現れるまでの時間｣であ
ることに注意。② 式は窓の下端を始点としているので，時間は T - ではなく T + T - と
している。
13 s　
解説
小物体の運動を机の上辺 CD 側から見ると，2 つの物体は，D から E へまたは C か
ら F へ水平に距離 a だけ移動するように見え，点 E，F に到達するまでの時間が T で
ある。両物体はその後，点 E，F から同時に同じ速さで飛び出し，線分 EF の垂直二等
分線上のどこかで衝突することになる。EF= a であるから，どちらの物体も水平方向に
a
だけ移動したとき衝突することになる。
2
びたとすると，質量
m
のおもりをつるしたときは，
2
ばねにはたらく力が
1
l
になるので，伸びも
となる。
2
2
重力
mg
重力
19 s　
手が引く力
F
22 s　
解説
解説
2 本の糸の交点にはたらく力は図のようにな
る。天井と長さ 2l の糸がなす角を h とすると，
図より
sin h =
重力
mg
張力
図b
弾性力
k0 d + x 1
l
l
U 0 2l 1 + l
2
2
=
1
U5
h
T-
T とする。
h T
また，3 つの力を表すベクトルがつくる三角形
を考えると
Mg
T
sin h =
Mg
よって　T = Mgsin h =
1
U5
Mg
-2-
天井，物体，人の手とひもとの接点をそれぞれ A，B，C とし，ひもの張力の大きさを
2l
おもりにはたらく力は，図のように，重力とばねの弾性力の 2
A
Tcos h Tcos h
T
T
T
T
h h
T
P
h h
おもりに生じる鉛直方向上向きの加速度を a として運動方程式
h
T
運動方程式｢ma = F｣より
l
B
C
k0 l - - l 1
T
Ma = kl - Mg　よって　a =
W
O
F
31 s　問 1　　問 2　
k0 l - - l 1
問 1　木片とおもりにはたらく力は図の通りである。
l
図より，人の手にはたらく力はひもの張力 T である。点 B における鉛直方向の力の
へ移動するので，それらを各物体の運動の正の向
Tcos h + Tcos h = W
図 1 のとき，ばねにはたらく力は図 (a) のよう
小物体には，重力 mg，垂直抗力，ばねの弾性力がはたらき，これらの力がつりあって
になる。1 本のばねは両側から mg の力で引き伸
いる。ばねの伸びは x 0 - l であるから，弾性力の大きさは
ばされることになり，このときばねの伸びは l 1
と求められる。
x 0 = l +
mg
sin h
k
(a)
① 式+② 式より　a =
mgcos h
重力
mg
24 s　
のようになり，1 本のばねは両側から
T =
l1
に
2
mg
mg
2
mg
以上のことから， が正解である。
これらがつりあっている。図のように角 h を定めると，左右方向の力のつりあいより
v　ばねの一端を固定し，他端を大きさ F の力で引いたとき，ばねの両端にはともに
静止摩擦力も大きくなっていくが，その最大値 0 = 最大摩擦力 1 をこえる大きさの力が加
えられると，物体は動きだすことになる。運動する物体にはたらく摩擦力が動摩擦力で
(動きだす前)
垂直抗力
l - -l
sin h = U
l2
2
であるから，これを ① 式に代入して整理すると
l --l
U l -2- l 2
l-
(動いているとき)
垂直抗力
F が加わる。
加える力
加える力
26 s　(ア)　つりあって　(イ)　静止　(ウ)　等速直線運動　(エ)　慣性の法則
また
F =2k
解説
机の上で静止している物体に，水平方向の力を少し加えると，静止摩擦力が運動を妨
あり，一般に最大摩擦力よりも小さい。
帯には，大きさ F の力，2 つのばねからはたらく大きさ k0 l - - l 1 の弾性力がはたらき，
F -2 % k0 l - - l 1sin h =0 …… ①
Mm
g
M+m
げる向きにはたらくため，物体は静止したままである。加える力を大きくしていくと，
なることがわかる。
解説
m
g
M+m
32 s　
mg
2
mg
の力
2
で引き伸ばされる。したがって，伸び l 3 は
mg
問 2　a の値を ① 式に代入して
力は図 (b) のようになる。1 本のばねは図 1 の場
図 3 の場合，それぞれのばねにはたらく力は図 (c)
h
(c)
(b)
である。図 2 の場合，それぞれのばねにはたらく
ているので，その伸び l 2 は l 1 と等しい。また，
mgsin h
a
おもり：ma = mg - T　…… ②
合と同様に，両側から mg の力で引き伸ばされ
垂直抗力
k0 x 0 - l1 - mgsin h =0
T
m
木片：Ma = T　…… ①
解説
弾性力
k0x 0 - l1
Mg
さになるから，それを a とおくと，運動方程式は
25 s　
k0 x 0 - l1
ひもが木片を
引く力 T
きとする。生じる加速度は 2 つの物体で同じ大き
Q
解説
a
M
T，mg である。木片は右方へ，おもりは鉛直下方
h
よって
N
この中で，それぞれの物体の運動に関係する力は
l-
つりあいより
23 s　
M
a
解説
l-
斜面方向の力のつりあいより
kl
-g
M
重力 Mg
W
W
ゆえに　T =
2cos h
弾性力
kl
を立てる。
l-
B
T
つであり，大きさはそれぞれ Mg，kl である。
(オ)　慣性
静止摩擦力
27 s　(ア)　加速度　(イ)　比例　(ウ)　反比例　(エ)　運動の法則　(オ)　2
動摩擦力
重力
重力
1
(カ)　(キ)　ma = F　(ク)　運動方程式　(ケ)　N　(コ)　kg
3
また，摩擦力の大きさは机の表面から物体にはたらく垂直抗力の大きさに比例するこ
(サ)　m/s 2
ともわかっている。各々の選択肢を検討してみよう。
28 s　(ア)　比例　(イ)　mg
　動摩擦力の大きさが最大摩擦力と同じであると述べているので誤りである。
29 s　(ア)　静止摩擦力　(イ)　最大摩擦力　(ウ)　lN　(エ)　静止摩擦係数
　摩擦力のはたらく向きは物体の運動を妨げる向き = 運動の向きと逆向き　である
(オ)　動摩擦力　(カ)　l -N　(キ)　動摩擦係数
から誤りである。
　動摩擦力の大きさは物体の速さに関係なく常に一定なので誤りである。
30 s 
したがって， が正解となる。
解説
33 s　
解説
-3-
物体にはたらいている力は図のようになる。
斜面に垂直な方向の 2 力はつりあっているから
N - mgcos h =0
る。
垂直抗力
N
m
したがって，動摩擦力 F - は
問 2　2 つの物体にはたらく力は，図 b のようになる。
A
1.5 kg
mgcos h
F
F
B
3.5 kg
の運動方程式を立てると
20 N
正の向きとして運動方程式を立てると
h
mg
動摩擦力 F -
ma =-mgsin h - l -mgcos h
となるので，正解は 
B それぞれについて運動方程式を立てると
問 3　① 式 - ② 式 % 2 の計算により，T を消去すると
台車 A：1.5a = F　…… ①
Ma -2mb = Mg -2mg
問 2　① 式に a の値を代入して弾性力 F を求めると　F =6.0 N
上式より　a =
が得られる。ばねがこの力で台車を引きつければ，作用
F
F
引っ張られることになる。
物体の質量 m に反比例する。したがって，求めるグラフは  である。
ばねの両端に 6.0 N の力がはたらくので，ばねの伸びを
運動方程式 ma = F より
x とすると，フックの法則｢F = kx｣より　6.0=30x　ゆえに　x =0.20 m
M - 2m
g
M + 4m
物体 1 が降下するとき a >0 であるから
解説
問 1　PQ 間で物体 A にはたらく力は，図のようになっている。
解説
よって，横軸に m，縦軸に a をとって描いたグラフは双曲線となる。
35 s　問 1　　問 2　
糸が A，B を引く力の大きさを T とする。
動摩擦力 F P
A，B に生じる加速度の大きさを a として，それぞれに
T
A：ma = T - mg　…… ①
B：3ma =3mg - T　…… ②
用の関係にあって，大きさは等しく互いに逆向きである。この力の大きさを F とする。
① 式+② 式より
A，Bは水平方向にだけ運動するので，重力と水平面からの垂直抗力を無視すれば，そ
れぞれの物体にはたらく力は図のようになる。
1
g
2
F
より
A，B に生じる加速度の大きさを a とし，運動の向きを正の向きとして，それぞれ
の物体について運動方程式を立てると
h =
かる。よって，合力の向きは水平方向で，物体 A の進む向きと逆向き
になる。
A
3mg
m
とき，A に生じる加速度を a とおき，進む向きを正の向きとして運動方程式を立て
ると　Ma =-F -
]g
4h
ここで，動摩擦力 F - は　F - = l -N = l -Mg
38 s　問 1　　問 2　　問 3　
であるから　Ma =-l -Mg
より，生じる加速度 a は　a =-l -g　である。
解説
物体 A：ma = f - F　…… ①
物体 B：Ma = F　…… ②
f
M +m
問 1　動滑車をある距離移動させるためには，ひもをその
この値と等加速度直線運動の式｢v 2 - v 0 2 =2ax｣を用いて，x = l とおき，PQ 間を距
2 倍の長さだけ動かす必要がある。図 a のように，物
離 l 移動した後の速度 v を求めると
体 1 とそれを取り付けた動滑車が x 1 だけ下方へ変位す
M
f
M +m
36 s　問 1　　問 2　
解説
Mg
問 2　物体 A は，PQ 間では進む向きと逆向きに動摩擦力 F - を受けて運動する。この
mg
1 2 1 2
at = gt よって　t =
2
4
F-
まり，A にはたらく 3 つの力の合力は，動摩擦力 F - に等しいことがわ
T
a
N
物体 A は鉛直方向へは移動しないから，重力 Mg と面からの垂直抗
力 N とはつりあっていて，これら 2 力の合力の大きさは 0 である。つ
3m
M
B
問 2　a の値を ② 式に代入して　F =
4ma =2mg　よって　a =
a
B
1
B について，等加速度直線運動の式｢x = v 0t + at 2 ｣
2
A
① 式+② 式より　a =
Q
重力 Mg
問 1　物体 A，B 間には，水平方向に押しあう力がはたらく。これらの力は作用 ! 反作
F
垂直抗力 N
A
ついて運動方程式を立てると
解説
Mg
図b
39 s　問 1　　問 2　
37 s　
であるから，F が一定のときは a は m に反比例する。
mg
a
M -2m >0 より　M >2m　よって， が正解。
運動の法則によると，物体に加える力 F が一定のとき，生じる加速度の大きさ a は，
1
m
M
Ma -2m0 -2a 1 = 0 M -2m 1g
2
反作用の法則により，ばねも台車から同じ大きさの力で
解説
b
m
問 1 で求めた加速度 a と b の関係式を用いて
① 式+② 式より　5.0a =20　ゆえに　a =4.0 m/s
よって，加速度の大きさは　g0 sin h + l -cos h 1 となる。
34 s　
m
f
T
2 台の台車に生じる加速度の大きさを a，台車の運動の向きを正の向きとして，A，
台車 B：3.5a =20- F　…… ②
より　a =-g0 sin h + l -cos h 1
a = F ･
T
物体 2：mb = mg - T　…… ②
となる。また，この力は斜面方向下向きに向かって
はたらいていることに注意して，斜面方向上向きを
T
物体 1：Ma = Mg -2T　…… ①
mgsin h
F - = l -N = l -mgcos h
物体 2
物体 1
鉛直下向きを正の向きとして，それぞれの物体について
a
v 2 = v 0 2 +2 % 0 -l -g1 % l
れば，物体 2 は上方へ x 2 だけ変位することになる。この
b
とき，物体 2 の変位の大きさは，物体 1 の変位の大きさ
40 s　問 1　　問 2　
の 2 倍になるので x 2 =-2x 1 と表すことができる。この
x2
関係は，2 物体の速度についても，加速度についても同
問 1　2 台の台車が運動するとばねが伸びるので，両側の台車を引きつけるように弾性
様に成りたつので
力がはたらく。また，ばねの両端にはたらく弾性力は大きさが等しい。台車は水平方
b =-2a (b は負となる)
よって　v = U v 0 2 - 2l -gl
解説
問 1　それぞれの物体にはたらく力は図のようになる。
x1
a
B
NB
向にだけ運動し，摩擦もはたらかないので，重力と水平面からの垂直抗力を無視し，
A
T
図a
NA
F
T
ばねからはたらく弾性力の大きさを F とすると，台車にはたらく力は図のようにな
l B-N B
mg
l A -N A
Mg
物体 A，B にはたらく垂直抗力の大きさを N A，N B，糸の張力の大きさを T とする
と，それぞれの物体にはたらく力はつりあっているので，
-4-
物体 A について
ここで，動摩擦力 f - は　f - = lN 2 …… ④
鉛直方向：N A - Mg =0 …… ①
である。①，② 式より
水平方向：F - l A-N A - T =0 …… ②
N 2 = Mg + N 1 = Mg + mg = 0 M + m 1g
a
物体 B について
だから，④ 式より　f - = l0 M + m 1g
鉛直方向：N B - mg =0 …… ③
この値を ③ 式に代入して a の値を求めると
水平方向：T - l B-N B =0 …… ④
a =
① 式より
T = l B-mg
これらを ② 式に代入して整理すると
問 2　糸がゆるんだので，T =0 となる。物体 A と物体 B の加速度 (右向きを正) をそれ
ぞれ a A ，a B として，運動方程式を立てると
h
問 1　h = h 1 のとき，物体 A には最大摩擦力が
N = mgcos h …… ①
はたらく。このとき，各物体にはたらく力は
動摩擦力の式より
れる。物体 A の斜面に平行な方向および垂
T - mg =0 …… ③
②，③ 式より
糸がゆるむためには，B よりもA の減速の度合いが大きい必要がある。つまり
N = Mgsin h 1
a A > a B
T = mg
よって
最大摩擦力 f 0 = lN であるから，① 式より
l A- > l B- …… ⑤
mg - Mgcos h 1 - lMgsin h 1 =0
また，等加速度直線運動の式｢v = v 0 + at｣より
mg = Mg0cos h 1 + lsin h 1 1
よって　v
l A -g
mg
問 2　F が小さい間は，物体がすべり下りるのを妨げるように摩擦力は斜面方向上向き
F が mgsin h をこえると，今度は物体がすべり上がろうとするのを妨げるように
摩擦力は斜面方向下向きにはたらく。すなわち，f は負。
なる。
m
=cos h 1 + lsin h 1
M
また，l > l - であるから，F = F 1 の前後で f は小さくなる。
N
以上より，該当するグラフは  となる。
a
A
F
44 s　(ア)　圧力　(イ)　S (ウ)　Pa (パスカル)
T-
(エ)　N/m 2 (ニュートン毎平方メートル)　(オ)　衝突　(カ)　q hg
り　N - Mg =0 ⑤，⑥ 式より，正解は 。
これと｢f - = l -N｣より　f - = l -N = l -Mg
Mg
N1
m
小物体
N 1 は小物体と台の間で互いにおよぼし
mg
f -：動摩擦力
図b
ける垂直抗力と動摩擦力である。小物体
mg
台
N1
N 1 - mg =0 …… ①
F
N2
M
f-
Mg
解説
物体には，鉛直下向きに重力 (大きさmg)，鉛直上向きにばね
の弾性力 (大きさkx) と浮力 (大きさ q Vg) がはたらき，これらが
つりあっている。
等加速度直線運動の式｢v 2 - v 0 2 =2ax｣より，物体の移動距離 x = h のときの速さ
kx + q Vg - mg =0
v は
この式を変形して整理すると
]
よって，物体にはたらく力のつりあいより
2gh0 m - l -M 1
m +M
q =
t　全体の力学的エネルギーの変化は，非保存力 (動摩擦力) がする仕事に等しいこと
式はそれぞれ
46 s　
m - l -M 1 g
0 m + M 1a = mg - f - = mg - l -Mg　よって　a = 0
m +M
m - l -M 1 g
v 2 =2 % 0
% h　ゆえに　v =
m +M
あう垂直抗力，N 2 と f - は台が床から受
B
a
④ 式 + ⑤ 式より
と，図のようになる。
45 s　(ア)　浮力　(イ)　アルキメデス　(ウ)　qVg
Tf-
物体 A にはたらく鉛直方向の力のつりあいよ
小物体と台にはたらく力を図示する
F
- g0 sin h + l -cos h 1
m
F = F 1 で f は最大摩擦力となり，以降は F を大きくしても f は動摩擦力で一定と
B：ma = mg - T - …… ⑤
解説
これと ③ 式より
a =
A：Ma = T - - f - …… ④
41 s　
ma = F - mgsin h - f -
にはたらく。すなわち，f は正。
t A < t B …… ⑥
ば，運動方程式は　Ma = F - f - …… ③
物体の加速度の大きさを a として，斜面に平行な方向に対して運動方程式を立てると
図a
式を立てると次のようになる。
1
1
<
であるから
l Al B-
となる。台に生じる加速度を a とすれ
f - = l -mgcos h …… ③
N：垂直抗力
f 0：最大摩擦力
らく動摩擦力を f - として，各物体の運動方程
v
l B-g
①，② 式より
B
Mg
問 2　2 物体に生じる加速度を a，物体 A にはた
物体 B：0= v - l B-gt B
f - = l -N　…… ②
T
f0
また，物体 B にはたらく力のつりあいの式は
物体 A：0= v - l A-gt A
h1
Mgcos h 1
Mgsin h 1
より　a B =-l B-g
N 2 - N 1 - Mg =0 …… ②
張力 T
A
直な方向の力のつりあいの式は
物体 B：ma B =-l B-mg
および台の，鉛直方向の力のつりあいの
N
N - Mgsin h 1 =0 …… ②
より　a A =-l A-g
mg
斜面に垂直な方向の力のつりあいより
T - Mgcos h 1 - f 0 =0 …… ①
物体 A：Ma A =-l A-Mg
⑤ 式より　f - h mgcos h
F - l0 M + m 1g
M
図 a のようになり，つりあっていると考えら
F = 0 l A-M + l B-m 1g
よって　t B =
mgsin h
解説
③，④ 式より
F
N
42 s　問 1　　問 2　
N A = Mg
よって　t A =
はたらく力は図のようになる。
を用いて解くこともできる。x = h での速さを v として
1
1
Mv 2 + mv 2 - mgh =-f -h =-l -Mgh　ゆえに　v =
2
2
解説
]
2gh0 m - l -M 1
m +M
43 s　問 1　　問 2　
解説
問 1　物体にはたらく垂直抗力と動摩擦力の大きさをそれぞれ N，f - とすると，物体に
-5-
47 s　
mg - kx
Vg
kx
qVg
mg
円柱上面および下面における深さに比例する圧力はそれ
液面
ぞれ qxg，q0 h + x 1g である。円柱表面が受ける圧力は，
これらと大気圧 p との和であるから，上面にはたらく力の
x
qxg
上昇するエレベーターにはたらく力は，図 a のように
なる。鉛直上向きを正の向きとすると，運動方程式は
となるので，ロープからエレベーターにはたらいた力
底面積 S を用いて
Fは
h
円柱
F - = 6 q0 h + x 1g + p 7S = qS0 h + x 1g + pS
v　圧力は単位面積当たりにはたらく力である。底面全
q 0 h + x 1g
体にはたらく力の大きさは，圧力の値の底面積 S 倍とな
ることに注意しよう。
となるので，仕事率 P 2 W3 は
である。また，OA 間の距離 y は v t 図 (図 b) の斜線
Mg
部分の面積より
図a
1
vt
2 0 0
W = F ･ y =
解説
問 1　水中にある潜水艇が受ける浮力の大きさは qVg
浮力
q Vg
である。また，バラストタンク内の水の体積を V - と
すれば，これにはたらく重力の大きさは qV -g とな
v
v0
解説
問 1　動滑車は，ロープの両端で軸に加わる力を支え
1
M g + a1 v 0t 0
2 0
O
t0
t
図b
答えは 。
53 s　
上げても，直接持ち上げても，仕事の量は同じにな
点 A での位置エネルギー=点 B での運動エネルギー　より
qVg - 0 Mg + q V -g 1 =0
mgh =
M
よって　V - = V q
るため，ロープを引く力は図のようになる。よって，
問 2　仕事の原理より，この装置を使って物体を持ち
いるので，つりあいの式
タンク内の
潜水艇には
水にはたら
たらく重力
く重力
Mg
q V -g
図a
問 2　鉛直に浮上している潜水艇にはたらく力は図 b
浮力
q Vg
のようになる。
Mg % 30
= Mg =300 % 10=3000 W
30
57 s　問 1　　問 2　
A
点 B の位置を，重力による位置エネルギーの基準とすると，力学的エネルギー保存則
ンク内の水にはたらく重力の和と浮力はつりあって
qV -g = q Vg - Mg
P =
解説
る。水中で静止しているとき，潜水艇とバラストタ
が成りたつ。この式から V - を求めればよい。
W = Mg % 30
M
であるから，力 F のした仕事 W は
48 s 問 1　　問 2　
これらの物体 (人) を 30 m 持ち上げる仕事 W 2 J3 は，重力加速度の大きさを g 2m/s 23 と
すると
F = M0 g + a1
y =
M =60 % 5=300 kg
a
Ma = F - Mg
大きさ F，および下面にはたらく力の大きさ F - は円柱の
F = 0 q xg + p 1S = qSxg + pS
エレベーターが持ち上げる全質量 M 2 kg3 は
F
1
Mg
4
1
Mg
2
1
Mg
2
る。直接持ち上げる場合を考えて，必要な仕事 W
は　W = Mg % h = Mgh
1
mv 0 2　よって　v 0 = U 2gh
2
1
Mg
4
54 s　
解説
位置 x において，おもりがもっている運動エネルギーを K x，弾性力による位置エネ
ルギーを U x とする。ばねの弾性力は保存力であるから，おもりの力学的エネルギー
1
Mg
4
1
Mg
2
Mg
58 s　
解説
E = K x + U x の値は，すべての位置で保存される。ばねの長さが最大 ! 最小 (x = a $ b)
潜水艇が一定の速度で運動しているとき，生じる
v t 図より，時刻 0～t 1 2 s3 間，t 2～t 3 2 s3 間では，物体は等加速度直線運動をしている
になった瞬間，おもりは静止する。このときおもりのもつ力学的エネルギーは，弾性力
加速度は 0 であるから，これら 3 つの力はつりあっ
による位置エネルギーのみとなり，運動エネルギーは 0 となる。また，ばねが自然の長
ことがわかる。それぞれの区間における加速度を a 1，a 3 2m/s 23 とおき，a 1 2 m/s 23 の向
ている。つりあいの式
さになったとき 0 x = a1 ，弾性力による位置エネルギーは 0 となるので，おもりのもつ力
q Vg - 0 Mg + bv 1 =0 より
学的エネルギーは，運動エネルギーのみとなる。
bv = q Vg - Mg
qV - M 1g
よって　v = 0
b
水から受け
る抵抗力
bv
図b
潜水艇には
たらく重力
Mg
49 s　(ア)　Fx　(イ)　J (ジュール)　(ウ)　Fxcos h (エ)　0　(オ)　負
W
(ク)　W (ワット)　(ケ)　Fv
(カ)　仕事率　(キ)　t
1
50 s　(ア)　エネルギー　(イ)　運動エネルギー　(ウ)　mv 2
2
1
1
(エ)　mv 2 - mv 0 2　(オ)　Fx
2
2
(カ)　位置エネルギー　(キ)　mgh
(ク)　位置エネルギー　(ケ)　1 2
kx
2
51 s　(ア)　保存力　(イ)　力学的　(ウ)　力学的エネルギー保存則
52 s　
以上のことから，K x の値は x = a $ b のとき 0，x = a のとき最大となり，その間は
8
x の二次関数 E -
1
k x - a1 2 となるので，正しいグラフは  となる。
2 0
9
きを加速度の正の向きとする。
(1)　時刻 0～t 1 2 s3 の区間においては
a 1 =
V
t1
であるから，物体の速さ v 1 2 m/s3 は
v 1 = a 1t =
55 s　1 　2 
V
8 t 9t
1
解説
となる。よって，この区間における運動エネルギー K 1 2 J3 は
小球が地面に衝突する直前の速さを v 1，衝突した直後の速さを
1
1
V
mv 1 2 = m
2
2
t1
8 9t
2
2
v 2 とする。地面を重力による位置エネルギーの基準水平面として，
K 1 =
力学的エネルギー保存則より
と与えられる。K 1 は t の二次関数であり，K t 図で表せば下に凸の放物線となる。
1
1
h
mv 1 2 = mgh， mv 2 2 = mg ･
2
2
2
(2)　時刻 t 1～t 2 2 s3 の区間では，物体の速さは V 2 m/s3 (一定) であるから，運動エネルギ
h
v2
が成りたつ。よって，衝突前後の運動エネルギーの比は次の式で
表される。
h
2
2
mg ･ h/2
1
0 1/2 1mv 2
=
=
2
mgh
2
1/2
mv
1
0
1
v1
また，衝突前後の速さの比は，同じく上式より
解説
v2
=
v1
]
mg ･ h/2
1
=
mgh
U2
地面
ー K 2 2 J3 も一定の値となる。
(3)　時刻 t 2～t 3 2 s3 の区間においては
a 3 =-
V
t3 - t 2
であるから，物体の速さ v 3 2 m/s3 は
v 3 = V-
t3 - t
V
V
･ t - t 21 =
t3 -t2 0
t3 -t2
となる。よって，この区間における運動エネルギー K 3 2 J3 は
56 s　
解説
K 3 =
-6-
8
1
1
V
mv 3 2 = m
2
2
t3- t2
9 0t -t1
2
3
2
=
1
V
m
2
t3- t2
8
9 0t - t 1
2
2
3
と与えられる。K 3 も t の二次関数であり，K t 図で表せば下に凸の放物線となる。
あることを用いた。
以上のことから，求めるグラフは  である。
v　この問題では，時刻 0～t 1 2 s3 間の運動エネルギーの変化だけを考えれば正解が得
られる。このように，他にまぎらわしい選択肢がない場合には，一部分だけを検討す
るのも，解答時間を短縮するコツである。
59 s　
解説
運動の途中で加えられた力による仕事 W は
W =7.0 % 3.0=21 J
である。物体のもつ運動エネルギーの値は，この仕事 W の分だけ増加する。物体が
3.0 m 移動した後の速さを v 2 m/s3 とすると，移動前後の運動エネルギーについて
1
1
% 2.0 % 10 2 + W = % 2.0 % v 2
2
2
の関係が成りたつ。この式から v を求めると
100+21= v 2　v 2 =121　より　v =11 m/s
60 s　
解説
1
M + m1 v 2 = 0 M - m1 gh　より
20
v =
]
1 2
kx と表される。よって，縦軸に W，横軸に x をとって描いたグラフは，下に
2
凸の放物線となる。
20 M - m1 gh
M +m
ゆえに　h =
63 s　
66 s　
解説
解説
ka 2 - mv 2
2mg
台の水平面を重力による位置エネル
ネルギーの基準水平面とすると，持ち上げられたおも
ギーの基準にとれば，点 P において小
りのもつ位置エネルギー U は
l
h
lcos h
h
は　E P = mgh
= mgl0 1 -cos h 1
点 R における小物体の力学的エネルギー
である。おもりにはたらく力は，重力と糸が引く力 (張
力) であるが，糸が引く力はおもりの運動方向と常に垂
l - lcos h
Q
物体がもっている力学的エネルギー EP
U = mg0 l - lcos h 1
P
R
l
m
動摩擦力
f
台
E R は　E R =0
垂直抗力 N
重力 mg
である。曲面にそってすべり落ちた小
基準水平面
直な方向にはたらくので，おもりに対して仕事をしな
物体が，摩擦のある水平面上を距離 l だけ移動して点 R で停止するのは，小物体が動摩
い。したがって，おもりの運動については，力学的エネルギ
擦力によって負の仕事をされたためである。このとき，小物体の力学的エネルギーは，さ
ーが保存される。
れた仕事の分だけ変化することになるので，はたらいた動摩擦力の大きさを f とすれば
最下点でのおもりの速さを v として，力学的エネルギー保
E R - E P =-fl
mgl0 1 -cos h 1 =
1
mv 2
2
糸が引
く力
重力
ゆえに　v = U 2gl0 1 - cos h 1
水平面から小物体にはたらく垂直抗力の大きさは N = mg であるから　f = l -mg
v
重力
よって　0- mgh =-l -mgl
ゆえに　l - =
mgh
h
=
mgl
l
67 s　問 1　　問 2　
解説
解説
1
ka 2 - mv 21
20
おもりの最下点を含む水平面を，重力による位置エ
64 s　
61 s　
1
1
ka 2 = mgh + mv 2
2
2
より　mgh =
存則より
ばねを自然の長さから x だけ伸ばすのに必要な仕事 W は，ばね定数を k とすると
W=
この式から v を求めると
解説
運動中の小球にはたらく力は，重力と糸の張力であるが，糸の張力は常に運動方向と
題意より，自転車が坂を下るとき力学的エネルギーは保存される。自転車と Y さん
問 1　ブレーキをかけてから停止するまでの間に，自動車にはたらいた動摩擦力の大き
垂直な方向にはたらくため，小球に対して仕事をしない。したがって，小球の運動につ
の合計の質量を m，B を重力による位置エネルギーの基準水平面として，力学的エネル
さ F - は　F - = l -Mg
いて力学的エネルギー保存則が成りたつ。
摩擦力の向きは自動車の進む向きと逆であるから，摩擦力が自動車にした仕事 W は
ギー保存則より
mgh B =
W = F -xcos 180, = F -x % 0 -11 =-Mgl -x
1
mv B 2 …… ①
2
O
問 2　自動車がすべり始めたときもっていた運動エネルギーが，摩擦力によってされた
A
仕事の分だけ変化したと考えて
また，C を重力による位置エネルギーの基準水平面とすると
mg0h B + h C1 =
1
mv C 2 …… ②
2
2
② 式 & ① 式より　vC
よって　=
vB
]
mg0h B + h C1
0 1/2 1mv C
=
2
mgh B
0 1/2 1mv B
h B+h C
=
hB
]
糸の張力
C
v
l
重力
l
2
基準水平面
B
hC
1+
hB
1
1
M % 0 2 - Mv 2 = W
2
2
1
Mv 2 = Mgl -x
2
よって　x =
v2
2gl -
68 s　
62 s　
最下点 B を含む水平面を，重力による位置エネルギーの基準水平面にとり，点 C に
解説
解説
達するときの小球の速さを v とする。点 A と点 C について力学的エネルギー保存則を
ばねを x だけ伸ばしたとき，物体
糸でつながれた物体 A，B を 1 つのまとまりと考えると，この物体系にはたらく外力
は重力だけであるから，運動の過程で力学的エネルギー保存則が成りたつ (糸の張力は
物体系に対して仕事をしない)。A が床に速さ v で衝突するとき，B は床面から高さ h
用いると　mgl = mg ･
両辺を m でわって整理すると　の位置にくるはずである。
床面を重力による位置エネルギーの基準水平面とし，B をはなした瞬間と A が床に
衝突するときの力学的エネルギーを考えて
Mgh =
1
1
Mv 2 + mgh + mv 2
2
2
系 0 物体 + ばね 1 のもつエネルギーは
l
1
+ mv 2
2
2
ばねに蓄えられた弾性エネルギー
1 2
1
v = gl - gl
2
2
v = gl　より　v = U gl
2
1 2
kx だけ増加する。これは，物体に
2
m
kx
f-
対して手と摩擦力が仕事をしたためである。物体にはたらく動摩擦力 f - は f - = l -N
65 s　
と表せる。水平面上では，面から物体にはたらく垂直抗力と重力がつりあっているの
で　f - = l -mg
解説
物体の力学的エネルギーは保存される。
A，B は糸でつながれているので，A が床面に達するときの B の速さは A と同じ v で
-7-
よって，物体が動摩擦力によってされた仕事は -l -mgx である。手によってされた仕
事を W とすると　1 2
1
kx = W + 0 -l -mgx 1 ゆえに　W = kx 2 + l -mgx
2
2
よって　k=2mg
v　問題で求めているのは手によってなされた仕事である。，， には動摩擦
力 l -mg が含まれているが，これは力であって仕事とは異なる量 (次元) であるから，
明らかに誤りである。
69 s　問 1　　問 2　　問 3　
解説
問 1　斜面上の物体にはたらく力は，重力 mg，
2
垂直抗力 N
は図 a のようになる。F はばねの弾性力で
71 s　問 1　　問 2　　問 3　
F = kx 0 である。
x0
斜面に平行な方向の力のつりあいの式
解説
問 1　物体 A，B は水平方向へだけ運動し，摩擦力もはたらかないので，重力や水平面
kx 0 - mgsin h =0
からはたらく垂直抗力を無視し，つないだ糸の張力の大きさを T とすれば，2 つの物
より
体にはたらく力は，図のようになる。
mg
x 0 =
sin h
k
mgsin h
mgsin h
A
m
F
に分解して考えると，斜面に垂直な方向には
mgcos h
P0
mgcos h
h
重力 mg
図a
ばねの弾性力 a
kl
ある。
重力を斜面に平行な方向および垂直な方向
自然の長さ
F
N
斜面からの垂直抗力 N，動摩擦力 F の 3 つで
たらく力はつりあっているから
問 1　点 P 0 で静止している物体にはたらく力
2h - z 0
0 h - z 01
mg
h
N - mgcos h =0　より　N = mgcos h
したがって，上昇中の物体にはたらく動摩擦力 F の大きさは
張力
張力
T
T
a
B
2m
問 2　斜面上で点 P 0 より x だけ上方の点を P とす
る。物体のもつ運動エネルギーを K，重力によ
A，B に生じる加速度の大きさを a，左向きを正の向きとして，A，B のそれぞれ
ルギーを U k として，点 P および P 0 での力学的
について運動方程式を立てると
エネルギーを考える。点 P 0 の高さを重力による
A：ma = kl - T　…… ①
位置エネルギーの基準とし，物体が点 P 0 に達し
F = l -N = l -mgcos h
B：2ma = T　…… ②
たときの速さを v とすると，それぞれ次のよう
問 2　動摩擦力が運動の向きと逆向きにはたらき続けながら，物体は距離 d だけ移動
① 式+② 式より　3ma = kl
になる。
したのだから，摩擦力のした仕事 W は　W =-Fd　となる。力の向きと運動の向き
よって　a =
が逆向きなので，仕事は負になることに注意すること。
問 3　力学的エネルギーの変化は保存力以外のした仕事 (ここでは動摩擦力のした仕事)
kl
3m
点 P：K =0 ，U g = mgxsin h ，U k =
問 2　糸の張力の大きさが 0 になるまでの間のある瞬間の，ばねの弾性力の大きさを F -，
x0
る位置エネルギーを U g，弾性力による位置エネ
点 P 0： K =
x
v
h P0
P
自然の長さ
xsin h
図b
1
k x - x1 2
2 0 0
1
1
mv 2 ，U g =0 ，U k = kx 0 2
2
2
に等しい。ここで図 1 で物体が置かれた位置を基準水平面とすると，図 2 の小物体の
糸の張力の大きさを T -，A，B の加速度を a - とすると，問 1 と同様に
力学的エネルギーはその位置での重力による位置エネルギー mgdsin h のみなので
ma - = F - - T -　…… ①-
物体に仕事をする力は，重力とばねの弾性力だけであるから，力学的エネルギー保存
mgdsin h - K = W　より　K =-W + mgdsin h
2ma - = T -　…… ②-
則が成りたつ。
①-，②- 式より　F - =3ma -
mgxsin h +
70 s　問 1　　問 2　　問 3　
解説
よって　問 1　小球にはたらく力は，重力とゴムひもから受ける弾性力である。これらの力はい
T2ma 2
=
=
F3
3ma -
左辺を展開して整理すると
ずれも保存力であるから，運動中の小球のもつ力学的エネルギーが保存される。高さ
問 3　物体 A，B 全体を 1 つの物体と考えると，運動方向には保存力 (ばねの弾性力) だ
h の位置を通過する際の小球の速さを v，床を重力による位置エネルギーの基準水平
けがはたらくことになり，手をはなした直後からばねが自然の長さに達するまで，力
面とする。この位置でゴムひもは自然の長さであるから，弾性力による位置エネルギ
学的エネルギーが保存される。ばねが自然の長さに達したときの物体 A，B の速さを
ーは 0 である。
v とすると，力学的エネルギー保存則より
mg % 2h =
より　1
mv 2 + mgh
2
1 2
v =2gh - gh　よって　v = U 2gh
2
問 2　高さが z の位置で小球にはたらく力は，図のように，重力 mg
とゴムひもの弾性力 F である。この位置でのゴムひもの伸びは図
F
からわかるように 0 h - z 1 なので　F = k0 h - z 1 である。鉛直上向
きを正の向きとして，小球の運動方程式を立てると
ma = F - mg
F の値を代入して a を求めると
z
k
ma = k0 h - z 1 - mg　よって　a =
h-z 1 -g
m0
この式を整理して　1
k h - z 01 2 = mg0 2h - z 01
2 0
となり　1 2 1
kx = mv 2 ゆえに　v =
2
2
]m x
k
u　ここでは x < x 0 の場合を考えて計算したが，x > x 0 の場合にも同様の式が成り
問 3　物体が点 P 0 からさらに下方へ距離 d だけ移動する (ばねが x 0 よりさらに d だけ伸
ギーは保存される。ばねの縮みの最大値を l - とすれば，物体 A についての力学的エ
びる) ものとする。そのとき，物体は一瞬停止すると考えられる。
ネルギー保存則より
問 2 と同様に力学的エネルギー保存則を考えると
1
1
mv 2 = kl - 2　…… ④
2
2
③ 式より
3
1
mv 2 = kl 2
2
2
よって　1
1
1
mv 2 + kx 0 2 = k0 x 0 + d1 2 - mgdsin h
2
2
2
整理して　④ 式と比較して　ゆえに　l - 2 =
1
1
mv 2 = kd 2 + kx 0d - mgdsin h
2
2
問 1 の結果を利用して
1
1
mv 2 =
kl 2
2
3% 2
の伸びは 0 h - z 01 であるから
1
mg % 2h = mgz 0 + k0 h - z 01 2
2
問 1 の結果を用いると　kx 0x = mgxsin h
A にはたらく水平方向の力はばねの弾性力のみであるから，物体 A の力学的エネル
問 3　問 1 と同様に，床を重力による位置エネルギーの基準水平面とする。最下点で小
球の速さは 0 となるので，運動エネルギーは 0 である。一方，この位置でのゴムひも
1 2
1
kx - kx 0x = mv 2
2
2
たち，同じ結果が得られる。
a
mg
1 2 1
kl = 0 m +2m1 v 2　…… ③
2
2
mgxsin h +
糸がたるんだ後，物体 A は物体 B とは無関係に運動することになる。このとき，
h
1
1
1
k x - x1 2 = mv 2 + kx 0 2
2 0 0
2
2
1
1
kl - 2 =
kl 2
3% 2
2
1
1
mv 2 = kd 2 + mgdsin h - mgdsin h
2
2
よって　d 2 =
1 2
1
l よって　l - =
l
3
U3
72 s　問 1　　問 2　　問 3　
解説
-8-
m 2
v
k
問 2 の結果より　d 2 =
m k 2
x
･
k m
d = x　(d <0 は不適)
垂直抗力
k0x 0 + x1
したがって，ばねの最大の伸びは
a
x 0 + d = x 0 + x
である。このとき，物体にはたらく力は図 c のよ
うになる。斜面上向きを正としたときの加速度を
x
P0
mgsin h
a として，運動方程式を立てると
ma = k0 x 0 + x1 - mgsin h
= kx 0 + kx - mgsin h
74 s　(ア)　温度　(イ)　絶対零度　(ウ)　絶対温度　(エ)　K (ケルビン)
きくなるので，それらの和である内部エネルギーも大きくなる。したがって， が正解
(ケ)　mclT　(コ)　A から B に　(サ)　熱平衡　(シ)　熱量
となる。
(ス)　熱量の保存　(セ)　エネルギー　(ソ)　J (ジュール)
75 s　(ア)　融点　(イ)　沸点　(ウ)　潜熱　(エ)　融解熱　(オ)　蒸発熱
(カ)　熱膨張
h
mg
Q = mclt
問 1 の結果を用いると　ma = kx
で与えられる。初めの温度が t 0 であった金属 A は，熱量計に入れた後の温度が t 1 に
76 s　(ア)　内部エネルギー　(イ)　熱力学第一法則　(ウ)　Q + W
以上より，正しい組合せは  となる。
問 2　熱量計とその内部の水をあわせたもの全体の熱容量を C とする。金属 A を入れた
v　ばねを含む力学的エネルギー保存の問題では，つりあいの位置 (弾性力と重力がつ
とき，熱量計全体が得た熱量 Q は問 1 で求めた熱量 Q A に等しいので
りあう位置) でもっている弾性力による位置エネルギーや重力による位置エネルギーの
77 s　(ア)　不可逆変化　(イ)　熱機関　(ウ)　熱効率 (熱機関の効率)
値は，計算の途中で相殺されてしまう。つりあいの位置をばねの伸び ! 縮みが 0 の点と
78 s　
73 s　問 1　　問 2　　問 3　(ア)　　(イ)　
解説
問 1　水平面を重力による位置エネルギーの基準水平面とする。小物体の質量を m，小物
体が点 A を通過するときの速さを v A とすると，点 P と点 A の間での力学的エネルギ
1
mv A 2 よって　v A = U 2gh
2
問 2　点 P と点 Q における小物体の力学的エネルギーの変化は，AB 間で動摩擦力が小
物体にする仕事に等しい。動摩擦力の大きさは l -mg で，小物体の運動を妨げる向き
にはたらくことを考慮すると
mg %
7
h - mgh =-l -mg % L
10
よって　l - =
Q 1 = m % 0.45 % 0 96.0 -12.0 1
量 Q B に等しいから
Q - = Q B
水が得た熱量 Q 2 2 J 3 は　Q 2 =100 % 4.2 % 0 12.0 -10.0 1
熱量の保存 Q 1 = Q 2 より
C0 t 2 - t1 = mc B0 t 0 - t 21 …… ②
①，② 式より C を消去して
l -mg % L =
3
mgh
10
の力学的エネルギーを失う。したがって，小物体は AB 間を 3 回通過した後
3
1
mgh =
mgh
10
10
の力学的エネルギーをもって，AB 間に B 側から進入し，点 X で静止する。BX 間の
1
0mgh =-l -mg % x
10
3
mgh % x
10L
1
よって　x = L
3
したがって，AX 間の距離は
1
2
L= L
3
3
mc A 0t 0 - t 11
mc B0t 0 - t 21
=
t1 - t
t2 - t
両辺を m でわって整理すれば
79 s　問 1　　問 2　
t 0 - t 110 t 2 - t1
0 t 0 - t 210 t 1 - t1
c B = c A 0
解説
問 1　領域 Ⅳ は水から水蒸気に変化しているところなので，水と水蒸気が共存してい
問 3　比熱 c，質量 m の物体の熱容量 C は
る。
C = mc
問 2　領域 Ⅴ は水がすべて水蒸気に変わり，水蒸気の温度が上昇している状態。
であるから，質量が小さくなれば (水がこぼれれば)，熱容量も小さくなる。したがっ
て，同じ程度の熱量が与えられた場合，こぼれる前よりも温度は高くなると考えられ
る。また，t 2 の値が大きくなると，問 2 で求めた c B の式において分母は小さくなり，
　比熱は，単位質量の物質の温度を 1 K 上昇させるために必要な熱量を表している。
分子は大きくなるので，全体として c B の値は大きく測定されることになる。したが
したがって，比熱が小さい物体は，少ない熱量で温度を上昇させることができる。
って， が正解となる。
同じ熱量を加えても，比熱の小さい物体のほうが温度上昇は大きくなる。
　物体の温度は，それを構成している原子 ! 分子の熱運動のエネルギーが大きいほど
高いと考えられる。したがって，熱運動が激しいほど物体の温度は高くなる。
　比重は，ある物質の質量とそれと同体積の標準物質の質量との比であり,　比熱とは
無関係である。
距離を x とすると
=-
100 % 4.2 % 2.0
よって　m =
722 g
0.45 % 84.0
解説
問 3　小物体はAB 間を通過するたび
L -
C0 t 1 - t1 = mc A0 t 0 - t 11　…… ①
同様にして，金属 B を入れたとき，熱量計全体が得た熱量 Q - は，金属 B が失った熱
鉄球の質量を m 2 g 3 とすると，鉄球が失った熱量 Q 1 2 J 3 は
80 s　
3h
10L
mgh -3 %
解説
Q = Q A
m % 0.45 % 0 96.0 -12.0 1 =100 % 4.2 % 0 12.0 -10.0 1
ー保存則より　mgh =
なる。このとき，金属 A が失った熱量 Q A は
Q A = mc A 0t 0 - t 11
解説
保存則の式を立ててもよい。
解説
問 1　比熱 c，質量 m の物体の温度変化が lt のとき，この物体が吸収または放出した熱
図c
して，運動エネルギーと弾性力による位置エネルギーだけを考えて力学的エネルギー
83 s　問 1　　問 2　　問 3　
量 Q は
解説
kx
ゆえに　a =
m
が高いほど激しくなる。したがって，温度が高いほど原子や分子の運動エネルギーは大
(オ)　t +273 (カ)　熱容量　(キ)　比熱 (比熱容量)　(ク)　C lT
84 s　
解説
急須に入った熱いお茶の熱量 (室温状態での熱量
方法 A の場合，図 a のように，熱いお茶の全部を
　熱は常に，高温の物体から低温の物体へ移動する。
81 s　
が Q A であるから，お茶を 2 つ目の湯飲みに移したと
セ氏温度 (セルシウス温度) t 2 ,C3 と絶対温度 T 2 K3 の関係式は
T = t +273
tA
1 つ目の湯飲みに入れたときの熱平衡状態の温度を t A
とする。このとき，1 つ目の湯飲みが受け取った熱量
解説
Q0
を基準) を Q 0 とする。
きの 2 つ目の湯飲みとお茶のもつ熱量の全量 Q A- は，
tA
QA
TA
熱量の保存から
したがって，t =0 ,C のとき T =273 K，T =0 K のとき t =-273 ,C であり，これを満た
すグラフは  となる｡
Q A- = Q 0 - Q A …… ①
方法 B の場合，図 b のように，熱いお茶の半分
82 s　
Q0
8熱量 2 9 を 1 つ目の湯飲みに入れたときの熱平衡
解説
物質を構成する多数の原子や分子は，常に熱運動をしている。この運動は物質の温度
-9-
QA-= Q 0- Q A
図a
状態の温度を t B とする。このとき，1 つ目の湯飲み
Q0
2
が受け取った熱量が Q B であるから，お茶を 2 つ目
e =0.15 と問 1 で求めた Q 2 の値を用いて
Q0
2
の湯飲みに移したときに，2 つ目の湯飲みと中のお
茶のもつ熱量の全量 Q B- は，熱量の保存から
Q B- = Q 0 - Q B …… ②
一方，方法 A と B での 1 つ目の湯飲み中の熱平衡
温度，t A ，t B の関係は t A > t B であるから，1 つ目の
tB
QB
97 s　
4.6 % 10 6
75.4 % 10 6 J
0.85
解説
波の波長を k 2 m 3，周期を T 2 s 3，波の伝わる速さを v 2 m/s 3 とする。
88 s　(ア)　波　(イ)　波動　(ウ)　媒質　(エ)　波源　(オ)　エネルギー
TB= tB
湯飲みが受け取った熱量 Q A ，Q B の関係は
(カ)　単振動　(キ)　振幅　(ク)　周期　(ケ)　振動数　(コ)　Q A > Q B …… ③
最終的に， 2 つ目の湯飲みの温度と中のお茶の温
以上より，正解は 。
0 1 -0.151 Q 1 =4.6 % 10 6
よって　Q 1 =
図b
85 s　
k =2.0 m
周期は 1 回の振動に要する時間であるから
89 s　(ア)　正弦波　(イ)　山　(ウ)　谷　(エ)　波長　(オ)　T　(カ)　fk
T =
(キ)　位相　(ク)　同位相　(ケ)　逆位相
度は等しく，方法 A で T A，方法 B で T B となっている。また，これらがもつ熱量
0Q A -，Q B-1 と温度の大小関係は等しい。したがって　T A < T B 正解は 
隣りあう山の間隔は波長に等しいので
1
T
((ア)，(イ) は順不問)
Q B- = Q 0 - Q B
10
=2.0 s
5
以上より　v =
90 s　(ア)　横波　(イ)　縦波　(ウ)　固体
91 s　(ア)　波の重ねあわせの原理　(イ)　定常波 (定在波)　(ウ)　節　(エ)　腹
解説
水と氷が共存しているときは，外から熱を吸収しても温度が上昇せずに一定に保たれる。
問題の図より周期の
これは氷が水になるときに融解熱を吸収するためで，この温度を融点といい，水 (氷) の場
合は 1 気圧のもとでは 0 ,C である。したがって，問題のグラフで 0 ,C が続いている間は
92 s　(ア)　自由端　(イ)　山　(ウ)　固定端　(エ)　谷　(オ)　0
氷が残っており，時刻 t 4 で氷がとけ終わると温度が上がりだす。
93 s　問 1　　問 2　
86 s　問 1　　問 2　　問 3　
解説
問 1　加熱をはじめてから 5 分間に，水の温度は 20 ,C から 70 ,C に上昇している。した
がって，この間に水が吸収した熱量 Q 2 J 3 は，｢Q = mcl T ｣より
問 1　図 2 のグラフより，周期 T =0.5 s
よって，振動数 f =
1
=2.0 Hz
T
と求められる。
O
=2.1 % 10 5 J
波の速さ v = fk より　v =2.0 % 2.0=4.0 m/s
2.1 % 10 5 = 0 1.0 % 10 31 % c % 0 120 -20 1
よって
c =
2.1 % 10
5
0 1.0 % 10 1 % 0 120 - 20 1
3
=2.1 J/0 g･K 1
問 3　水の沸点は 1 気圧のとき 100 ,C で，8 分すぎにこの温度に近づいている。このとき
水は沸騰しはじめ，水が蒸発熱を得て水蒸気になるので，加熱しても温度は上昇しな
くなる。正解は 。
問 1　縦波の変位を横波で表す場合，x 軸の正の変位を y 軸の正の変位に変換する。
P 3 の左側の変位は正だから右向きに変位し，P 3 の右側の変位は負だから左向きに
　図より，点 A は定常波の腹になっていることがわかる。
変位している。つまり，P 3 では両側から媒質が押しあって密度が大きくなる。P 1，P 5
　点 B は定常波の節となるので，振動しない。
ではその反対で，密度が小さくなる (密度最小)。このように，一般に x 軸の正の向き
問 2　図のグラフはある時刻の変位を表している。
99 s　
y
解説
固定端での反射では，山 (谷) が谷 (山) となって反射され，波形が半波長分ずれる。入
(速度に比例) を求めれば最大になる点がわかる。
図 a において，上向きに変位が最大の点は P 3 で
O
放出され，仕事として利用されない熱量を Q 2 2 J3 とする。
ある。
問 1　仕事をした後に捨てられる 100 ,C の水蒸気が，復水器で 100 ,C の水にもどされる
Q 2 = 02.3 % 10 1 % 02.0 % 10 1
P3 P4
P2
射波 (実線) を固定端の右側に延長したものを，固定端に関して点対称に移せば反射波
P5
x
解説
=4.6 % 10 J
問 2　この蒸気機関の熱効率 e は，Q 1，Q 2 を用いて
のが反射波の波形となる。
Q1- Q2
e =
Q1
山
固定端
山
95 s　
固定端による反射の場合，入射波を上下反転させたのち，固定端にそって折り返したも
6
(破線) が得られる。図より，正解は 。
図a
際に放出する熱量が Q 2 である。
3
　点 C は定常波の腹として振動するが，その振動数はもとの波の振動数に等しい。
　点 D は定常波の節となるので，振動しない。
に対して下り坂のグラフは密，上り坂のグラフは疎になる。
この蒸気機関が，高熱源から毎秒取り入れている熱量を Q 1 2 J3 ，外部の低熱源に毎秒
3
x
D
解説
P1
毎秒 2.0 kg (=2.0 % 10 3 g) ずつ処理されているから， 100 ,C の水の蒸発熱を用いて
C
94 s　問 1　　問 2　
重ねる (図 a)。この 2 つのグラフから各点の変位
解説
A
B
このグラフにわずかな時間が経過したグラフを
87 s　問 1　　問 2　
合成波
y
問 2　図 1 のグラフより，波長 k =2.0 m
問 2　加熱をはじめてから 5 分間に，油の温度は 20 ,C から 120 ,C に上昇している。
1
だけ進めたときの，2 つの波と合成波の波形は，次の図のよう
4
になる。
解説
Q = 01.0 % 10 31 % 4.2 % 0 70 -20 1
油の比熱を c 2 J/0 g･K1 3 とすると，｢Q = mcl T ｣より
k
2.0
=1.0 m/s
=
2.0
T
98 s　
解説
解説
1
で伝わる。伝わるのは，媒質 (水) そのものではなく，
f
振動のエネルギーであるため，水面上の木の葉はその場で振動はするが移動はしない。
より　0.15Q 1 = Q 1 -4.6 % 10 6
tB
tB
よって，①～③ 式より　Q A - < Q B-
振動数 f の波は，周期 T =
eQ 1 = Q 1 - Q 2
谷
点対称
谷
100 s　
96 s　
解説
解説
物理的な量の間に成りたつ関係式においては，両辺の物理量の次元が等しくなければ
-10-
ならない。次元は，ある物理量が最も基本的な量である長さ [L]，質量 [M]，時間 [T] を
用いてどのように表されるかを示したものである。
問題に与えられた式について，両辺の次元を考えると
左辺 = 0 速さ 1 2 = 04 L 54 T 5 -11 2 = 4 L 5 24 T 5 -2
右辺 = 0 加速度 1 p0 波長 1 q = 04 L 54 T 5 -21 p0 4 L 5 1 q = 4 L 5 p+q 4 T 5 -2p
右辺の定数には単位がないので，次元について考える必要はない。よって
4 L 5 24 T 5 -2 = 4 L 5 p+q 4 T 5 -2p より両辺の指数を比較して
2= p + q，-2=-2p
この 2 式より　p =1 ，q =1 で  が正解となる。
-11-

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